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Tema 2.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1
Índice
- Introducción2. Medidas de posición
z
Centrales
z
No centrales
- Medidas de dispersión
z
Absolutas
z
RelativasRelativas
- Medidas de forma
z
Asimetría
z
Curtosis
2
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DESCRIPTIVAS
Medidas de posición
Nos orientan la posici
ó
n en torno a la cual se
distribuyen nuestras observaciones.
Medidas de dispersión
Analizan si las observaciones se encuentranmás o menos concentradas, o más o menosdispersas.
Medidas de forma
Permiten conocer que forma tiene la curvaque representa las observaciones.
3
Medidas
representativas de un
conjunto de datos
estadísticos
M did
d
Media aritméticaMediana Estadística Descriptiva
MEDIDAS DESCRIPTIVAS
Central
M
edidas de
posición
Medidas de
dispersión
Mediana ModaCuantiles
Rango o recorridoVarianza
Desv. típica
Coeficiente de variación
CentralNo central
Medidas de
forma
ConcentraciónAsimetríaCurtosis
Coeficiente de variación
4
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL
Nos orientan sobre el valor central de la
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL
Nos orientan sobre el valor central de la
distribución. Son medidas de posición central.
Son medidas de posición central:
Media Cuadrática
Media aritmética Media Geométrica
Media Armónica
Moda
Mediana
5
MEDIA ARITMÉTICA
Suma de todos los valores de la variable divididos
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Media aritmética
Suma
de todos los valores de la variable divididos
por el número total de observaciones.
__
1
1
2
2
1
k
i
i
k
k
i
x n
x n
x n
x n
X
N
N
=
∑
NOTA:
Con datos agrupados usamos las marcas de clase
de cada uno de los intervalos.
6
N
N
L
i-
- L
i
x
i
n
i
x
i
n
i
Estadística Descriptiva
EJEMPLO:
Media aritmética
N = 50
__X
7
Propiedades - Ventajas
:
en
un
valor
las
características
de
una
variable
teniendo
en cuenta todos los casos.
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Media aritmética
- Su valor es único para una serie de datos dada, con un cálculo muy
sencillo en el que intervienen todos los datos.
- Es sensible a cualquier cambio en los datos (puede ser usado como
un detector de variaciones en los datos).
Inconvenientes:
- Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
8
datos
agrupados
en
intervalos
(variables
continuas)
su
valor
oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que seconsideren.
- Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de
modo
que
cuanto
menos
homogéneos
son
los
datos,
menos
información proporciona.
- En el cálculo se ve muy afectada por valores extremos.
CÁLCULO DE LA MEDIANA CON POCAS
OBSERVACIONES
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Mediana
OBSERVACIONES
Nº impar de observaciones
Ejemplo:
La variable X representa la edad de 5 personasX={8, 26, 23, 19, 44} Paso
Ordenar
la
serie
de
menor
a
mayor
X={8, 19, 23, 26, 44}
Paso 2:
La mediana es el valor central
Me
años
13
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Mediana
CÁLCULO DE LA MEDIANA CON POCAS
OBSERVACIONES
Ejemplo:
La variable X representa la edad de 4 personas
X={8, 23, 19, 26}
P
O d
l
i
d
OBSERVACIONES
Nº par de observaciones
P
aso 1:
O
rdenar la serie de menor a mayor
X={8, 19, 23, 26}
Paso 2:
La mediana es la media aritmética de los
dos valores centrales de la distribución
Me
años
14
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Mediana
CÁLCULO DE LA MEDIANA CON DATOS SIN
AGRUPARAGRUPAR
Paso 1:
Ordenar los valores de la variable de
menor a mayor. Paso
Calcular
la
frecuencia
absoluta
acumulada,
N
i
Paso
Calcular
la
mitad
del
número
de
NOTA
:
Si
N/2=N
i
, la mediana es la media aritmética del valor
correspondiente a N/2 y del siguiente.
