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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE

CÓMPUTO

Apuntes de Cálculo Aplicado

Profesora: Elena Fabiola Ruiz Ledesma

Abril 2018

Cálculo Aplicado

Cálculo Aplicado

La formación de ingenieros demanda un aprendizaje considerable de las matemáticas que contribuya a resolver problemas de orden técnico y tecnológico, pero, sobre todo, práctico. Las matemáticas que necesita un ingeniero deben proporcionar herramientas e instrumentos capaces de lograr la optimización en el uso de los recursos que la humanidad posee y requiere para su desarrollo [1].

El Cálculo otorga a los ingenieros los conocimientos y saberes necesarios que los puedan llevar a la resolución y modelado de problemas prácticos que incluyan funciones matemáticas con variable real. La forma en que es abordada la unidad de aprendizaje de Cálculo a nivel universitario debe contribuir a que el estudiante tenga un aprendizaje reflexivo y que sea crítico.

En los últimos años las escuelas de nivel superior han orientado su formación académica a fin de que sus egresados tengan un nivel de desarrollo rentable para las empresas, desafortunadamente los estudiantes ingresan con un nivel en Cálculo, bastante bajo, el cual, no permite el completo desarrollo de sus capacidades analíticas en las distintas materias que lo requieren.

Entre los problemas de aprendizaje del Cálculo que se han detectado en los estudiantes de nivel medio y superior, está la falta de significado y sentido [2] que tienen de los conceptos involucrados (función, límite, derivada e integral). Algunos autores de la literatura de matemática educativa lo atribuyen a que el estudio del Cálculo se restringe a una manipulación algebraica dejando a un lado las múltiples representaciones que hay [2, 3-7]. El punto de vista de algunos investigadores [5], es que las tareas de conversión promoverían un mejor entendimiento de las funciones y permitirían también el desarrollo de procesos de visualización. En lo general, las tareas de conectar las diferentes representaciones de un concepto ayudan a su comprensión. En las referencias [2,3-8], se proporcionan ejemplos claros de experimentación educativa en donde la visualización es un elemento primordial para el aprendizaje del Cálculo.

Esta problemática, de la falta de otorgamiento de significado y sentido a los conceptos involucrados en el Cálculo, también se refleja en los estudiantes de la ESCOM, lo que influye en que los estudiantes no logran enfrentar con éxito las

Elena Fabiola Ruiz Ledesma

situaciones problemáticas que se les pide resolver en la unidad de aprendizaje de Cálculo Aplicado, trayendo como consecuencia:

 Bajo aprovechamiento en la materia.  Alto índice de reprobación.  Retraso en el aprendizaje de otras materias cuya base es Cálculo.  Falta de interés en aprender otros métodos de estudio  Deserción de los estudiantes por no poder acreditar las materias básicas.

Con la finalidad de apoyar al docente y al estudiante, se han desarrollado los apuntes de la Unidad de Aprendizaje de Cálculo Aplicado, empleando ejercicios rutinarios y problemas en contexto y mostrando paso a paso los procesos de solución.

Los apuntes se han organizado de la siguiente forma:

Se abordan los temas del programa de estudio en los cuales se dividen en 4 unidades temáticas.

La primera unidad se denomina Aplicaciones de la derivada y se inicia con razones de cambio relacionadas, se continúa con aplicaciones de la diferencial de una función, para determinar los errores en mediciones. El tercer tema es la determinación de puntos críticos, como los intervalos de crecimiento y concavidad de una función, empleando los criterios de la primera y segunda derivada. Se termina la primera unidad temática con la resolución de problemas de optimización.

La segunda unidad se denomina Aplicaciones del Cálculo Integral, de tal forma que se inicia con la determinación del área entre curvas, para pasar a la obtención de volúmenes de sólidos de revolución, mediante diferentes técnicas. Se concluye esta segunda unidad con el tema de longitud de arco.

La forma en cómo se presenta el contenido de los apuntes se describe enseguida:

Elena Fabiola Ruiz Ledesma

Al definir la derivada de una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un punto fijo 𝑥𝑥 0 , se explicitó en el curso previo de Cálculo, que:

𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥 0 ) = lim ℎ→

= lim 𝑥𝑥→𝑥𝑥 0

= lim ∆𝑥𝑥→

Donde ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ), 𝑦𝑦 ∆𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 = ℎ, son los incrementos de las variables y y x, respectivamente.

Refiriéndonos a estos incrementos podemos decir que:

• El incremento ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ) muestra el cambio que tiene la variable 𝑦𝑦.
• El incremento ∆𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 = ℎ muestra el cambio que tiene la variable 𝑥𝑥. De esto se desprende la definición.

