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Apuntes de Ayudant´ıa

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Claudio Bravo Castillo December 28, 2016

1

Contents

1. Grupos 2
2. Anillos 19
3. Cuerpos 41

3.- Ejercicio: Demuestre que G = (Z/ 13 Z)∗^ es un grupo c´ıclico. Encuentre un generador de G.

4.- Problema 4: Sea G grupo de orden par. Pruebe que G tiene un elemento de orden 2. Demostraci´on: Considere el conjunto t(G) = {g ∈ G : g−^1 6 = g}. Observe que x ∈ t(G) si y solamente si x−^1 ∈ t(G). Luego por cada elemento de G m´odulo inverso, tenemos dos elementos en G. As´ı t(G) tiene un n´umero par de elementos. Luego como e /∈ t(G), tenemos que existe x ∈ G − t(G) con x 6 = e. Es decir, tenemos un elemento no trivial tal que x−^1 = x. Luego |x| = 2.

4.- Ejercicio: Asumiendo que G = Gl 2 (Z/ 2 Z) tiene 6 elementos, encuentre un elemento de orden 2 en G.

5.- Problema 5: Sea Gl 2 (Z/pZ) = {A ∈ M 2 (Z/pZ) : det(A) 6 = 0}. i.- Pruebe que G es grupo.

ii.- Determine el orden de A =

en Gl 2 (Z/pZ).

Desarrollo: i.- Por la asociatividad de las matrices tenemos que A(BC) = (AB)C, para cualquier A, B, C ∈ G. Por otro lado, si det(A), det(B) 6 = 0 entonces det(AB) = det(A)det(B) 6 = 0, por ello AB ∈ G. Adem´as I =

G cumple con AI = IA = A, para todo A ∈ G. Por ´ultimo si det(A) 6 = 0 en- tonces existe A−^1 tal que AA−^1 = A−^1 A = I y det(A−^1 ) = det(A)−^1 6 = 0. Por ello G es grupo.

ii.- Observe que

)n

1 n 0 1

para todo n ∈ N. Luego An^ = I si y solamente si n = ps, alg´un s ∈ N. Por lo tanto n = p es la menor potencia tal que An^ = I. Por ello |A| = p.

5.- Ejercicio: Determine el orden de A =

0 p − 1

en Gl 2 (Z/pZ).

Ayudant´ıa II: En esta ayudant´ıa estudiaremos los homomorfismos de grupos y trabajaremos con el primer teorema de isomorf´ıa. 1.- Problema 1: Sea G = Gln(F ) grupo de matrices invertibles con coeficientes sobre el cuerpo F. i.- Pruebe que G es finito si y solamente si F es finito. Si G es finito calcule su orden en t´erminos de la cantidad de elementos de F. ii.- Demuestre que det : G → F ∗^ es un homomorfismo de grupos. Pruebe que Sln(F ) = {A ∈ Gln(F ) : det(A) = 1} es un subgrupo normal de G. iii.- Concluya que Gln(F )/Sln(F ) ∼= F ∗.

Desarrollo: i.- Supongamos que F no es finito. Entonces en Gln(F ) existen infinitas ma- trices que en base can´onica cumplen con Ae 1 = f e 1 y Aei = ei, para i 6 = 1 y f ∈ F ∗^ cualquiera. Rec´ıprocamente, si F es finito, entonces |Mn(F )| = |F |n

2

. Luego |Gln(F )| ≤ |F |n

2 < ∞. Supongamos ahora que F es finito y digamos que |F | = q. Entonces para la primera columna de una matriz cuaquiera en Gln(F ) tenemos qn^ − 1 posibilidades. Esto se debe a que el la primera columna podemos poner cualquier vector de F n^ salvo el nulo. Para la segunda columna pode- mos considerar cualquier vector salvo los m´ultiplos de la primera columna. Por ello tenemos qn^ − q posibilidades. Para la tercera columna pode- mos considerar cualquier vector salvo las combinaciones lineales de las primeras dos. En general en la columna i + 1podemos considerar cualquier vector salvo las combinaciones lineales de las i primeras. Luego para la columna i + 1 tenemos qn^ − qi^ posibilidades. De esto se sigue que |Gln(F )| = (qn^ − 1) · · · (qn^ − qi) · · · (qn^ − qn−^1 ). ii.- Considere det : Gln(F ) → F ∗^ funci´on bien definida pues una matriz es invertible si y solamente si su determinante es no nulo. Por otro lado det(AB) = det(A)det(B) y det(A−^1 ) = det(A)−^1. Por ello det es un ho- momorfismo de grupos. Observe que ker(det) = Sln(F ). Por ello Sln(F ) / Gln(F ).

