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Capítulo IV
ANÁLISIS DE
ESTRUCTURAS
4.1 INTRODUCCIÓN
Para el análisis de estructuras se consideran tres categorías amplias de estructuras de ingeniería.
- Armaduras , las cuales están diseñadas para soportar cargas y por lo general son estructuras estacionarias que están totalmente restringidas. Las armaduras consisten exclusivamente de elementos rectos que están conectados en nodos localizados en los extremos de cada elemento. Por tanto, los elementos de una armadura son elementos sujetos a dos fuerzas , esto es, elementos sobre los cuales actúan dos fuerzas iguales y opuestas que están dirigidas a lo largo del elemento.
- Bastidores , los cuales están diseñados para soportar cargas, se usan también como estructuras estacionarias que están totalmente restringidas. Sin embargo, los armazones contienen por lo menos un elemento sujeto a varias fuerzas , esto es, un elemento sobre el cual actúan tres o más fuerzas que, en general, no están dirigidas a lo largo del elemento.
- Máquinas , las cuales están diseñadas para transmitir y modificar fuerzas, son estructuras que contienen partes en movimiento. Las máquinas, al igual que los armazones, siempre contienen por lo menos un elemento sujeto a varias fuerzas.
4.2. ARMADURAS
Son estructuras generalmente estacionarias que se hallan constituidas por elementos rectos sujetos a dos fuerzas, dirigidas a lo largo del eje del elemento, que están conectados únicamente en sus extremos mediante pernos. Como los elementos son delgados e incapaces de soportar cargas laterales, todas las cargas deben estar aplicadas en las uniones o nodos. La mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias armaduras unidas entre sí para formar una armadura espacial. Cada armadura está diseñada para soportar aquellas cargas que actúan en su plano y, por tanto, pueden ser tratadas como estructuras bidimensionales.
La armadura es uno de los principales tipos de estructuras que se usan en la ingeniería. Ésta proporciona una solución práctica y económica para muchas situaciones de ingeniería, en especial para el diseño de puentes y edificios. ***** Se dice que una armadura es rígida si está diseñada de modo que no se deformará mucho o se colapsará bajo la acción de una carga pequeña. A continuación se muestra una armadura sometida a una carga P y a un elemento individual sujeto a dos fuerzas.
4.2.1 ARMADURAS SIMPLES
Son aquellas armaduras que se obtienen a partir de una armadura triangular rígida, agregándole dos nuevos elementos y conectándolos en un nuevo nodo. Una armadura triangular constituida por tres elementos conectados en tres nodos es una armadura rígida. Si a una armadura triangular rígida le agregamos dos nuevos elementos y los conectamos en un nuevo nodo (ver figura), también se obtiene una estructura rígida. Las armaduras que se obtienen repitiendo este procedimiento reciben el nombre de armaduras simples. Se puede comprobar que en una armadura simple el número total de elementos es m = 2 n -3 , donde n es el número total de nodos.
A C
B D
A C
B
Sobre un elemento individual pueden actuar fuerzas, como las que se muestran en la figura. En el primer caso tienden a estirar al elemento y éste está en tensión; en la segunda figura tienden a comprimir al elemento y el mismo está en compresión.
A B
C
D
P
4.2.3 ARMADURAS EN EL ESPACIO O ESPACIALES
Son aquellas armaduras que se obtienen cuando varios elementos rectos se unen en sus extremos para formar una configuración tridimensional.
La armadura rígida básica en el espacio está constituida por seis elementos unidos en sus extremos para formar los lados de un tetraedro. Si se agregan tres elementos a esta configuración básica, uniéndolos a los tres nodos existentes y conectándolos en un nuevo nodo, se puede obtener una estructura rígida más grande, la cual se define como una armadura simple en el espacio. Además, como el tetraedro básico tiene seis elementos y cuatro nodos y que cada vez que se agregan tres elementos el número de nodos se incrementa en uno, se concluye que en una armadura espacial simple el número total de elementos es m = 3n – 6 , donde n es el número total de nodos.
