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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional Bolivariana (UNEFA) UNEFA – Extensión Guacara Guacara, Edo. Carabobo
Unidad II: Estructuras Algebraicas
Prof. Ing. Alexander Zavala Integrantes: Asignatura: Teoría de Grafos Omer Primera C.I: 28456174 Carlos Aliendo C.I: 27092920 Carrera: Ing. De Sistemas Guacara, marzo 2020.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación o ley de composición interna definida en él. En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa. Empecemos por recordar algunas definiciones: Operación binaria o Ley de composición interna: Definida en un conjunto no vacío A Es una aplicación o función del producto cartesiano de A x A en A En símbolos: ***** es una ley interna en A Es decir *A ↔ : A^2 A Ejemplo 1: La suma o la multiplicación en N , en Z , en Q , en R o en C. Ejemplo 2: Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto A = {a, b, c} i) ii) Ley de composición externa: Dados dos conjuntos A y B, se llama ley de composición externa a una aplicación A x A B, que a todo par de elementos de A asocia un elemento de B. a b c a a b b b c a c c b c a a b c a a b c b b c a c c a b
El elemento neutro de llama identidad. Ejemplos de semigrupos: a. (N, +) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro. b. (N 0 , +) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0. c. (N, X) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro o identidad igual a 1. Grupo: Se llama grupo a una estructura (G, Ө) que verifica las propiedades:
- (x Ө y) Ө z = x Ө (y Ө z) ∀ x, y, z ∈ G (Propiedad Asociativa)
- ∃ e ∈ G ± x Ө e = e Ө x = x, ∀ x ∈ G (Existencia de Elemento Neutro)
- ∀ x ∈ G ∃ y ∈ G / y Ө x = x Ө y = e (Existencia de Elemento Simétrico) Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo: Se llama grupo conmutativo ó Abeliano a un grupo (G, Ө) que verifica: x Ө y = y Ө x, ∀ x, y ∈ G (Propiedad conmutativa) Ejemplo 1. En el grupo (R, +) el elemento neutro es el “ 0 ” y el elemento simétrico es el elemento opuesto (-x). De la misma forma, en el grupo (R0 = R – { 0 }, ·) el elemento neutro es el “ 1 ” y el elemento simétrico es el inverso (1/x). Ambos son grupos conmutativos. Subgrupo: Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , * ) si y solo sí ( B , * ) es un grupo. Por ejemplo, ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ). Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composición interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo *(A , + , ) que también son estructuras algebraicas.
Anillo: Se analizarán a continuación los anillos, un tipo de estructuras con dos operaciones relacionadas entre sí. Estructuras algebraicas de este tipo son los conjuntos numéricos Z, Q y R, de forma que estas estructuras resultan relativamente familiares; esto, no obstante, puede resultar un inconveniente porque anima a generalizar las propiedades a las que se está acostumbrado al manejar números. Esto, como se vería, no es siempre acertado. Se llama anillo, y se denota por (A, Ө, ʘ), a un conjunto A dotado de dos operaciones “Ө “ y “ʘ” que verifica las propiedades siguientes:
- (A, Ө) es un grupo abeliano. Su elemento neutro lo denotaremos como 0.
- (x ʘ y) ʘ z = x ʘ (y ʘ z), ∀ x, y, z ∈ A (propiedad asociativa)
- x ʘ (y Ө z) = (x ʘ y) Ө (x ʘ z) } (x Ө y) ʘ z = (x ʘ z) Ө (y ʘ z) } ∀ x, y, z ∈ A (prop. distributiva) Anillo unitario: (A, Ө, ʘ) se llamaría anillo unitario si verifica: ∃² e ∈ A / x ʘ e = e ʘ x = x, ∀ x ∈ A Anillo conmutativo: (A, Ө, ʘ) se llamaría anillo conmutativo si verifica: x ʘ y = y ʘ x, ∀ x, y ∈ A (propiedad conmutativa) Un elemento x de un anillo unitario (A, Ө, ʘ) se dice in-versible si posee simétrico respecto de la segunda operación, “ʘ ", es decir existe y ∈ A tal que: x ʘ y = y ʘ x = e Anillo divisor cero: En un anillo (A, Ө, ʘ) se dice que un elemento a ∈ A no nulo es un divisor de cero si existe otro elemento no nulo b 2 A tal que a ʘ b = 0. Un ejemplo claro de este tipo de comportamiento se puede observar en el anillo (Mn(R),+, ·), donde Mn(R) es el conjunto de las matrices cuadradas de tamaño n con coeficientes en R y “+",”·" son las operaciones suma y producto habituales entre matrices. Si tomamos las matrices no nulas (1 0 0 0) y (0 0 0 1), su producto es: (1 0 0 0) · (0 0 0 1) = (0 0 0 0) Un caso especial de anillos son aquellos en los que no existen divisores de cero, es decir: ∀ x, y ∈ A (x ʘ y = 0 ↔ (x = 0 V y = 0) )
Para la suma Para el producto
- 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1 El producto No posee divisores de cero Para n = 4 Zn = { 0 , 1 , 2 , 3 } las tablas de operaciones son: Para la suma Para el producto
- 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 El producto posee divisores de cero Espacio Vectorial: Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto V , cuyos elementos se denominan vectores, provisto de dos operaciones, una interna que se denomina suma y otra externa que se denomina producto y que cumplen ciertas propiedades. La operación externa, multiplica un elemento del conjunto K por un elemento del conjunto V.
Notación: Esta estructura suele representarse de las siguientes maneras: Como la cuaterna ordenada *( V , + , K , ) ; como la terna ordenada ( K , V ,+ ) y también es muy usual la expresión sintetizada VK , todas ellas se leen Espacio Vectorial V sobre el cuerpo K. O simplemente K – espacio vectorial. Las operaciones enunciadas deben cumplir las siguientes propiedades:
1. (V , + ) es un Grupo conmutativo a) + Es asociativa b) + Es conmutativa c) + Tiene neutro d) + Tiene inverso 2. La operación externa asocia de la siguiente manera: , : a, b K y , a ( b x ) = ( a b ) x 3. La operación externa distribuye sobre la interna de la siguiente manera: : a K y , a ( x + y ) = a x + a y 4. La operación externa tiene elemento neutro. Ejemplos:
- (Rn, + , R , * ) es un Espacio Vectorial con las suma y el producto conocidos. Siendo Rn^ , con n 1 el conjunto de las n – uplas de números reales.
- **( K , + , K , ***^ ) es un Espacio Vectorial con la suma y el producto conocidos, siendo K un cuerpo y K el conjunto de los polinomios en una indeterminada con coeficientes en K.
- *( Rm x n, + , R , ) en el Espacio Vectorial de la matrices de orden m x n en el cuerpo de los reales, con la suma y el producto conocidos.
