¡Descarga Estimación paramétrica y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
1- . 5. estimación
paramétrica
Inferencia
Métodos que permiten obtener^ una conclusión acerca de^ la
población a^ través^ de^ la^ información proporcionada por la^ muestra
Inferencia paramétrica
La distribución de
probabilidad de^ la^ variable^ estudiada^ es^ conocida^ en
su totalidad salvo por uno o varios parámetros.
Estimación de parámetros
La (^) información muestral se utiliza (^) para inferir valores (^) poblacion >^ A → Estimación^ puntual : se (^) asigna un valor^ muestral^ concreto al valor^ pob ioral
que se^ quiere estimar^. Xp^.
→ Estimación (^) por intervalos^ : se (^) asigna un rango de^ valores tte los^ e se
espera que pueda encontrarse^ el^ verdadero^ valor^ del^ pavá^ TVO^. μ [^ 2,
Contraste de (^) hipótesis
La
información
muestral (^) se utiliza^ para comprobar si cie es (^) hip. sis s (^) e la (^) población son (^) ciertas (^).
Estimación puntual.
Es la más simple de las
inferencias
estadísticas (^) que ,
den real irse.
Consiste (^) simplemente en (^) asignar un valor (^) muestral concreto al (^) lor poblacional _^ que^ se^ desea^ estimar^.
Parámetro Estimador
μ
= EEXJ X = tu Exi
O ' = (^) var s^ ? = #%?^ .lk
. _ El '
Error típico o^ estándar de la media
Si tomamos (^) muchas (^) muestras de tamaño n y para cada^ muestra^ calmamos la media (^) tenemos una (^) nueva variable (^) : media de (^) las muestras (^). Si (^) una
población tiene^ media^ μ y desviación^ típica^ O^ ,^ la^ variable^
" (^) media (^) de las muestras "
se distribuye como una NL^ μ , O )
Como s^ es una^ estimación^ de^0 , una^ estimación^ natural^ de 3¥ es I ven .
Esta cantidad se^ denomina error estándar de la^ media (^ SEM^ )
/
Nos da información sobre la diferencia
que existe^ entre^ el^ parámetro
μ y la^ estimación^ I.^ Dicho^ de^ otra^ manera^ , es una medida^ de^ la
dispersión de^ las^ medias^ muéstrales^ con^ respecto al^ parámetro μ.^ Hablando
en términos generales ,^ la^ diferencia entre I y
μ raramente^ es (^) mayor que unos (^) pocos SEM^.^ Cuanto^ menor^ sea^ SEM^ , más^ precisa será^ la^ estimación^.^ Nótese que a^ medida^ qu el (^) tamaño de la (^) muestra n (^) aumenta , Ies (^) más preciso Ej. n =^6 El (^) número medio de horas que ver^ la^ tu^ es^16 ' S horas y el^ número de horas (^) querer la (^) tv se
alejan de^ ese^ valor^
en r^ ' 37 .
Construcción de^ intervalos^ de (^) confianza Para (^) construir un intervalo de (^) confianza
para
un parámetro concreto^ (^ por ejemplo^ μ^
) , al
correspondiente
estimador (^) puntual (
por ejemplo *^ en^ el^ caso^ de^ que^
el parámetro fuese^ μ )^ , se^ le^ suma^ y se^ le^ resta^ una^ cantidad llamada error^ máximo^ de^ estimación^ , es (^) decir :
( =^ X^ - error máximo de estimación
U = I t error máximo de^ estimación
Esto (^) permite conocer la (^) probabilidad con la
que cabe
esperar que^ el^ intervalo^ construido^ incluya^
el verdadero
valor del^ parámetro. PC E^ - error (^) máx (^). estimación (^) EN EI t^ error máx (^). estim =^ 1-^ x (^) )
Por lo tanto
, (^) para poder^ construir^ intervalos^ de^ confianza
es necesario^ utilizar^ estimadores^ con^ distribución^ muestral
conocida .
En la estimación
por
intervalos se comienza fijando el
nivel (^) de confianza ( (^) 1- x (^) ) con el (^) que se desea (^) trabajar (^) ,
condición de
partida y se^ continúa^ calculando^
la cantidad
error máximo que (^) permite construir^
el intervalo
que satisface
la condición impuesta.
Intervalo de^ confianza
para la (^) media
Queremos determinar L
y U de (^) manera (^) que PCL EN
EU ) = 1- x .
error estándar de^ la^ media .
