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Ejercicios y soluciones relacionados con la prueba binomial, una técnica de estadística no paramétrica. Se abordan temas como la formulación de hipótesis, el cálculo del p-valor, la construcción de intervalos de confianza y la interpretación de resultados. Los ejercicios se enfocan en problemas prácticos que involucran la inspección de automóviles y el análisis de variables aleatorias. El documento proporciona una valiosa guía para comprender y aplicar la prueba binomial en el contexto de la estadística no paramétrica, lo cual es relevante para estudiantes y profesionales interesados en el análisis de datos y la toma de decisiones basada en evidencia.
Tipo: Ejercicios
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Ejercicio 2 De diecis´eis autom´oviles inspeccionados durante una campa˜na de seguridad, se descubri´o que seis no eran seguros. Pruebe la hip´otesis de que ni el diez por ciento de los autom´oviles de la poblaci´on son inseguros. ¿Cu´ando es m´as probable que la suposici´on sea falsa en esta aplicaci´on?
Soluci´on
Por el enfoque del p-valor
Tenemos los siguientes datos:
n = 16 Y = 6 Y n
Formulando el contraste de hip´otesis tenemos que:
H 0 :p ≤ 0. 10 H 1 :p > 0. 10
Sea α = 0. 05 Par calcular el p-valor se sabe que: p-valor = (P (T ≥ Y )
Entonces
p-valor = P (T ≥ 6) = 1 − P (T ≤ 5) = 1 − 0. 9967 = 0. 0033
Vemos que el p-valor = 0. 0033 < 0 .05 = α por lo que no aceptamos H 0.
∴ No hay evidencia de rechazar la hip´otesis nula, lo que significa que el tercer decil no es mayor que 100
Con respecto a las supocisiones que sean m´as probable que se violenten solo es la 2 que dice: la probabilidad p de que ocurra el evento especificado permanece constante de un ensayo al siguiente ya que al tratarse de autom´oviles, de un auto a otro hay muchos factores que inciden en que la probabilidad de que sea inseguro aumente o disminuya, como el modelo, el a˜no, el tipo de sistema, entre otros.
Ejercicio 5 Veinte observaciones independientes de una variable aleatoria X con la funci´on de distribuci´on conocida F (x) resultaron en los n´umeros 142 134 98 119 131 103 154 122 93 137 86 119 161 144 158 165 81 117 128 103
Encuentre un intervalo de confianza del 95 por ciento para F (100)
Soluci´on
Por el m´etodo A (M´etodo gr´afico)
Primero, ordenamos las 20 observaciones de manera ascendente:
81 , 86 , 93 , 98 | {z } X≤ 100
Vemos que F (100) = P (X ≤ 100). Se tiene tambi´en que de las 20 observaciones, solo 4 cumplen que son menores o iguales que 100 ⇒
n = 20 observaciones en total. Y = 4 observaciones menores o iguales a 100. Y n
Para el l´ımite inferior Viendo la curva n = 20 y la probabilidad del 20 %, tenemos que los esta probabilidad est´a entre los datos:
Interpolando los resultados para obtener p 1 = L:
Por lo que el l´ımite superior del intervalo es p 1 = 0.06 = L
Para el l´ımite superior Viendo la curva n = 20 y la probabilidad del 20 %, tenemos que los esta probabilidad est´a entre los datos:
Interpolando los resultados para obtener p 2 = U :
Por lo que el l´ımite superior del intervalo es p 2 = 0.44 = U
∴ El intervalo de confianza del 95 % para F (100) es I = (L, U ) = (0. 06 , 0 .44) ⇔ P (0. 06 < p < 0 .44) = 0. 95
