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Diapositivas sobre los vectores
Tipo: Diapositivas
1 / 60
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Tabla N° 01
Tabla N° 02
Efectuar las siguientes conversiones :
a. a = 0.
2
s
m
2
2
s
pie
2
lg
s
pu
b. F = 150.60 N
2
.
s
lbpie
2
.
s
gcm
2
.
s
slugpie
2
5
2
2
1.1.1.B Conversión de algunos números en notación científica a notación decimal ordinaria.
76 x 10
4
= …………………………………….
342, 34 x 10
5
= ………………………………
9 = ………………………………
45,1234 x 10
= ……………………………….
0,347 234 x 10
= ……………………………..
1.1.1.C Normalización de un número en notación científica.
123,24 x 10
6 = ………………………………...
0, 000 04 x 10
11 = …………………………….
7 864 x 10
7 = ………………………………….
38,45 x 10
0,000 3233 x 10
324x 10
1.1.1.D Exprese las siguientes cantidades usando prefijos en vez de notación científica:
54,7 x 10
10
J = …………..…………………
12,3 x 10
4,7 x 10
13
g = …………..………………….
0,42 x 10
s = ………..……………………
0,06 x 10
5
Pa = ………….………………….
72 x 10
2 m/s = ………………………………
63 x 10
N = …………..………………….
4,1 x 10
7
N.m = ……. ………….……………
3,0 x 10
m = ………………………………
63 x 10
4,7 x 10
13
g = ……………………………..
0,003 x 10
11
K = ………………………….
72 x 10
2
m/s = ……………………………..
1 2,3 x 10 kg = ……………………………..
270 x 10
Pa = ……………………………
0,16 x 10
C = ……………………………..
1.1.1.E Desarrollar los siguientes problemas
30
kg. Fundamentalmente el Sol está compuesto de hidrógeno,
con solo una pequeña cantidad de elementos más pesados. El átomo de hidrógeno tiene una
masa de 1,67x
kg. Estimar el número de átomos de hidrógeno del Sol.
diariamente 4 km en promedio ¿Cuál es el orden de magnitud de la longitud total recorrida por
Juan?
interior de 5,70 cm y un radio exterior de 5,75 cm. La densidad del cobre es 8,92 g/cm
3
.
espesor de la placa? (densidad del Cu=8900Kg/m
3
)
x (12,45 m)x(0,21 m), obteniéndose 9,124605 m
3
. Diga si el valor calculado se escribió
correctamente. Si es necesario haga las correcciones que crea conveniente.
No siempre es necesario trabajar con todas las cifras decimales de un número. Para ello, lo que
se hace es suprimir un grupo de éstas de acuerdo a la precisión que nos pidan, esta operación se
denomina aproximación. A la mejor de las aproximaciones se le denomina redondeo.
Para redondear un número a determinado orden, se suprimen las cifras hasta dicho orden cumpliendo
las siguientes reglas:
1º Si la primera cifra suprimida es mayor a 5, la cifra anterior (no suprimida) aumenta en una unidad.
2º Si la primera cifra suprimida es menor a 5, la cifra anterior no aumenta.
3º Si la primera cifra suprimida es igual a 5 y la anterior es par o el cero, ésta última no aumenta.
4º Si la primera cifra suprimida es igual a 5y la anterior es impar, ésta última aumenta en una unidad.
Si es par no aumenta.
A esta método de redondeo se le da distintas denominaciones: redondeo gaussiano, convergente,
imparcial, holandés, de banquero, o de estadístico.
Ejemplo Nº 1 .- Redondeo de números.
Redondear la siguientes cantidades :
Las cifras significativas (también llamadas dígitos significativos) de un número son aquellos
dígitos que contribuyen significativamente a la precisión de dicho número. El concepto de cifras
significativas está ligado a los de aproximación y redondeo, conceptos útiles cuando se trabaja con
números extensos y se desea realizar cálculos prácticos.
Las reglas para identificar cifras significativas de valores cuando se escriben o interpretan números
MEDIDOS O CALCULADOS son las siguientes:
Todo dígito diferente de cero es considerado significativo.
4,23 tiene tres cifras significativas.
2,432 92 tiene seis cifras significativas.
7 773 tiene cuatro cifras significativas.
8 tiene una cifra significativa.
Los ceros ubicados entre dígitos distintos de cero son significativos.