Entonces :^ Z^ = * a^ NCO, 1) (^).
el estadístico 5/
Por tanto sabemos
que PC^
- Zala EZ^ E (^) zx (^) , a) (^) = 1- X I - M O lo
que
es lo^ mismo (^) PC-2× 12 E^ - E^ Zxlz )^ -1- x srlvn
Y
despejamos
la (^) media poblacional : PCI - Zxsz En EME^ It (^) zar Frnl .
La
probabilidad de^ qe
el (^) parámetro
μ se^
encuentre
entre los^ valores^ L
y
U vale 1-^ x
Intervalo de^ confianza
para
la media
con varianza
desconocida .
En el intervalo
para
la media obtenido anteriormente , se
asume (^) que 8 es^ conocida (^) pero en (^) general el^ valor^ de
ese parámetro es^ desconocido^.^ En^ ese^ caso, lo^ que se^ hace
es sustituir^ O^ por S pero entonces,^ I-^ M SNTN Ya no se distribuye como^ NCO,^11 sino^ según una^ t (^) de Sadat con n^ -^1 grados de libertad (^).
Entonces : T^ =
T - M
estadístico 51nF
Por lo tanto ,
siguiendo el^ mismo^ procedimiento que^ antes^ ,
el
intervalo de^ confianza para μ al C1^ -^ x^ ) 100% , con
varianza desconocida^ es^ :
C- [ I^ -
tn-1.xla.sn ,^
Ttttn -
t.xlz.vn
] Ejemplo :^ n° de (^) horas (^) que ver la televisión (^) a la semana (^) _ se obtuvo la^ siguiente muestra^ aleatoria^ de^6 individuos^. (^10 19 24 21 10 15). Calcular el intervalo de
confianza
para μ^ al 95 %
X = 16 '^5. 5=5/
tn-1.tn/2--2' 571 (^ t^ con^5 grados de^ libertad^ )^.
' (^) 5-2 ' 571 - Sts = 16 ' 5 - 6408 = 10,39% v. U (^) = 16 'S t 21571 - s =^16 ' (^) S
t 6408 =
NG
Intervalo (^) de (^) confianza
para
la varianza
Queremos determinar^ L^ y U^ de (^) manera (^) que PCLE^ 8701=1 (^) - (^) x
Por lo^ tanto
, en^ general , para construir (^) un intervalo^ de
confianza para un^ parámetro -0^ necesitamos^
una variable
aleatoria (^) que contenga en su^ expresión a (^) este (^) parámetro y cuya distribución^ se^ conozca^ , Si X es (^) una variable^ aleatoria^ que se^ distribuye como N (
μ,^
(^01) , entonces t.fr X (^)? (^) - y es^
la variable
aleatoria (^) ( estadístico (^) ) que se^
utiliza
para
calcular el intervalo
de (^) confianza
para 82
óe
÷ (^) : ÷ Ejemplo : no^ horas^ de televisión (^) en 6 individuos (^) aleatorios :
10 19 24 21 10 15. Calcular^ el^ intervalo
de (^) confianza
para
Ó (^) al 95% (^).^ Í^ =^16 ' 5 y 5= (^).
@ - 1) - 5 '^822 = 13 ' 20
- (^) % 12 ' 83 y +6-^ . 5 '^82 " = 2058%0- El (^) intervalo de^ confianza (^) para 8 al^
95% es [ 1320,20580 ]
Para hallar (^) un intervalo (^) de (^) confianza del^ 95%^ para G (^) , basta (^) con extraer la^ raíz^ cuadrada de esos límites^ numéricos (^). Es decir, con una confianza del^ 95%^ la^ desviación^ típica se^ encuentra^ entre^3163 y 1447 h^.
Cálculo (^) del tamaño (^) muestral Antes de (^) comenzar (^) un estudio (^) , es habitual (^) plantearse
cual es el tamaño
que
debe tener la muestra
que
vamos a seleccionar (^).^ La^ respuesta (^) podría ser^ "
lo más grande
posible " , pero
si se tiene un objetivo concreto , como cometer
un error no^ mayor de^ un umbral^ determinado^ ,^ es^ posible
calcular el^ tamaño^ de la muestra necesario para cumplir
ese (^) requisito con^ un^ nivel^ de^ confianza (1-^ x^ )^ determinado^.
Tamaño muestral necesario para estimar
μ con (^) un
error determinado^ C^ con O conocida )
μ C- (^) [ I - zar (^) ¥ , XTIÍÍÉIJ
error máximo^ de estimación (^). Por lo^ tanto (^) ,
despejando
de la (^) expresión anterior el valor (^) de n obtenemos^ el^ tamaño^ necesario^ : Z Emax
a x r
" ( (^) III ) ? F- ir^
- ri , μ n =^ En - (^) s (^) , xlz.^5 2 É) p.