Definición 1.1.1 El cociente ∆𝑦𝑦∆𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ) 𝑥𝑥−𝑥𝑥 0 =^

𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 +ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ) ℎ , es una razón de cambio que muestra la razón entre el cambio que tiene la variable 𝑦𝑦 y el cambio que tiene la variable 𝑥𝑥.

Es decir, es una razón que compara el cambio de la variable 𝑦𝑦 con respecto al cambio de la variable 𝑥𝑥. O en otras palabras, es una razón que mide el cambio promedio de la variable 𝑦𝑦, a lo largo del intervalo limitado por 𝑥𝑥 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 0 + ∆𝑥𝑥.

Ahora bien, al escribir lim ∆𝑥𝑥→

∆𝑦𝑦 ∆𝑥𝑥 nos estamos refiriendo a la razón de cambio promedio de la variable y cuando se consideran cambios cada vez más pequeños en la variable 𝑥𝑥.Podemos decir que con este límite se busca una razón de cambio

instantánea de la variabley con respecto a la variable 𝑥𝑥. Es decir:

Definición 1.1.2 Cuando hacemos que la longitud (|∆𝑥𝑥|) del intervalo limitado por 𝑥𝑥 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 0 + ∆𝑥𝑥 tienda a cero, “la razón de cambio promedio de 𝑦𝑦” se convierte en “la razón de cambio instantánea de 𝑦𝑦”, con respecto a 𝑥𝑥.

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Cálculo Aplicado

En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t, es usual referirse a la derivada como una velocidad de cambio, en lugar de decir razón de cambio instantánea con respecto a t. Por ejemplo:

• Si 𝑥𝑥 = ∅(𝑡𝑡) es la posición de un móvil en el instante de tiempo t, entonces 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦 =

∅ ′(𝑡𝑡)^ es la velocidad de cambio de la posición 𝑥𝑥 = ∅(𝑡𝑡) en el instante de tiempo 𝑡𝑡, que es la velocidad instantánea del móvil.

• Si 𝑣𝑣 = 𝑔𝑔(𝑡𝑡) es la velocidad de un móvil en el instante de tiempo t, entonces 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝑔𝑔 ′(𝑡𝑡) es la velocidad de cambio de la velocidad 𝑣𝑣 = 𝑔𝑔(𝑡𝑡) en el instante de tiempo 𝑡𝑡, que es la aceleración instantánea del móvil.

Supongamos ahora que, en el contexto de un problema, se tiene una función de la que queremos medir y obtener su razón de cambio (su derivada). Es muy probable que dicha función se encuentre relacionada con otras funciones cuyas derivadas (razones de cambio) se conozcan. La estrategia en este caso consiste en determinar una relación matemática en donde se relacionen las funciones que aparezcan en el contexto del problema.

Posteriormente se deriva la expresión matemática mencionada y se obtiene una relación de funciones y razones de cambio (las que se conocen con las que no se conocen).

Por último se despeja la razón de cambio deseada que estará en términos de las otras razones de cambio.

Se dice entonces que se tiene un problema de razones de cambio relacionadas.

En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿Qué es lo que se pide en el problema? Así como, ¿Qué es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que se pide y lo que se sabe, procedemos a matematizar el problema.

Ejemplo 1.1.1 Rapidez de crecimiento del área de un círculo

Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3m, este aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm/s. ¿A qué rapidez (velocidad) aumenta el área del círculo formado por dicha onda?

Cálculo Aplicado

Figura 1.2 Representación gráfica de los barcos.

Datos

Si 𝑥𝑥(𝑡𝑡)^ es la distancia recorrida en 𝑡𝑡 horas por el barco B que se desplaza hacia el este, entonces:

𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣𝐵𝐵 ∙ 𝑡𝑡 = 40

Y si 𝑦𝑦(𝑡𝑡) es la distancia recorrida en 𝑡𝑡 horas por el barco A que se desplaza hacia el sur, entonces:

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣𝑑𝑑 ∙ 𝑡𝑡 = 30

Donde 𝑥𝑥(𝑡𝑡)^ 𝑦𝑦 𝑧𝑧(𝑡𝑡) dependen del tiempo 𝑡𝑡

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Operaciones

Derivando implícitamente con respecto a 𝑡𝑡 se obtiene:

2 𝑧𝑧(𝑡𝑡) �

De donde, para cualquier instante 𝑡𝑡, mientras x>0:

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡

En el instante 𝑡𝑡𝑜𝑜 en 𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑜𝑜) = 4 𝑚𝑚 se tiene que

𝑧𝑧(𝑡𝑡𝑜𝑜)^2 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡𝑜𝑜)^2 + 3^3 = 4^2 + 9 = 25 ⇒ 𝑧𝑧(𝑡𝑡𝑡𝑡) = 5 𝑚𝑚

Y debido a que 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = −0.8 𝑚𝑚𝑠𝑠 obtenemos que, en ese instante 𝑡𝑡𝑜𝑜:

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡

Respuesta

El signo negativo del resultado indica que la distancia 𝑥𝑥 de la lancha al muelle disminuye o decrece a razón de 1 m/s.

