IV CAPÍTULO
Teoría de la Probabilidad
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Introducción a la Probabilidad: Conceptos Básicos, Apuntes de Estadística
Una introducción a la probabilidad, incluyendo definiciones básicas como fenómenos aleatorios, espacios muestrales y sucesos. Se calcula la probabilidad de un evento mediante la fórmula p(e) = n(e) / n(s), donde n(e) es el número de elementos del evento y n(s) es el número total de elementos en el espacio muestral. Se incluyen ejemplos para ilustrar el cálculo de probabilidades de sucesos simples y compuestos, así como el concepto de combinaciones y permutaciones.
Tipo: Apuntes
2014/2015
1 / 22
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IV CAPÍTULO
Teoría de la Probabilidad
Introducción:
Frecuentemente se usa el término probabilidad para sugerir
que existe duda o incertidumbre sobre lo que ocurrió, lo que
ocurre o ocurría. La experiencia humana demuestra que existe
una serie de hechos, acontecimientos, experimentos cuyos
resultados no se pueden determinar anticipadamente; sin
embargo si es posible definir, estimar o predecir el probable
resultado. Podemos conocer el pasado, pero nunca el futuro,
pero existe un permanente interés por las incertidumbres.
Estadísticamente, es posible ayudar a las decisiones de
actitudes o acciones futuras, este es un objetivo de la
Estadística.
Las situaciones que implican incertidumbre varían desde
simples juegos de azar, como ruleta, los dados, los naipes, la
lotería, los tragamonedas, etc. a otros experimentos y
acontecimientos tan variados, complejos e importantes dentro
de las ciencias médicas, ciencias sociales, ciencias de las
comunicación, etc.
El conjunto de resultados posibles al lanzar una moneda una vez
S = {C ; S}
Al lanzala dos veces
S = {(C ; C) ; (C ; S) ; (S ; C) ; (S ; S)}
Suceso o Evento: Es el subconjunto de resultados posibles, es decir es un
subconjunto del espacio muestral S.
Luego: si E es un suceso entonces:
E = S
Los sucesos se denotan por letras mayúsculas
(A ; B ; C ;.... ; etc.)
El suceso que consta de un sólo elemento, se llama suceso elemental.
Si al hacer un experimento se sabe que una situación no se puede presentar, a tal
situación se le llama SUCESO O EVENTO IMPOSIBLE y se denota por el
símbolo Æ
Ejem:
Al ser lanzado un dado obtener el número 7 este evento se llama imposible.
Obtener un número par al lanzar un dado.
Aca:
Espacio muestral:S = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
Evento: E = {2 ; 4 ; 6}
- Lanzar dos dados y obtener la suma de 6.
Espacio Muestral
S = {(1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (1 ; 4) ; (1 ; 5) ; (1 ; 6)
Solución
Espacio Muestral
S = {(1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (1 ; 4) ; (1 ; 5) ; (1 ; 6)
n(S) = 36
E = {(4 ; 6) ; ( 5 ; 5) ; (5 ; 6) ; (6 ; 4) ; (6 ; 5) ; (6 ; 6)}
n(E) = 6
Luego:
P(E)=
n(E)
n(S)
=> P(E)=
- ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar
un dado salga 5?
Solución
Espacio Muestral
S = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
n(S) = 6
E = {5}
n(E) = 1
Luego:
P(E)=
n(E)
n(S)
P(E)=
- En una baraja de 52 cartas. ¿cuál es la
probabilidad de obtener un As al
extraer una carta?
n(S) = 52 total de cartas
E = 4 total de ases
P(E)=
n(E)
n(S)
P(E)=
Es decir :
(-4)! = no existe
(1/3)! = no existe
(Ö 2 )! = no existe
Problema 1: Determinar el valor de M,
sabiendo que:
M =
9! x 4!
Solución
M =
13 x 12 x 11 x 10 x 9!
9! x 4!
M = 715
Problema 2: Hallar
S =
6! x 4!
Solución
S =
6! x 4!
8 x 7 x 6!
S =
8 x 7
S =
PERMUTACIONES: Son diferentes
arreglos u ordenaciones que se puede
formar con una parte o con todos los
elementos disponibles de un conjunto.
En toda permutación, la característica
principal es el orden de sus elementos. Y
debido a esto una permutación es
diferente de otra cuando el orden de sus
elementos es distinto.
Se calcula mediante la fórmula:
P( N ; r ) =
N!
(N - r)!
Donde:
P: Número de permutaciones
N: Número de objetos a permutar
R: Número de objetos de permutar cada
vez
Ejemplo 1
Una empresa periodística edita 7
revistas diferentes. ¿De cuántas
maneras pueden ser vendidas entre 4
clientes, si cada uno de ellos debe
resultar con una revista a la vez?