Si una armadura espacial debe tener restricción completa y si las reacciones en sus apoyos deben ser estáticamente determinadas, los apoyos deben consistir en una combinación de bolas, rodillos y rótulas que proporcionen un total de seis reacciones desconocidas. Estas reacciones desconocidas se determinan al resolver las seis ecuaciones escalares que expresan que la armadura tridimensional está en equilibrio.
A pesar de que los elementos de una armadura en el espacio están unidos por conexiones soldadas o remachadas, se supone que cada nodo consiste en una reacción tipo rótula. Por tanto no se aplicará ningún par a los elementos de la armadura y cada elemento puede tratarse como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas. Las condiciones de equilibrio
para cada nodo estarán expresadas por las tres ecuaciones (^) Fx 0, (^) Fy 0, (^) Fz 0.
Entonces, en el caso de una armadura simple en el espacio que contiene n nodos, escribir las condiciones de equilibrio para cada nodo proporcionará un total de 3n ecuaciones. Como m = 3n – 6 , estas ecuaciones serán suficientes para determinar todas las fuerzas desconocidas (las fuerzas en los m elementos y las seis reacciones en los apoyos). Sin embargo, para evitar la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas, se debe tener cuidado en seleccionar nodos en un orden tal que ninguno involucre más de tres fuerzas desconocidas.
En la figura mostrada a continuación se tiene una armadura espacial apoyada en A y B por rótulas esféricas, mientras que CE es un enlace corto.
4.2.4 ANÁLISIS DE ARMADURAS POR EL MÉTODO DE SECCIONES
Éste método es más eficaz que el método de los nodos cuando únicamente se desea determinar la fuerza en un solo elemento o en muy pocos elementos de una armadura. Pasos a seguir:
- Se hace el DCL de la armadura completa y se usa dicho diagrama para calcular las reacciones en los apoyos.
- Se pasa una sección a través de tres o más elementos de la armadura cuyas fuerzas ejercidas se desea determinar.
- Se hace el DCL de una de las dos porciones de la armadura que resulta después de pasar la sección. La porción de armadura seleccionada para el análisis debe ser aquella que nos permita resolver el problema con mayor facilidad, es decir no debe tener más de tres incógnitas.
Por ejemplo, para determinar la fuerza en los elementos DH, EH y EI de la armadura de la figura siguiente, se pasa una sección a través de estos tres elementos, se remueven dichos elementos y se usa la porción inferior de la armadura como un cuerpo libre (ver figura ). Si se
escribe (^) M (^) E 0 , se determina la magnitud de la fuerza
F DH , la cual representa la fuerza
en el elemento DH. Un signo positivo indica que el elemento está en tensión ; un signo
negativo indica que el elemento está en compresión. Si se escribe (^) Fx 0 y (^) Fy 0 se
determinan las magnitudes de las fuerzas
F EH y
F EI.
4.2.5 ARMADURAS COMPUESTAS
Son armaduras que no se pueden construir a partir de la armadura triangular básica, pero que se obtienen conectando rígidamente varias armaduras simples. Si las armaduras simples que constituyen a la armadura compuesta han sido conectadas en forma apropiada (por medio de un perno y un eslabón o por medio de tres eslabones que no son concurrentes ni paralelos) y si la estructura resultante está bien apoyada (por medio de un perno y un rodillo), la armadura compuesta será estáticamente determinada , rígida y completamente restringida. Entonces se satisface la siguiente condición necesaria – pero no suficiente- : m + r = 2n , donde m es el número de elementos, r es el número de incógnitas que representan a las reacciones en los apoyos y n es el número de nodos. En la figura se muestra una armadura compuesta.
4.3 BASTIDORES Y MÁQUINAS
Los bastidores y máquinas son estructuras que contienen elementos sujetos a fuerzas múltiples, sobre los cuales actúan tres o más fuerzas. Los bastidores están diseñados para soportar cargas y usualmente son estructuras estacionarias totalmente restringidas. Las máquinas están diseñadas para transmitir o modificar fuerzas y siempre contienen partes móviles.
4.3.1 ANÁLISIS DE UN BASTIDOR
Para analizar bastidores que contienen uno o más elementos sujetos a la acción de fuerzas múltiples se deben seguir los siguientes pasos:
- Hacer el DCL del bastidor completo y utilizar este diagrama para calcular, en la medida de lo posible, las reacciones en los apoyos.