Ejemplo 1.1.3 La escalera

Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared en una proporción de 1 pie/s. ¿Qué tan rápido la parte superior de la escalera resbala hacia abajo por la pared cuando la parte inferior de la escalera está a 6 pies del muro?

Proceso de solución

Primero dibuje un esquema y ponga los datos como se muestra en la figura 1.3. Sea 𝑥𝑥 pies la distancia desde la parte inferior de la escalera al muro y 𝑦𝑦 pies la distancia desde la parte superior de la escalera al piso. Observe que 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 son funciones del tiempo 𝑡𝑡 (tiempo que se mide en segundos).

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Ejemplo 1.1.4. Depósito de agua

Un depósito para agua tiene la forma de un cono circular invertido, el radio de la base es de 2 m, y la altura es de 4 m. Si el agua se bombea hacia el depósito a una razón de 2 m3/min, determine la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene 3 m. de profundidad.

Proceso de solución

Primero elabore un diagrama del cono y anote la información como en la figura 1.5. Sean 𝑉𝑉, 𝑟𝑟 y ℎ el volumen del agua, el radio de la superficie circular y la altura en el tiempo 𝑡𝑡, donde 𝑡𝑡 se mide en minutos.

Figura 1.5 Representación icónica del problema

Datos

Se sabe que 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚^

3 𝑚𝑚𝑝𝑝𝑚𝑚 y se pide determinar^

𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 cuando h es^3 𝑚𝑚. Las cantidades^ 𝑉𝑉^ y ℎ se relacionan mediante la ecuación

𝑉𝑉 =

Operaciones y relaciones

Pero es muy útil expresar 𝑉𝑉 sólo en función de ℎ. Con objeto de eliminar 𝑟𝑟, recurra a los trángulos semejantes en la figura 3 para escribir

𝑟𝑟 ℎ

Y la expresión para 𝑉𝑉 se vuelve

2 ℎ =

Ahora puede derivar con respecto a 𝑡𝑡 cada miembro:

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Cálculo Aplicado

𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑡𝑡

De modo que

𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑡𝑡

Al sustituir ℎ = 3 𝑚𝑚 y 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 𝑚𝑚^

3 𝑚𝑚𝑝𝑝𝑚𝑚 obtiene 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜋𝜋(3)^2

El nivel del agua sube a razón de (^) 9𝜋𝜋^8 ≈ 0.28 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝𝑚𝑚.

Respuesta

La rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene 3 m. de profundidad

es de 0.2829 𝒎𝒎^

𝟑𝟑 𝒎𝒎 (^) 𝒊𝒊 𝒏𝒏

Ejemplo 1.1.5 Dos automóviles

El automóvil A se dirije hacia el oeste a 50 𝑚𝑚𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ℎ 𝑠𝑠y el vehículo B viaja hacia el norte

a 60 𝑚𝑚𝑝𝑝 ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠. Ambos se dirigen hacia la intersección de los dos caminos. ¿Con qué

rapidez se aproximan los vehículo entre sí cuando el autmóvil A está a 0.3 𝑚𝑚𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠 y el vehículo B está a 0.4 𝑚𝑚𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠 de la intersección?

Propuesta de solución

Datos

Dibuje la figura 1.6 donde C es la intersección de los caminos. En un tiempo dado 𝑡𝑡, sea 𝑥𝑥 la distancia entre el automóvil A y C, sea 𝑦𝑦 la distancia desde el automóvil B a C. y sea 𝑧𝑧 la distancia entre los vehículos, donde 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 y 𝑧𝑧 se miden en millas.

Figura 1.6 Representación icónica del problema

Cálculo Aplicado

Las ideas detrás de las aproximaciones lineales se formulan en ocasiones en la terminología y la notación de diferenciales. Si 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), donde f es una función derivable, entonces la diferencial dx es una variable independiente; esto es, 𝑑𝑑𝑥𝑥 es cualquier número real. La diferencial 𝑑𝑑𝑦𝑦 es entonces definida en términos de 𝑑𝑑𝑥𝑥 mediante la ecuación:

𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

Definición 1.2.1 La diferencial de una función es igual al producto de la derivada de esa función por la diferencial de la variable independiente.

Sea 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥

Sustituyendo Δx por dx:

𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

Al incremento Δx, se le llama diferencial de la variable independiente y se denota como dx.

