ESTADISTICA Y PROBABILIDAD, VARIABLE Y BINOMIAL, Apuntes de Matemáticas

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Estadística y Probabilidad II

VARIABLE ALEATORIA Y BINOMIAL

(TEORIA)

Índice

Variable aleatoria discreta………………… pág. 3 y 4

Ejemplos sobre variable aleatoria discreta….... pág.

Experimento binomial…………………………... pág. 10

Ejemplos sobre binomial…………………… pag. 11-

Bibliografia………………………………….. pág. 14 y 15

Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimentos y a números reales.

Definición formal

Una variable aleatoria “x” es una función real definida en el espacio de probabilidad, asociado a un experimento aleatorio. En la mayoría de usos prácticos se tiene que el espacio medible de llegada es , quedando pues la definición de esta manera: Dado un espacio de probabilidad una variable aleatoria real es cualquier función - medible donde es la álgebra boreliana. Ventajas ● Hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se pueden definir infinitos valores más. ● Es posible calcular la probabilidad acumulada hasta cierto valor. ● Se puede analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto.

● Ejemplos: Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados: cara superior (^1 2 3 4 5 ) número de veces (^) 4 0

Cara del dado Frecuencia Absoluta (^) Frecuencia Relativa 1 (^40) 0. 2 (^39) 0. 3 (^42) 0. 4 (^38) 0. 5 42 0. (^6 39) 0. Σ^240 1

•Gráfica de los resultados esperados

2.Vamos a ver un ejemplo sencillo para entenderlo. Imaginemos una moneda. Dos caras, cara y cruz. ¿Cuál sería la esperanza matemática (valor esperado) de que salga cara? La esperanza matemática se calcularía como la probabilidad de que, tirando la moneda un número muy muy grande de veces, salga cara. Dado que la moneda solo puede caer en una de esas dos posiciones y ambas tienen la misma probabilidad de salir, diremos que la esperanza matemática de que salga cara es una de cada dos, o lo que es lo mismo, el 50% de las veces. Vamos a hacer una prueba y vamos a tirar una moneda 10 veces. Supongamos que la moneda es perfecta:

Tirada 1: C Tirada 2: X Tirada 3: X Tirada 4: C Tirada 5: X Tirada 6: C Tirada 7: C Tirada 8: C Tirada 9: X Tirada 10: X ¿Cuántas veces ha salido cara (contamos las C)? 5 veces ¿Cuántas veces ha salido cruz (contamos las X)? 5 veces. La probabilidad de que salga cara será de 5/10=0,5 o en porcentaje del 50%. Una vez ha ocurrido ése suceso podemos calcular la media matemática del número de veces que ha ocurrido cada suceso.

Distribución binomial

La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli, en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características: ● Sólo hay 2 posibles resultados. ● Los resultados son independientes. ● La probabilidad de éxito permanece constante en todas las veces en que se realice el experimento. ● El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan éxitos. ● Cuando hay extracción de elementos, se debe realizar con reemplazo. Una variable aleatoria que satisfaga los puntos anteriores, se dice que se distribuye en forma binomial.

Ejemplos

1. Lanzamiento de una moneda y su probabilidad Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salga más aguilas que soles. B(4, 0.5) p = 0.5q = 0. Fórmula de probabilidad binomial para intervalos. 3 Resultado de la probabilidad en intervalos. 3 2.Cálculo de la probabilidad al disparar La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión? B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/

Resultado de la probabilidad en intervalos.

Bibliografía

1. Variables aleatorias discretas. (2019). Recuperado 9 febrero, 2020, de https://www.vadenumeros.es/sociales/variable- aleatoria-discreta.htm
2. Varianza de una variable aleatoria [Publicación en un blog]. (2017). Recuperado 9 febrero, 2020, de http://www.ub.edu/stat/ GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/ B0C2m1t17.htm? fbclid=IwAR3fcy7JU9ZC8fw9FJWGVBUDWjdfI2NgXeElBzpmD o5-qqpVkTqSZsCsgO
3. González, M. (2019). Media y varianza de una variable aleatoria discreta. Recuperado 12 febrero, 2020, de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabil idades/distribucion-binomial/media-y-varianza-de-una-variable- aleatoria-discreta.html? fbclid=IwAR2dU96Ylf7oHCcAp4V4p2F_Pum- 9Ak_kHGpM71Su2I5xv7xsBlpxpKYkg
4. López, J. F. (s.f.). Esperanza matemática. Recuperado 12 febrero, 2020, de https://economipedia.com/definiciones/esperanza-