iii.- Si consideramos las matrices que en base can´onica cumplen con Ae 1 = f e 1 y Aei = ei, para i 6 = 1 y f ∈ F ∗^ cualquiera, tenemos que Im(det) = F ∗. Por el primer teorema de isomorf´ıa concluimos que Gln(F )/Sln(F ) ∼= F ∗. 2.- Problema 2: Considere K un grupo cualquiera, se define Aut(K) = {φ : K → K : φ isomorfismo }. Calcule G = Aut((Z, +)). Desarrollo: Considere φ : Z → Z un homomorfismo de grupos. Entonces φ(n) = nφ(1). Por lo tanto φ(1) deterina el homomorfismo φ. Observe que Im(φ) = φ(1)Z. Luego, como φ es sobreyectivo, tenemos que Im(φ) = φ(1)Z = Z. En particular 1 ∈ φ(1)s, para cierto s ∈ Z. Por ello φ(1) = 1 o φ(1) = −1. De esto se sigue que Aut(Z) = {id, −id}. Es decir Aut(Z) = C 2. 2.- Ejercicio: Sea K un grupo. Pruebe que Aut(K) es un grupo con la com- posici´on.

ii.- Sea H = ker(φ) y considere la funci´on ϕ : H → F definida por ϕ

1 b 0 1

b. Observe el inverso de una matriz cualquiera A =

1 b 0 1

∈ H es

A−^1 =

1 −b 0 1

. Por lo tanto ϕ(A−^1 ) = −ϕ(A). Por otro lado el

producto de dos matrices A =

1 b 0 1

∈ H, C =

1 d 0 1

∈ H es

AC =

1 b + d 0 1

∈ H. Por ello ϕ(AC) = ϕ(A) + ϕ(C). Luego φ es un homomorfismo. Este homomorfismo tiene por n´ucleo al subgrupo ker(ϕ) = {id} y es claramente sobreyectivo. Por lo tanto ϕ es un isomor- fismo de H con F. Esto concluye lo pedido.

Ayudant´ıa III: En esta ayudant´ıa estudiaremos ciertos subgrupos nor- males y calcularemos algunos cocientes de grupos. 1.- Problema 1: Sea G grupo y considere D = {(g, g) ∈ G×G} subrgupo diagonal de G×G. i.- Pruebe que D no es un subgrupo normal de G × G, si G no es un grupo abeliano. ii.- Pruebe que H = {e} × G es un subrgupo normal de G ii.- Demuestre que G es isomorfo a D y a H. Desarrollo: i.- Sea g ∈ G elemento no conmutativo, es decir existe h ∈ G tal que g 6 = hgh−^1. Considere (g, g) ∈ D. Entonces (e, h) ∈ G × G cumple con (e, h)(g, g)(e, h)−^1 = (g, hgh−^1 ) ∈/ D. Por ello D no es un subgrupo normal de G × G. ii.- Considere (e, g) ∈ H y (t, s) ∈ G × G un elemento cuaquiera. Entonces (t, s)(e, g)(t−^1 , s−^1 ) = (e, sgs−^1 ) ∈ H. Por lo tanto H es un subgrupo normal de G × G.