- Desensamblar el bastidor y hacer el DCL para cada uno de sus elementos.
A
C E
B D
F
- Considerar primero a los elementos sujetos a dos fuerzas. Estas fuerzas iguales y opuestas se aplican a cada uno de los elementos en los puntos en que éstos se conectan a otro elemento. Si el elemento sujeto a dos fuerzas es un elemento recto, dichas fuerzas están dirigidas a lo largo del eje del elemento.
- Después se consideran los elementos sujetos a fuerzas múltiples. Para cada uno de estos elementos se grafican todas las fuerzas que actúan sobre dicho elemento.
- Se determinan las fuerzas internas, al igual que aquellas reacciones que aún no se han determinado.
Nota. En el punto donde un elemento sujeto a fuerzas múltiples está conectado a otro elemento sujeto a fuerzas múltiples, se usan componentes horizontales y verticales para representar a las fuerzas internas que actúan sobre ese punto.
ELEMENTOS SUJETOS A FUERZAS MÚLTIPLES
Cuando se desensambla el bastidor y se identifican los diversos elementos que lo constituyen como elementos sujetos a dos fuerzas o elementos sujetos a fuerzas múltiples, se supone que los pernos forman una parte integral de uno de los elementos que éstos conectan. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los elementos sujetos a fuerzas múltiples, observando que cuando dos elementos sujetos a fuerza múltiples están conectados al mismo elemento sujeto a dos fuerzas, este último actúa sobre los elementos sujetos a fuerzas múltiples con fuerzas iguales y opuestas de magnitud desconocida pero cuya dirección es conocida. Cuando dos elementos sujetos a fuerzas múltiples están conectados por un perno, éstos ejercen entre sí fuerzas iguales y opuestas cuya dirección es desconocida , las cuales se deben representar por dos componentes desconocidas. Entonces se puede resolver las ecuaciones de equilibrio obtenidas a partir de los diagramas de cuerpo libre de los elementos sujetos a fuerzas múltiples para determinar las distintas fuerzas internas. También pueden emplearse las ecuaciones de equilibrio para completar la determinación de las reacciones en los apoyos. De hecho, si el bastidor es estáticamente determinado y rígido , los diagramas de cuerpo libre de los elementos sujetos a fuerzas múltiples pueden proporcionar un número de ecuaciones igual al número de fuerzas desconocidas (incluyendo las reacciones). Sin embargo, como se sugirió, es conveniente considerar primero el diagrama de cuerpo libre para el bastidor completo con el fin de minimizar el número de ecuaciones que se deben resolver de manera simultánea.
En la figura se muestra un bastidor sometido a una carga distribuida, y los diagramas de cuerpo libre del bastidor completo y de los tres elementos que resultan al desensamblar dicho bastidor.
4.3.2 ANÁLISIS DE UNA MÁQUINA
Las máquinas son estructuras diseñadas para transmitir y modificar fuerzas. No importa si éstas son herramientas simples o incluyen mecanismos complicados, su propósito principal es transformar fuerzas de entrada en fuerzas de salida. Para analizar una máquina se siguen los siguientes pasos:
- Hacer el DCL de la máquina completa y utilizarlo para determinar tantas fuerzas desconocidas ejercidas sobre la máquina como sea posible.
- Desensamblar la máquina y hacer el DCL para cada uno de los elementos que la constituyen.
- Considere primero a los elementos sujetos a dos fuerzas.
- Después se considera a los elementos sujetos a fuerzas múltiples.
- Aplicar las ecuaciones de equilibrio en los DCL que se han determinado y hallar las incógnitas solicitadas.
REy
REx RCx
RCy
RDy
RAx
RAy RBx
RBy
RCx
RCy
Por ejemplo, considere unas pinzas de corte que se emplean para cortar un alambre (ver figura). Si se aplican dos fuerzas iguales y opuestas P y – P sobre sus mangos, éstas ejercerán dos fuerzas iguales y opuestas Q y – Q sobre el alambre. Para conocer la magnitud Q de las fuerzas de salida cuando se conoce la magnitud P de las fuerzas de entrada (o a la inversa, para determinar P cuando se conoce Q), se dibuja un diagrama de cuerpo libre de las pinzas por sí solas, mostrando las fuerzas de entrada P y – P y las reacciones Q y – Q que el alambre ejerce sobre las pinzas.