2, 45002 tiene seis cifras significativas.
400,38 tiene cinco cifras significativas.
10 000,000 01 tiene diez cifras significativas.
2 000 098 tiene siete cifras significativas.
N° NORMA NUMERO
REDONDEAR
A ………
REDONDEADO
Si la (n+1)-ésima cifra
suprimida es menor que
5, la n-ésima cifra
conservada no varía.
Si la (n+1)-ésima cifra
suprimida es mayor que
5, la n-ésima cifra
conservada se aumenta
en 1.
Si la (n+1)-ésima cifra
suprimida es igual a 5,
pueden ocurrir dos
casos:
Entre las cifras
suprimidas, además de
la cifra 5 hay otra(s)
distintas de cero. En éste
caso, la n-ésima cifra
conservada se aumenta
en 1.
Todas las demás cifras
suprimidas, salvo la cifra
5, son ceros. En éste
caso la n-ésima cifra
conservada se aumenta
en 1, si es impar, y no
varía si es par.
Los ceros escritos a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.
0,000 234 tiene tres cifras significativas
0,0032 tiene dos cifras significativas
0,000 020 03 tiene cuatro cifras significativas.
0,09 tiene una cifra significativa
Para números con coma decimal, todos los ceros ubicados a la derecha del último dígito
distinto de cero son significativos.
34,6300 tiene siete cifras significativas.
0,7500 tiene cuatro cifras significativas.
0,003 400 0900 tiene ocho cifras significativas.
700,00 tiene cinco cifras significativas.
Para números sin coma decimal, los ceros ubicados a la derecha del último dígito distinto de cero,
pueden ser o no significativos. Para saber cuál es el número de cifras significativas en este caso, es
necesario:
a) Si el valor numérico es producto de una medición, obtener más datos respecto al procedimiento
con que se obtuvo la medida.
b) Expresar el número en notación científica. De esa manera, se evitan ambigüedades.
1 300 puede tener dos, tres o cuatro cifras significativas.
1 000 200 puede tener cinco, seis o siete cifras significativas.
30 000 puede tener una, dos, tres, cuatro, o cinco cifras significativas.
40 puede tener una o dos cifras significativas.
Expresando el número 30 000 del ejemplo anterior en notación científica:
3,0000 x 10
4
tiene cinco cifras significativas.
3,000 x 10
4 tiene cuatro cifras significativas.
3,00 x 10
4
tiene tres cifras significativas.
3,0 x 10
4 tiene dos cifras significativas.
3 x 10
4
tiene una cifra significativa.
El resultado debe tener tantas cifras significativas a la derecha de la coma decimal como el sumando
que tiene la menor cantidad de cifras significativas a la derecha de la coma decimal.
12,4553 + 223,5 + 234,3 + 4,6 = 474,8553 se redondea a 474,8.
4,45 – 0,4000 = 4,0500 se redondea a 4,05.
0,036 + 0,94 + 2 = 2,976 se redondea a 3,98.
57,57 x 10
= 575,7 x 10
= 582,38x
se redondea a 582,4 x 10
.
El resultado debe tener tantas cifras significativas como el sumando( y/o factor en la
multiplicación) que tiene la menor cantidad de cifras significativas.
14,67 x 4,7654 = 69,908 418 se redondea a 69,91.
78,6 / 6,644 33 = 11,829 635… se redondea a 11,8.
(2,45 x 10
4
)(1,0088 x 10
2
) = 2,559 56 x 10
6
se redondea a 12,56 x 10
6
(14,7536 x 10
) / (2,666 X 10
) = 5,5339 8 x 10
se redondea a 5,534 x 10
6.2456 + 6.2 = 12.4456 redondeado a 12.
Nota: 3 cifras significativas en la respuesta
2.51 x 2.30 = 5.773 redondeada a 5.
2.4 x 0.000673 = 0.0016152 redondeado a 0.
Para números que NO SON MEDIDOS O CALCULADOS, que pueden estar presentes en fórmulas
matemáticas como constantes, o se obtienen por conteo, se les considera que poseen infinitas cifras
significativas.
En la fórmula del área de un triángulo, A = (b x h) / 2. El número 2 tiene infinitas cifras significativas:
distintos de cero.
Los ceros situados entre dos
cifras significativas, son
significativos.