iii.- Considere π : H → G la funci´on definida por π(e, g) = g. Claramente π es un homomorfismode grupos biyectivo. Por ende es isomorfismo. Por otro lado, si consideramos ρ : D → la funci´on definida por ρ(g, g) = g, tenemos un homomorfismo de grupos biyectivo tambi´en. Por ende D es isomorfo a G. Esto prueba que un grupo puede ser isomorfo a varios subgrupos de otra cierta estructura, en donde los grupos imagen pueden no ser normales. 2.- Problema 2: Sea D 2 n = 〈r, s : rn^ = s^2 = 1, rs = sr−^1 〉 grupo dihedral. i.- Pruebe que todo elemento de D 2 n es de la forma sri, donde  = 0, 1 y s = 0, · · · , n − 1. ii.- Pruebe que 〈r〉 / D 2 n. iii.- Pruebe que D 2 n/〈r〉 es un grupo c´ıclico con dos elementos

Desarrollo: i.- Considere un elemento cualquiera g ∈ D 2 n. Entonces por la relaci´on rs = sr−^1 podemos dejar todas las potencias de s a la izquierda de la expresi´on de g y las potencias de r a la derecha. Luego g = smri. Pero, como s^2 = 1 y rn^ = 1, tenemos que g = sri, con sri, donde  = 0, 1 y s = 0, · · · , n − 1. ii.- Considere ri^ ∈ 〈r〉 elemento cualquiera. Entonces srj^ ri(srj^ )−^1 = sris−^1 = r−i^ ∈ 〈r〉. Por lo tanto 〈r〉 / D 2 n.

iii.- Observe que G = D 2 n/〈r〉 es un grupo pues 〈r〉 es un subgrupo normal de D 2 n. Adem´as sabemos que |G| = |D 2 n|/|〈r〉| = 2. Por lo tanto G es un grupo c´ıclico. 3.- Problema 3: Se define el centro de un grupo G como Z(G) = {g ∈ G : gx = xg, ∀x ∈ G}. Pruebe que Z(G) es un subgrupo de G Demostraci´on: Observe que siempre e ∈ Z(G). Adem´as si g, t ∈ Z(G) entonces tgx = txg = xtg, para todo x ∈ G. Por ello tg ∈ Z(G). Por otro

Ayudant´ıa IV: En esta ayudant´ıa trabajaremos con el teorema de La- grange. En todo lo que sigue usaremos el hecho de que en Z dos n´umeros son relativamente primos si y solamente si existe una combinaci´on lineal entera de dichos n´umeros que da una unidad de Z. Este hecho, por lo general, se demuestra en un curso de ´algebra de primer a˜no. 1.- Problema 1: Sea G grupo tal que |G| = p primo. i.- Sea x ∈ G − {e}. Pruebe que 〈x〉 = G. ii.- Concluya que los ´unicos subgrupos de G son {e} y G. Desarrollo: i.- Sea x ∈ G un elemento no trivial. Entonces, por el teorema de Lagrange, |x| divide a |G|. Como |G| = p primo, tenemos que |x| = 1 o |x| = p. Si |x| = 1 entonces x = e y esto no puede pasar pues x no es trivial. Luego |x| = p. Por lo tanto 〈x〉 ⊂ G tiene la misma cantidad de elementos que todo el grupo. Luego 〈x〉 = G. ii.- Supongamos que H es un sugrupo de G no trivial. Entonces existe x ∈ H con x 6 = e. Luego por [i] tenemos que G = 〈x〉 ⊂ H ⊂ G. De esto concluimos que H = G. 1.- Ejercicio: Encuentre todos los generadores del grupo G = {x ∈ (Z/ 7 Z)∗^ : x^3 = 1}. 2.- Problema 2: Sea G = (Z/nZ)∗^ y ϕ(n) = |{i : (i, n) = 1, i ≤ n}|. i.- Demuestre que |G| = ϕ(n). ii.- Pruebe que para todo a ∈ Z tal que (a, n) = 1 se tiene que aϕ(n)^ ≡ 1(mod n). iii.- Concluya que para todo a ∈ Z se tiene que ap^ ≡ a(mod p).