Solución
N = 7
r = 4
P( 7; 4 ) =
7 x 6 x 5 x 4 x 3!
Solución
N = 4
r = 3
P( 4; 3 ) =
4 x 3 x 2 x 1
COMBINACIONES: Es una selección
o grupo de elementos que se pueden
formar con parte o con todos los
elementos disponibles de un conjunto.
En una combinación, no interesa el
orden de sus elementos. Y debido a esto
una combinación es diferente de otra si
al menos tiene un elemento distinto.
Se calcula mediante la
fórmula:
C( N , r ) =
N!
(N - r)! r!
Donde:
C: Combinaciones.
N: Total de objetos.
r: Cantidad de objetos que deben
entrar en cada combinación.
Ejemplo 1:
¿De cuántas formas puede seleccionarse
6 preguntas de un total de 10?
Solución
N = 10
r = 6
C(10 ; 6 )
10 x 9 x 8 x 7 x 6!
10 x 9 x 8 x 7
4 x 3 x 2 x 1
Ejemplo 2:
¿Cuántas ensaladas, que contienen
exactamente 4 frutas, podemos hacer si
disponemos de 10 frutas diferentes?
Solución
N = 10
r = 4
C( 10; 4 )
10 x 9 x 8 x 7 x 6!
Ejemplo 3:
Cierta campaña publicitaria ofrece premios
para hombres o mujeres; los hombres
pueden escoger 2 objetos entre 5 ofrecidos
y las mujeres 3 objetos entre 6 productos.
Encontrar las diversas combinaciones de
premios que pueden hacerse en ambos
casos, sea premiado hombre o mujer.
Solución
N = 5
r = 2
C =
Hombres
5 x 4 x 3!
N = 6
r = 3
C =
Mujeres
6 x 5 x 4 x 3!
Dos combinaciones son
diferentes sólo si difieren
por lo menos en un
elemento
Aquí
Si cambiamos el orden de los
elementos se produce una
permutación distinta a la anterior
Aqui
N = 4
r = 3
C( 4; 3) =
4 x 3!
N = 4
r = 3
P( 4; 3) =
4 x 3 x 2 x 1
Binomio Algebraico
Es una expresión que contiene dos
términos unidos por los signos más o
menos, elevadas a una potencia dada
Ejem:
- (a + b)
2
- (a + b)
3
- (a - b)
5
- (a - b)
7
etc
Fórmula para Desarrollar un Binomio
Algebraico
(x + a)
n
= (n/0)x
n
- (n/1)x
n-
a + (n/2)x
n-
a
2
- (n/3)x
n-
a
3
+... + (n/n)a
n
(n/0): Combinación =
n!
(n-0)! 0!
Donde:
(x + a): Binomio
n: Exponente
Aplicaciones de la Distribución
Binomial
En una jaula de pollitos BB, el 40% son
machos. Determine la probabilidad de
que al sacar tres de ellos, 2 sean
hembras.
Solución
p: pollitos machos
q: pollitos hembras
p = 40% = 40 / 100 = 0,
q = 60% = 60 / 100 = 0,
(p + q)
3
= p
3
- 3p
2
q + 3pq
2
- q
3
3pq
2
: Aquí hay 3 pollitos 1 macho (p) y
2 hembras q
2
3pq2 = 3(0,4) (0,6)
2
= 3x 0,4 x 0,36 = 0,432 x 100%=43,2%
Fórmula General del Binomio
Por intermedio de esta fórmula se
obtienen resultados específicos, sin
utilizar. Todo el binomio y sin uso de
cuadros para hallar probabilidades. La
fórmula es la sgte:
P(x) =
N!
x! (N-x)!
. p
x
q
N-x
donde:
N: amplitud de la muestra, número de
ensayos
x: resultado que se desea obtener o éxitos.
p: probalidad de que el evento deseado (x)
ocurra.
q: probabilidad de que el evento deseado no
ocurra (1-p)
Ejemplos
1)¿Cuál es la probabilidad de obtener 2
caras exactamente al lanzar 6 veces una
moneda correctamente?
Solución
N = 6 (lanzamientos o pruebas)
x = 2 caras (éxito)
p = ½ (probabilidad de obtener cara)
q = 1 – p
q = 1 – ½
q = ½
Aplicando la fórmula
P(2) =
6!
2! (6-2)!
6
6-
P(2) =
6!
2! 4!
6
4
P(2) =
6 x 5 x 4!
2! 4!
10
P(2) =
6 x 5
2 x 1
10
P(2) = 3 x 5. (1/2)
10