observaciones,
N/
Paso 4:
El valor
x
i
asociado al primer
N
i
mayor
que
N/
es la mediana.
x
i
n
i
N
i
Ejemplo:
Ejemplo:
Estadística Descriptiva
EJEMPLOS:
Mediana
x
i
n
i
N
i
x
i
n
i
N
i
j
p
N = 33
N = 16
16
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Mediana
CÁLCULO DE LA MEDIANA CON DATOS
AGRUPADOSAGRUPADOS
L
i-
= extremo inferior del intervalo mediano (I
Me
)
I
Me
= [L
i-
, L
) tal que su Ni
i
sea el primero
≥
N/.
1
1
2
i
i^
i
i
N
N
Me
L
a
n
−
−
−
=
n
i^
= frecuencia del I
Me
N
i-
= frecuencia acumulada anterior al I
Me
a
i
= amplitud del I
Me
NOTA
: Si
N
i
= N/
, da igual coger como intervalo mediano el
correspondiente al igual que el primer mayor a N/2.
Ejemplo:
Estadística Descriptiva
EJEMPLOS:
Mediana
L
i-
- L
i
n
i
N
i
N = 400
18
L
i 1
- L
i
n
i
N
i
Ejemplo:
Estadística Descriptiva
EJEMPLO:
Mediana
i
i
i
i
N = 120
19
Propiedades - Ventajas
:
Menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Mediana
Menos
sensible que la media a oscilaciones de los valores de la
variable.
No se ve afectada por la dispersión, es más representativa que lamedia aritmética cuando la población es bastante heterogénea.
Inconvenientes
:
En el caso de datos agrupados en intervalos, su valor varía en funciónd
l
li
d d
de la amplitud de estos.No se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética.
20
L
i-
– L
i
n
i
a
i
d
i
Ejemplo 5:
Estadística Descriptiva
EJEMPLO:
Moda
i-
i
i
i
i
N=
25
Propiedad: L
d
f
t d
l
bi
d
i
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Moda
L
a moda se ve afectada por los cambios de origen
y de escala de la misma forma que la mediaaritmética.
Mo y
kMo x
h
h
k
i^
i
y
kx
h
=
26
Propiedades - Ventajas: •
Cálculo sencillo.I t
t
ió
l
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL:
Moda
Interpretación muy clara.
Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse paravariables cualitativas.
Inconvenientes: •
Valor independiente de la mayor parte de los datos.
En variables agrupadas en intervalos, su valor dependeexcesivamente del número de intervalos y de su amplitud.
27
y
p
Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandesvariaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modoalguno a su valor.
No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.
Puede haber más de una moda (distribuciones bimodales omultimodales).
Media aritmética
n
x
n
i
i
∑
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL
Media
aritmética.
n
x
1 i
=
=
Mediana.
Valor de la variable que divide a la muestra en
dos partes con el mismo número de elementos.Valor central (un 50% de las observaciones son inferioresy otro 50% son superiores).
Moda.
Valor que más se repite en la muestra.
28
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN
¿Media, moda y mediana?
29
MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRAL:
CUANTILES (Q
α
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRAL: CUANTILES
CUANTILES
(Q
α
Valores que dividen los datos en partes iguales, es
decir, en intervalos que comprenden el mismo
número de observaciones.
Se distinguen:
Cuartiles
:
Dividen en cuatro partes iguales
Cuartiles
:
Dividen en cuatro partes iguales.
Se notan: C
1
, C
2
y C
Deciles:
Dividen en 10 partes iguales.
Se notan D
1
, D
2
,..., D
Percentiles:
Dividen en 100 partes iguales.
Se notan P
1
, P
2
,..., P
30
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN
¿Cuartiles?
31
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRAL:
Cuantiles
CÁLCULO DE LOS CUANTILES CON DATOSCÁLCULO DE LOS CUANTILES CON DATOS
SIN AGRUPAR
Q
α
= x
i
tal que su N
i
sea el primero mayor o
igual a
α
N, siendo
α
el orden del cuantil.