Sin embargo, como las pinzas forman una estructura que no es rígida, se debe utilizar una de las partes que la constituyen como un cuerpo libre para poder determinar las fuerzas desconocidas. Por ejemplo, en la figura a , si se toman momentos con respecto a A, se obtiene la relación Pa = Q b , la cual define a la magnitud de Q en términos de P o a la magnitud de P en términos de Q. Se puede utilizar el mismo diagrama de cuerpo libre para determinar las componentes de la fuerza interna en A; de esta forma se obtiene que AX = 0 y A (^) y = P + Q.
Fuente: Beer F. y Johnston E. Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Octava edición
Fuente: Beer F. y Johnston E. Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Octava edición
Análisis del Nodo “A”
Al analizar el Nodo “A” se observa que sobre el actúan cuatro fuerzas: la fuerza aplicada
F y las fuerzas en los elementos AC, AB y AD. En la figura siguiente estamos asumiendo que la fuerza en el elemento AD es de TRACCIÓN y la fuerza en los elementos AB y AC es de COMPRESIÓN. A continuación se muestra el DCL del Nodo “A”, la expresión vectorial de cada una de las cuatro fuerzas que actúan sobre el Nodo “A” y los cálculos de las fuerzas en los elementos AB, AD y AC.
Para el equilibrio se cumple que: (^ )^0 ^0
FNODOEN^ ELA F FBA FAD FCA
Aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas para el Nodo “A”, tenemos:
0 1 , 73
1 , 1 1 , 53
1 , 1 0 , 17
0 10 ^0 ,^1 Fx kN FBA FAD FCA^... (1)
0 1 , 73
0 , 4 1 , 53
0 , 4 0 , 17
0 60 ^0 ,^4 Fy kN FBA FAD FCA^...^ (2)
0 1 , 73
0 , 6 1 , 53
0 20 ^0 ,^4 Fz kN FAD FCA^...^ (3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3), obtenemos:
FBA 72 , 154 kN ; FAD 43 , 293 kN ; FCA 13 , 153 kN
FBA
FAD
FCA
F
A
DCL DEL NODO “A” EXPRESIÓN VECTORIAL DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL NODO “A”
F^ (^10 ;^60 ;^20 ) kN
0 , 17
; ( 0 , 1 ; 0 , 4 ; 0 )
FBA FBA BA BA
;^0 ,^4
FBA FBA FBA
1 , 53
; ( 1 , 1 ; 0 , 4 ; 0 , 4 ) FAD FAD AD AD
F AD FAD FAD 1 , 53 F AD
;^0 ,^4
;^0 ,^4
1 , 73
; ( 1 , 1 ; 0 , 4 ; 0 , 6 )
FCA FCA CA CA
F CA FCA FCA 1 , 73 F CA
;^0 ,^6
;^0 ,^4
Además, como las fuerzas halladas tienen signo positivo, entonces los sentidos asumidos son correctos. Luego se cumple que, el elemento AD está sometido a TRACCIÓN y los elementos AB y AC están sometidos a COMPRESIÓN.
Análisis del Nodo “B”
Del análisis al Nodo “B” observamos que sobre el actúan cuatro fuerzas: las fuerzas en los elementos AB, BC, BD y BE. En la figura siguiente estamos asumiendo que la fuerza en los elementos BC, BD y BE es de TRACCIÓN. Además, se halló que la fuerza en el elemento AB es de COMPRESIÓN. A continuación se muestra el DCL del Nodo “B”, la expresión vectorial de cada una de las cuatro fuerzas que actúan sobre el Nodo “B” y los cálculos de las fuerzas en los elementos BC, BD y BE.