Desarrollo: i.- Por definici´on G es el grupo de todos los elementos invertibles en Z/nZ. Supongamos que i ∈ Z/nZ es invertible. Entonces, s´ın p´erdida de gener- alidad, podemos asumir que i ≤ n. Luego, como existe s ∈ Z/nZ tal que is ≡ 1(mod n) tenemos que existe t ∈ Z tal que is + tn = 1. Por lo tanto (i, n) = 1. Por otro lado si tomamos la clase de un elemento i ≤ n tal que (i, n) = 1 tenemos que is + nt = 1. Por lo tanto is = 1. Luego i es invertible en Z/nZ. DE esto concluimos que |G| = ϕ(n). ii.- Considere a ∈ Z elemento tal que (a, n) = 1 entonces por lo demostrado en [i] tenemos que a ∈ G. Luego, por el teorema de Lagrange, tenemos que a|G|^ = e. Es decir aϕ(n)^ = 1 en G. Si escribimos esto en t´erminos de congruencias obtenemos que aϕ(n)^ ≡ 1(mod n).

iii.- Supongamos que n = p primo. Entonces todo n´umero menor a p es rela- tivamente primo con este. Luego ϕ(p) = p − 1. Esto nos dice que, para a ∈ Z − pZ tenemos que ap−^1 ≡ 1(mod p). En particular ap^ ≡ a(mod p). Observe que esta ´ultima igualdad es v´alida para a ≡ 0(mod p), es de- cir es v´alidad para a ∈ pZ. Por lo tanto, para todo a ∈ Z se tiene que ap^ ≡ a(mod p).

2.- Ejercicio: Demuestre que para todo a ∈ Z tal que p no lo divide, se tiene que ap

(^2) −p ≡ 1(mod p^2 ).

3.- Problema 3: Sean H, K subgrupos de G tales que |H| = p, |K| = q. para p, q primos distintos. Pruebe que H ∩ K = {e}. Demostraci´on: Consideremos x ∈ H ∩ K entonces, por el teorema de Lagrange, tenemos que |x| divide a p, q. Pero como p, q son primos distintos, existen s, t ∈ Z tales que 1 = sp + tq. Luego si |x| divide a p, q entonces |x| divide a 1. Por ello |x| = 1. Luego x = e.

3.- Ejercicio: Pruebe que en S 5 se tiene que 〈(12)〉 ∩ 〈(12345)〉 = {id}.

teorema de isomorf´ıa tenemos que G/H = HN/H ∼= N/(N ∩H) ∼= N. Pero N = 〈s, r : s^2 = r^3 = 1 , srs−^1 = r−^1 〉 ∼= D 6. Por lo tanto G/H ∼= D 6. 3.- Ejercicio: Sean M, N / G. Pruebe que si G = M N entonces G/(M ∩ N ) ∼= G/M × G/N. 4.- Problema 4: Sea G grupo y N, H subgrupos de G con N / G. i.- Pruebe, usando el tercer teorema de isomorf´ıa, que si G es grupo finito entonces |N H| = |H||N |/|N ∩ H|. ii.- Pruebe que si N = 〈(123)〉 y H = 〈(12)〉 entonces S 3 = N H. iii.- Concluya que S 3 ∼= D 6.

Desarrollo: i.- El tercer teorema de isomorf´ıa nos dice que, si N, H subgrupos de G con N / G, entonces N H/N ∼= H/(H ∩ N ). Observe que si G es grupo finito entonces N H, H, N y N ∩ H son grupos finitos tambi´en. Luego igua- lando la cadinalidad a ambos lados del isomorfismo anterior obtenemos que |N H|/|N | = [N H : N ] = [H : N ∩ H] = |H|/|H ∩ N |. Luego |N H| = |H||N |/|N ∩ H|. ii.- Considere N = 〈(123)〉 y H = 〈(12)〉 entonces |N | = 3 y |H| = 2. Luego si x ∈ H ∩ N se tiene que x^3 = x^2 = id. Por lo tanto x = id. Luego N ∩ H = {id}. De esto se sigue que |N H| = 6 = |S 3 |. Como N H ⊂ S 3 y tienen igual cardinal, concluimos que N H = S 3.

iii.- Por lo mostrado en [ii] tenemos que todo elemento en S 3 es producto de s′^ = (12) y t′^ = (123). Adem´as estos elementos satisfacen que s′^2 = 1, t′^3 = 1 y s′t′s′−^1 = t′−^1. Por lo tanto el homomorfismo φ : S 3 → D 3 definido por φ(12) = s y φ(123) = t es un homomorfismo invertile. Luego S 3 ∼= D 6. 4.- Ejercicio: Pruebe que S 4 no es isomorfo a D 8.