Los ceros a la izquierda de la
primera cifra significativa no se
consideran como significativos.
Para números iguales o mayores
que 1, los ceros a la derecha de la
coma son significativos.
Si el número es menor que uno,
entonces únicamente los ceros
que están al final del número y
entre los dígitos distintos de cero
son significativos
Sub-
Sistema
c.g.s. cm gf s
M.K.S. m Kgf s
F.P.S. pie lbf s
Magnitud Fundamental Símbolo Unidad Básica Símbolo
Longitud
Masa
Tiempo
Temperatura
termodinámica
Intensidad de corriente
eléctrica
Intensidad luminosa
Cantidad de sustancia
Ángulo plano
Ángulo sólido
rd
sr
Metro
kilogramo
tiempo
kelvin
ampere
candela
mol
radián
steradian
Kg
s
cd
mol
rad
st
Sub-
Sistema
c.g.s. cm g s
M.K.S. m Kg s
F.P.S. pie lb s
Es el proceso por el cual se asigna un número a una propiedad física de algún fenómeno con propósito
de comparación, siendo este proceso una operación física en la que intervienen necesariamente tres
sistemas: El sistema objeto que se desea medir; el sistema de medición o instrumento y el sistema
de comparación que se define como unidad y que suele venir unido o está incluido en el instrumento.
Supongamos que medimos la temperatura de una persona y encontramos que:
Entonces la magnitud medida es la temperatura T; 37 es la parte numérica y la unidad de medida es
el grado Celsius. En general expresamos cualquier medición en la forma:
M = Xu (1)
Donde M es la magnitud a medir, X el valor numérico que buscamos y u la unidad de medida.
Medida materializada, aparato de medición o material de referencia, destinado a definir, conservar o
reproducir una unidad para servir como referencia.
Una medición se lleva a cabo con una especificación apropiada de:
Medición Directa Se obtiene al aplicar directamente el instrumento de medición y efectuar la lectura
en su escala correspondiente. Ejemplos: La presión arterial, la temperatura corporal, el ritmo cardíaco.
Medición Indirecta. Cuando la medida se obtiene usando una fórmula matemática que relacione la
magnitud a medir con otras magnitudes que son medibles directamente. Ejemplos:
a) El peso de un individuo se puede medir con la fórmula P = mg, donde m es la masa que se
determina en una balanza y g es la aceleración de la gravedad del lugar.
b) La medida de la superficie corporal S en m
2 se calcula con la fórmula de Dubois:
S = 0,2025 m
h
(2)
Donde m es la masa de la persona en kg y h, su talla en metros
c) La medida de la frecuencia del pulso se determina por la ecuación:
f =
t
donde P es el número de pulsos que se contabilizan en un tiempo t
Errores. Toda medida de una magnitud física, en general, adolece de un error. Se llama error e a la
diferencia entre el valor que se obtiene en una medición y el valor “verdadero”.
e = V – M (4)
Donde V es el valor verdadero de la magnitud y M es el resultado de una medición. En todos los casos
dicho valor “verdadero” es desconocido.
Incertidumbre Es el error experimental y se puede expresar de diversas maneras, siendo las más
usuales: La desviación típica o estándar, la desviación promedio, el error probable, etc.
Discrepancia Es la diferencia que existe entre dos valores correspondientes a dos mediciones
diferentes, o a dos resultados diferentes, de una misma magnitud física.
Tipos de Errores
Errores Sistemáticos. Son aquellos que se repiten debido a un defecto en el instrumento de medida
o a un defecto de lectura del operador. Entre estos tenemos: Errores de calibración del instrumento de
medida, errores de imperfecciones del método de medida, errores personales.
Errores Estadísticos o Aleatorios. Son aquellos inherentes al método de medida cuya presencia sólo
está regida por las leyes de la probabilidad. Pueden ser:
a) Errores de Juicio como la aproximación dada en la lectura de fracciones de división de una escala
dada.
b) Errores por condiciones fluctuantes , tales como las variaciones de temperatura, de voltaje, de
presión, etc. Algunos autores los denominan errores teóricos
c) Errores de definición así por ejemplo, la longitud de objetos que no tienen bordes perfectamente
definidos, o el espesor de láminas rugosas, etc.
Precisión Si los errores estadísticos son pequeños se dice que el experimento o el cálculo son de alta
precisión.