Para el equilibrio se cumple que: (^ )^0 ^0
FNODOEN^ ELB FAB FBC FBD FBE
Aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas para el Nodo “B”, tenemos:
0 1 , 64
1 1 , 16
1 1 , 36
1 0 , 17
0 ^0 ,^1 Fx FBA FBC FBD FBD^... (4)
0 1 , 64
0 , 8 0 , 17
0 ^0 ,^4 Fy FBA FBE^...^ (5)
DCL DEL NODO “B” EXPRESIÓN VECTORIAL DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL NODO “B”
^
FAB F BA
;^0 ,^4
FBA FBA
1 , 36
; ( 1 ; 0 ; 0 , 6 )
FBC FBC BC BC
F BC FBC 1 , 36 F BC
; 0 ;^0 ,^6
1 , 16
; ( 1 ; 0 ; 0 , 4 ) FBD FBD BD BD
F BD FBD 1 , 16 F BD
; 0 ;^0 ,^4
1 , 64
; ( 1 ; 0 , 8 ; 0 )
FBE FBE BE BE
;^0 ,^8
FBE FBE FBE
FBE
FBD
FBC
FAB
B
Fy^ ^0 ^69 ,^997 kN REy ^0 REy ^69 ,^997 kN Fz ^0 ^0 REz ^0 REz ^0
Luego, la fuerza de reacción en el apoyo E es: RE^ (^87 ,^496 kN ; ^69 ,^997 kN ;^0 )
Análisis del Nodo “D”
Analizando el Nodo “D” notamos que sobre el actúan las tres componentes de la fuerza de reacción debido al apoyo ubicado en el punto D y las fuerzas en los elementos AD y BD. En la figura siguiente estamos asumiendo que las tres componentes de la fuerza de reacción son positivas. Se halló además (ver cálculos anteriores) que las fuerzas en los elementos AD y BD son de TRACCIÓN y tiene una magnitud de 43,293 kN y 45,23 kN, respectivamente. A continuación se muestra el DCL del Nodo “D”, la expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre el Nodo “D” y los cálculos de las componentes de la fuerza de reacción debido al apoyo ubicado en el punto D_._
Para el equilibrio se cumple que: (^ )^0 ^0
FNODOEN^ ELD FDB FDA RD
Aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas para el Nodo “D”, tenemos:
Fx^ ^0 ^41 ,^995 kN ^38 ,^498 kN RDx ^0 RDx ^80 ,^493 kN Fy^ ^0 ^13 ,^999 kN RDy ^0 RDy ^13 ,^999 kN Fz^ ^0 ^16 ,^798 kN ^13 ,^999 kN REz ^0 REz ^30 ,^797 kN
Luego, la fuerza de reacción en el apoyo D es:
RD ( 80 , 493 kN ; 13 , 999 kN ; 30 , 797 kN )
DCL DEL NODO “D” EXPRESIÓN VECTORIAL DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL NODO “D”
F DB FBD FBD 1 , 16 F BD ; 0 ;^0 ,^4 1 , 16
1
F DB ( 41 , 995 kN ; 0 ; 16 , 798 kN )
F DA FAD FAD FAD 1 , 53 F AD
;^0 ,^4
;^0 ,^4
F DA ( 38 , 498 kN ; 13 , 999 kN ; 13 , 999 kN )
R^ D (^ RDx ; RDy ; RDz )
RDY
RDX
RDZ
FDA
D x
y
z
FDB
Análisis del Nodo “C”
Analizando el Nodo “C” notamos que sobre el actúan las tres componentes de la fuerza de reacción debido al apoyo ubicado en el punto C y las fuerzas en los elementos AC y BC. En la figura siguiente estamos asumiendo que las tres componentes de la fuerza de reacción son positivas. Se halló además (ver cálculos anteriores) que la fuerza en el elemento AC e s de COMPRESIÓN y tiene una magnitud de 13,153 kN, mientras que la fuerza en el elemento BC es de TRACCIÓN y tiene una magnitud 32,65 kN. A continuación se muestra el DCL del Nodo “C”, la expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre el Nodo “C” y los cálculos de las componentes de la fuerza de reacción debido al apoyo ubicado en el punto C_._