A la funciónf’(x) dx, se le llama diferencial de la variable dependientey, y se denota

comody.

Δy representa el incremento de la función y se escribe:

∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Y como Δy se aproxima a la diferencial de y se tiene:

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + ∆𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

Elena Fabiola Ruiz Ledesma

Al incremento de ∆𝑥𝑥 se le llamadiferencial de la variable independiente y se denota

como:

∆𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑥𝑥

A la función 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥 se le llama diferencial de la variable dependiente y, y se denota por

𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥

Se observa que ∆𝑦𝑦 es diferente de la diferencial dey, pero ∆𝑦𝑦 se aproxima a la 𝑑𝑑𝑦𝑦.

𝑆𝑆𝑝𝑝𝑚𝑚 ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥)^ − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

∴ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥)^ ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

La idea es que puede resultar fácil calcular un valor f (a) de una función, pero difícil (si no es que imposible) calcular valores cercanos de f. Por tanto, recurrimos a los valores calculados fácilmente de la función lineal L cuya gráfica es la recta tangente de f en (a, f(a)). En otras palabras, utilizamos la recta tangente en (a, f (a)) como una aproximación a la curva y = f (x) cuando x está cerca de a. Una ecuación para la recta tangente es

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑚𝑚) + 𝑓𝑓′(𝑚𝑚)(𝑥𝑥 − 𝑚𝑚)

Definición 1.2.1.1 La aproximación 𝑓𝑓(𝑥𝑥)^ ≈ 𝑓𝑓(𝑚𝑚) + 𝑓𝑓′(𝑚𝑚)(𝑥𝑥 − 𝑚𝑚) se conoce con el nombre de aproximación lineal o aproximación de la recta tangente de f en a. A la función lineal cuya gráfica es esta recta tangente, es decir, 𝐿𝐿(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑚𝑚) + 𝑓𝑓′(𝑚𝑚)(𝑥𝑥 + 𝑚𝑚), se llama linealización de f en a.

Ejemplo 1.2.1.1 ¿Para cuáles valores de 𝑥𝑥 la aproximación lineal es exacta con una diferencia menor que 0.5? ¿Qué puede decir de una exactitud con una diferencia menor que 0.1?

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Si x denota el valor medido de una variable, 𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥 representa el valor real, entonces ∆𝑥𝑥 denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud 𝑓𝑓(𝑥𝑥), entonces la diferencia que hay entre 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥)^ y 𝑓𝑓(𝑥𝑥)^ se le conoce como error propagado.

Sin embargo, en la práctica empleamos el error relativo:

𝐸𝐸𝐸𝐸 = (^) 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑜𝑜𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑑𝑑 𝑦𝑦𝑦𝑦

Ejemplo 2.1.6

En los incisos a, b y c, utilice el concepto de diferencial de una función para aproximar los valores de las operaciones solicitadas en cada inciso:

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) = 2√𝑥𝑥^1

√25.4=^ √25 +^

1 2√𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

√25 + 0.4 ≈ 5 +

𝑏𝑏) (2.001)^5

(2.001)^5 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 5𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑥𝑥

2 3

Cálculo Aplicado

2 3

𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) = 23 𝑥𝑥

− 3

𝑆𝑆𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 8 ; ∆𝑥𝑥 = 0.

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) = 𝑥𝑥

2 (^3) + 23 𝑥𝑥 3 −^

1 (^3) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 4 + 0.2 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑

Ejemplos de problemas en contexto

Ejemplo 1.2.1.3 El cubo

La medida efectuada del lado de un cubo es de 30 cm con un error posible de ±0. cm.

a) ¿Cuál es el error máximo posible aproximado del volumen del cubo?

Datos Uso de fórmula y operaciones

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 (30)^3 + 3(30)^2 (0.02) = 27054

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 (30)^3 + 3(30)^2 (−0.02) = 26946

𝐸𝐸𝑃𝑃 = 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑝𝑝𝑟𝑟𝑡𝑡𝑥𝑥𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑥𝑥 = 30 EP = 27000 − 27054 = ±

∆𝑥𝑥 = ±0. Respuesta

a) El error máximo en la medición del volumen es de ±54 𝑑𝑑𝑚𝑚^3

b) ¿Cuál es el error relativo?

Al emplear la fórmula y sustituir los valores se obtiene:

𝐸𝐸𝐸𝐸 = (^) 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑜𝑜𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 3𝑥𝑥^

(^2) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 3 =^

3𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 =^

3 ( 0. 02 ) 30 = 0. El error relativo es de 0.

c) ¿Cuál es el porcentaje de error?

Ep = (0.002)(100) = 0. 2 %

El error porcentual es del 2%