Estática y centro de masa, Diapositivas de Física

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ESTATICA Y CENTRO DE

MASA

1

Prof. Ing. Alberto Pacci

2

Diferencia entre centro de

Masa y centro de gravedad

A nivel

superficie:

C.M. ≈ C.G.

Propiedades del centro de masa

El movimiento traslacional

del centro de masa de un

objeto es el mismo como si

toda la masa del objeto

estuviera en ese punto.

La fuerza de gravedad

ejercida sobre el objeto

puede ser representada

como si fuese siempre

ejercida en el centro de

masa. 4

El centro de masa de un par de partículas unidas se localiza

en algún lugar entre ellas dependiendo de la diferencia que

exista entre las masas:

Si 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 entonces el centro de masa se encuentra al

centro.

Si 𝒎𝟏 > 𝒎𝟐 entonces el centro de masa está más cerca de 𝒎𝟏

y viceversa.

Centro de Masa

𝑖

𝑖

𝑖

5

7

DETERMINACIÓN DEL PRIMER MOMENTO Y CENTROIDE DE

UN ÁREA COMPUESTA

en donde son las ordenadas de los centroides de las áreas componentes. Extendiendo estos resultados a un número arbitrario de áreas compuestas

8 EJERCICIO 1: Localizar el centroide C del área A mostrada en la figura Eligiendo el sistema de coordenadas de la figura, se observa que el centroide C debe estar en el eje y puesto que este eje es de simetría; así,

• 10 -

Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su CDG podrá

determinarse considerando que el cuerpo está constituido

por infinitos elementos cada uno de los cuales tenga un peso

dW dado así:

dW =  dV

donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:

= V

W  dV

Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea paralela al eje z , el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento será

dM x dW x ( dV )

y

y según la definición de CDG: ( )

= = = V V y

M xW x  dV x  dV

así pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será:

= V V dV x dV x  ( ) y análogamente:

= = V V V V dV z dV z dV y dV y     ( ) y ( )

• 11 - Casos. Determinación C.M.

• 13 -

Centroides de Superficies

El CDG G de una placa delgada, homogénea, de grosor t uniforme y superficie de área A, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma siguiente: dV = t dA. Así pues, en el caso de una placa delgada tendríamos:    = = = A A A z dA A y dA z A x dA y A x 1 1 1

Centroides de Líneas

El CDG G de un alambre curvo, homogéneo, de pequeña sección recta de área A y de longitud L, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de longitud en la forma: dV = A dL. Así pues, para una varilla o alambre finos tendríamos:    = = = L L L z dL L y dL z L x dL y L x 1 1 1

Ejercicio: Centro de Masa

Calcular el centro de masa del siguiente grupo de objetos

cuando 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎, 𝒃 = 𝟕 𝒄𝒎, 𝒎𝟏 = 𝟐 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟑 𝒌𝒈, 𝑴𝟏 =

14 i Mi xi yi Mi.xi Mi.yi 1 m1 0 b 0 M1.b 2 M1 a 0 M1.a 0 3 M2 - a 0 - M2.a 0 4 m2 0 - b 0 - m2.b Σ Σ Σ

16

• 17 - Centroides en algunas Líneas y Superficies

• 19 -

Centroides de algunos Volúmenes

• 20 - Centroides de algunos Volúmenes