Para el equilibrio se cumple que: (^ )^0 ^0
FNODOEN^ ELC FCB FAC RC
Aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas para el Nodo “C”, tenemos:
Fx^ ^0 ^27 ,^997 kN ^10 ,^998 kN RCx ^0 RCx ^16 ,^999 kN Fy^ ^0 ^3 ,^999 kN RCy ^0 RCy ^3 ,^999 kN Fz^ ^0 ^16 ,^798 kN ^5 ,^999 kN RCz ^0 RCz ^10 ,^799 kN
Luego, la fuerza de reacción en el apoyo C es:
RC ( 16 , 999 kN ; 3 , 999 kN ; 10 , 799 kN )
DCL DEL NODO “C” EXPRESIÓN VECTORIAL DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL NODO “C”
F CB FBC FBC 1 , 36 F BC ; 0 ;^0 ,^6 1 , 36
1
F CB ( 27 , 997 kN ; 0 ; 16 , 798 kN )
F AC FCA FCA FCA 1 , 73 F CA ;^0 ,^6 1 , 73
;^0 ,^4 1 , 73
1 , 1
F AC ( 10 , 998 kN ; 3 , 999 kN ; 5 , 999 kN )
R^ C (^ RCx ; RCy ; RCz )
RCY
RCX
RCZ
FAC
C (^) x
y
z
FCB
Note que en el DCL de la armadura completa, las cargas aplicadas de 1 y 5 kN se han descompuesto en sus componentes horizontales y verticales. Esto nos permite facilitar los cálculos.
DCL de la Armadura completa:
Aplicando la ecuación escalar de suma de momentos, respecto al punto A, igual a cero, tenemos:
Luego:
RBY ( 6 m ) 3 kN ( 6 m ) 4 kN ( 4 m ) 0 , 6 kN ( 2 m ) 0 , 8 kN ( 6 m ) 2 kN ( 4 m ) 0 RBY 7 , 6 kN
Aplicando las dos ecuaciones escalares de suma de fuerzas igual a cero, tenemos que:
F^ X ^0 ^3 kN ^0 ,^8 kN ^2 kN RAX ^0 RAX ^5 ,^8 kN
FY^ ^0 RAY RBY ^0 ,^6 kN ^4 kN ^0 RAY ^4 ,^2 kN
MTOTALESA ^0^ +
2 kN
0,6 kN
3 kN
2 m
2 m
2 m
2 m
E
H
B
G F
C D
A
0,8 kN
4 kN
6 m
2 m
RAX
RAY RBY
C
D
G
Trazo de sección (o secciones) y cálculo de las magnitudes de las fuerzas en los
miembros CH, DF y EF de la armadura
Para trazar la sección correcta debemos tener en cuenta que ésta debe atravesar uno o más miembros cuya fuerza ejercida se desea calcular. En nuestro caso conviene primero trazar la
sección aa y analizar la porción superior de la armadura (ver figura siguiente). De esta forma
podemos determinar la magnitud de la fuerza en los miembros CH y EF , para ello aplicamos las ecuaciones escalares de suma de momentos y de suma de fuerzas iguales a cero.
MCTOTALES ^0^ +
3 ( 2 ) 0 3
4 2 2 3
0 , 8 ( 2 ) 0 , 6 2 3
2 2 3
(^2)
^
F Sen ^ m m m kN m kN m kN m m kN m
FE^
FFE 5 , 65 kN
Respuesta: FFE ^5 ,^65 kN ( COMPRESION )
Fy ^0 FHC^ Sen ^ ^0 ,^6 kN ^4 kN FFESen ^0 ;^ donde: FFE ^5 ,^65 kN
Despejando FHC tenemos: FHC ^2 ,^07 kN
Respuesta: FHC ^2 ,^07 kN ( TRACCION )
A continuación trazamos la sección bb , analizamos la porción superior de la armadura (ver la
figura mostrada a continuación) y calculamos la magnitud de la fuerza en el miembro DF.
C
H
A
2 m
2 m
2 m
2 m
(4/3) m
(2/3) m
FHC FE ϴ = 71,565o F
2 kN
0 , 8 kN
0 , 6 kN
4 kN
3 kN
FCD FED
C E
a
a
2 m