Ayudant´ıa VI: En esta ayudant´ıa estudiaremos los grupos c´ıclicos. Es decir, estudiaremos los grupos generados por un solo elemento. 1.- Problema 1: Sea G = 〈x〉 grupo c´ıclico de orden n. i.- Sea H subgrupo de G. Pruebe que H = 〈xi〉, alg´un i ∈ Z. ii.- Demuestre que (i, n) = 1 si y solamente si H = G. iii.- Encuentre todos los subgrupos de G = {z ∈ C : z^8 = 1}.

Desarrollo: i.- Sea H subgrupo no trivial de G y considere A = {j : xj^ ∈ H − {e}, j ∈ N} ⊂ N conjunto no vacio pues existe alg´un y ∈ H − {e}. Por principio del buen orden existe un primer elemento en A. Sea xi^ ∈ H con i minimal. Sea xk^ ∈ H. Por algoritmo de la divisi´on se tiene que k = is + t donde t = 0 o t < i. Observe que xt^ = xkx−is^ ∈ H. Luego como i es minimal tenemos que t = 0. Por lo tanto xk^ = (xi)s. Luego H = 〈xi〉. ii.- Si H = G entonces 〈xi〉 = G. Luego (xi)s^ = x, para cierto s ∈ Z. Por lo tanto x−^1 xis^ = e. As´ı is−1 = nt, cierto t ∈ Z. Luego si alg´un n´umero primo p divide a i y n entonces p divide a 1. Por lo tanto no existe n´umero primo que divida a i y n simultaneamente. Es decir (i, n) = 1. Rec´ıprocamente si (i, n) = 1, por algoritmo de la divisi´on, se tiene que existen s, t ∈ Z tales que is + tn = 1. Luego (xi)s^ = x ∈ H. Por lo tanto H = G.

iii.- Observe que si z^8 = 1 se tiene que |z| = 1. Luego como los elementos son raices octavas de la unidad se tiene que G = 〈z 0 〉, donde z 0 = e 2 πi 8

. Por [i] los subgrupos no triviales de G son de la forma H 2 = 〈z^20 〉, H 3 = 〈z^30 〉, H 4 = 〈z^40 〉, H 5 = 〈z 05 〉, H 6 = 〈z 06 〉 y H 7 = 〈z^70 〉. Observe que, por [ii], tenemos que G = H 3 = H 5 = H 7. Por otro lado H 2 = H 6 , esto se debe a que z^60 = (z 02 )^3 ∈ H 2 y (z 0 )^2 = (z^60 )−^1 ∈ H 6. Observe que H 2 ⊂ H 4 , pero no son iguales ya que z^20 ∈/ H 4. Esto ya que si z 02 ∈ H 4 entonces z^20 = z^40 t. Por lo tanto 2 = 4t + 8s. Luego 4 divide a 2, lo que nos lleva a una contradicci´on. Por lo tanto los ´unicos subgrupos de G son { 1 }, H 2 , H 4 y G. 1.- Ejercicio: Encuentre todos los subgrupos del grupo c´ıclico C 4. 1.- Ejercicio: Sea G = Cn un grupo c´ıclico de orden n. Pruebe que G tiene subgrupos de orden d, para todo d divisor de n. 2.- Problema 2: Encuentre todos los subgrupos de H =

1 n 0 1

: n ∈ Z

Desarrollo: En la ayudant´ıa II probamos que H ∼= (Z, +). Por lo tanto los subgrupos de H est´an en correspondencia con los subgrupos de Z. En clases se demostr´o que los subgrupos de Z son de la forma nZ, para n ∈ Z. Por lo tanto los subgrupos de H son de la forma Hn =

1 nt 0 1

: t ∈ Z

2.- Ejercicio: Sea x ∈ G. Pruebe que NG(〈x〉) = {g ∈ G : gxg−^1 = xa, para alg´un a ∈ Z}.