Exactitud Si los errores sistemáticos son pequeños se dice que el experimento tiene gran exactitud.
Cálculo Del Error En Mediciones Directas
1. Valor Medio Sean x 1 , x 2 , x 3 , ………………, x n ; un número n de medidas de una magnitud física. El
valor más probable de dicha magnitud es la media aritmética de tales medidas, es decir :
p
n
1 2 3
2. La Desviación ( i ) de una medida es la diferencia entre la medida xi y la media aritmética o promedio
aritmético de las mismas:
i i p
3. El error absoluto ( x ) en una serie de n medidas está dado por:
n
i 1
2
i
=
o promedio de las medidas más o menos el error absoluto. Esto es:
x = x p x unidades (8)
p
r
% r
d) Módulo (o Intensidad) .- Viene hacer el valor o medida de la magnitud vectorial.
Lo mismo podemos decir de la velocidad, aceleración, fuerza etc. Todas estas son magnitudes
vectoriales y quedan completamente determinadas expresando su dirección y sentido, además de un
número seguido por sus unidades. Ejemplos :
2
aceleración 6 cos 30 i 3 sen 30 j m / s
o o
a. Vector Unitario
Es todo vector de módulo unidad (u = 1).
se puede representar por el producto de
un vector unitario
en la dirección y sentido de
y k
son ejemplos de vectores unitarios trirrectangulares.
b. Vectores Colineales .- Son aquellos
vectores que están contenidos en una sola línea
de acción (L).
c. Vectores Coplanares .- Son aquellos
vectores que se encuentran distribuidos en un
mismo plano (P) y le pertenece.
C
L ( LíneadeAcción )
FiguraN º 03
A
C
P
Figura Nº 02
i
d. Vectores Paralelos y Antiparalelos :
1. Vectores paralelos.- Dos vectores
son equipotentes si tienen
el mismo módulo, la misma duración
e idéntico sentido. Si además tienen
el mismo origen o punto de aplicación,
son iguales.
2. Vectores antiparalelos .- Tienen
Diferente dirección y sentido, no
siempre tiene el mismo módulo.
e. Vectores Concurrentes .- Son aquellos vectores
que tienen el mismo origen.
f. Vector Libre .- Aquel vector cuyo
punto de aplicación no está definido en el
espacio. Sirve para representar el
desplazamiento (sin rotación) de un
cuerpo o el momento de un par.
g. Vector Deslizante.- Es aquel vector que tiene una sola
recta en el espacio a lo largo de la cual actúa, en el caso del
vector fuerza se le conoce como línea de fuerza o directriz. Esta
sirve por ejemplo, para representar la fuerza que se requiere
para sostener un cuerpo en el aire, puesto que puede ser
aplicado en cualquier punto (A, B, C, etc.) sin que se altere el
efecto de su suspensión (principio de transmisibilidad).
Método Analítico ( o Descomposición Rectangular ) de un Vector en dos dimensiones
, cuya representación cartesiana es la siguiente :
A A i A j A , A A A (cos i sen j ) x y x y
( o puntodeconcurrencia )
Origencomún
1
F
2
F
3
F
n
F
FiguraN º 07
F
FiguraN º 08
o
M
unpar
Momentode
A
B
FiguraN º 09
VectoresParalelos
VectoresAntiparalelos
FiguraN º 06
A
A
De la figura Nº 14 ,se deduce :
A A Cos
A Asen
A A
z
y
x
.
.
.cos
=
=
=
Si tenemos :
2 2 2 2
x y z
A = A + A + A
1
2 2 2
Cos + Cos + Cos =
Asimismo se obtendrá que :
x y z x y z
z
y
x
A
z
y
x
A
R
Q
P
Figura Nº 14
donde :
A ACos y A A Sen
A A Cos A A Sen
z
x y
2 2 2
x y z
Ejemplo Nº 10 .- Hallar el ángulo formado por los vectores A = 2 i + 2j – k y B = 6 i – 3 j + 2 k
Solución:
2 2 2
2 2 2
A A Sen
A A Cos
A A Sen
A A Cos
z
y
x
Combinando las ecuaciones anteriores,
obtendremos las Componentes
en tres
dimensiones.
A A Cos
A ASen Sen
A A Sen Cos
z
y
x
x y z x y z
− y
− z FiguraN º 15
− x
y
x
k
k
z