NOTA
:
Si
α
N coincide con N
, el cuantil es la media del valori
asociado al n
o
de observaciones que deja a la izquierda el cuantil
y el siguiente.
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Son aq éllas q e miden la
ariabilidad de los
Son
aquéllas que miden la variabilidad de los
datos, es decir, el grado de separación entre los
valores de una distribución.
Pueden ser:• Absolutas
9
Tienen dimensión
9
Tienen dimensión
9
No permiten comparar
9
Le afectan los cambios de escala
9
No tienen dimensión
9
9
Le afectan los cambios de origen
37
Rango o recorrido:
Mide la amplitud de los valores de la muestra.
Se calcula por diferencia entre valores extremos.
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA: Recorrido
Se
calcula
por diferencia entre valores extremos.
mínimo
Valor
máximo
Valor
R
−
=
Rango intercuartílico:
Mide la amplitud entre el tercer y primer
cuartil. Se calcula por diferencia entre valores extremos.
25
75
1
3
P
P
C
RI
=
=
C
Ventaja:
Son
medidas
de
dispersión muy sencillas.
Inconveniente:
No
utiliza
ningún valor central.
38
Varianza:
Media aritmética de los cuadrados de las desviaciones
con respecto a la media aritmética
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA: Varianza
con
respecto a la media aritmética.
n
n
)
x
x (
S
n
1 i
i
2
i
2
∑
=
−
=
2
n
1 i
i
2 i
2
x
n
n
x
S
−
=
∑
=
- Cuanto mayor es la varianza, mayor es la dispersión ymenos representativa es la media.
Vi
d
id d
d
did
l
d
d
- Viene expresada en unidades de medida al cuadrado.• Toma siempre valores no negativos.• No le afecta los cambios de origen pero si los cambiosde escala.
2 x
2
2 y
S
a
S
⋅ = ℜ ∈ ∀ + ⋅ =
b
a,
,
b
x
a
y
i
i
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA: Desviación típica
2
S
S
=
Desviación típica:
Raíz positiva de la varianza.
- Viene expresada en la misma unidad de medida que X,lo que facilita la interpretación de los resultados.• Toma siempre valores no negativos.• No le afecta los cambios de origen, pero si los cambios
No le afecta los cambios de origen, pero si los cambios
de escala.
ℜ ∈ ∀ + ⋅ =
b
a,
,
b
x
a
y
i
i
40
y
x
S
a
S
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVA: Coeficiente de
variación de Pearson S
Coeficiente de variación de Pearson:
Cociente entre la
desviación típica y la media
- Viene expresada en la misma unidad de medida que X,lo que facilita la interpretación de los resultados.
S X
CV
=
desviación
típica y la media.
- Toma siempre valores no negativos.• No se puede calcular cuando la media aritmética ennula• Si le afecta los cambios de origen, pero no los cambiosde escala cuando la constante es positiva.
41
Estadística Descriptiva
EJEMPLO: Medidas de Dispersión
EJEMPLO: Calcular
todas
las
medidas
de
dispersión
absolutas
y
relativa de una distribución de frecuencias que toma lossiguientes valores:
x
i
n
i
2
1
R=10-2=
5
2
7
1
10
1
25 . 1
5 4
25100
=
=
N
(^75).
3
4 15
75100
=
=
N
25 75
P P
RI=7-5=
42
Estadística Descriptiva
EJEMPLO: Medidas de Dispersión
x
i
n
i
x
ni
i
(x
i
-media)n
i^
x
(^2) i
n
i
2
1
2
4
5
2
10
50
7
1
7
49
10
1
10
100
Total
5
29
34.
203
x
2
S
S
S
2
2
43
Estadística Descriptiva
EJEMPLO: Medidas de Dispersión
x
i^
n
i
2
1
5
2
7
1
10
1
Total
5
x
S
(^46) '
0
(^8) '
5
64 ' 2
=
=
Cv
44