Ayudant´ıa VII: En esta ayudant´ıa trabajaremos ejemplos de acciones de grupos sobre si mismos, de forma tal de deducir nueva informaci´on de los grupos en cuesti´on. 1.- Problema 1: Sea G un grupo de orden pn, para cierto n ∈ N y p primo. Considere la acci´on de G sobre si mismo por conjugaci´on. i.- Demuestre que {x ∈ G : Orb(x) = {x}} = Z(G). ii.- Concluya que Z(G) 6 = {e}. iii.- Encuentre un grupo no abeliano de orden pn, para cierto n ∈ N y p primo.

Desarrollo: i.- Observe que Orb(x) = {gxg−^1 ∈ G : g ∈ G}. Luego Orb(x) = {x} si y solamente si gxg−^1 = x, pata todo g ∈ G. Esto ´ultimo es equivalente a que x ∈ Z(G). Luego {x ∈ G : Orb(x) = {x}} = Z(G). ii.- Sabemos que toda acci´on de un grupo en un conjunto particiona dicho conjunto en orbitas. En nuestro caso, como G act´ua en si mismo por conjugaci´on tenemos que |G| = |O 1 |+· · ·+|Ok|, donde |Oi| son las diferentes orbitas que genera G. Observe que un elemento tiene orbita trivial si y solamente si es un elemento del centro, luego tenemos que |G| = |Z(G)| + |Oi 1 | + · · · + |Oik |, donde |Oil | 6 = 1. Por otro lado sabemos que |Oil | = |G|/|StabG(xil )|, donde xil es un elemento cualquiera de Oil. Luego |Oil | = psil^ , para cierto sil 6 = 0. Por lo tanto p divide a |G| − (|Oi 1 | + · · · + |Oik |). Concluimos que p divide a |Z(G)|. Luego Z(G) no es trivial.

iii.- Considere G = D 8 = 〈r, s : r^4 = s^2 = 1, srs−^1 = r−^1 〉. Sabemos que Z(G) = { 1 , r^2 }. Por lo tanto G es un grupo de orden 2^3 no abeliano. 1.- Ejercicio: Demuestre que para acci´on anterior CG(x) = StabG(x). 1.- Ejercicio: Demuestre que todo grupo de orden p^2 es abeliano 2.- Problema 2: Considere la acci´on de G = S 3 sobre G por conjugaci´on. Calcule el n´umero de ´orbitas de dicha acci´on. Desarrollo: Partamos por considerar las ´orbitas m´as elementales. En efecto, observe que σ(id)σ−^1 = id, ∀σ ∈ G. Luego OrbG(id) = {id}. Por otro lado el largo de cualquier permutaci´on es la misma que la de su conjugado. As´ı OrbG((123)) ⊆ {(123), (132)}. Pero (12)(123)(12)−^1 = (12)(123)(12) = (132). Luego OrbG((123)) = {(123), (132)}. Por ´ultimo calculemos la ´orbita de la permutaci´on (13). Recordemos que (ab)−^1 = (ab). Luego como (12)(13)(12) = (23), (12)(23)(12) = (13) y (23)(13)(23) = (12) tenemos que OrbG((13)) = {(12), (13), (23)}. Finalmente concluimos que existen 3 clases de conjugaci´on. 2.- Ejercicio: Calcule el numero de clases de conjugaci´on en S 4. 3.- Problema 3: Sea G un grupo de orden n y Sn es el grupo de biyecciones de n elementos. Demuestre que existe un homomorfismo inyectivo ϕ : G → Sn.

Demostraci´on: Considere la acci´on de G sobre G v´ıa g.h = gh, ∀g, h ∈ G.

Esta acci´on de grupo induce un homomorfismo ρ : G → Biy(G) donde ρ(g) = σg , para σg (h) = g.h = gh. Observe que como |G| = n tenemos que Biy(G) ∼= Sn. Adem´as ker(ρ) = {g ∈ G : gh = 1, ∀h ∈ G} tomando h = 1 tenemos que ker(ρ) = { 1 }. Por lo tanto ρ : G → Sn es un homomorfismo inyectivo. 3.- Ejercicio: Demuestre que C 3 puede ser visto como un subgrupo normal de S 3. 4.- Problema 4: Muestre que si un grupo G cumple con |G| = n y p es el menor primo que divide a n. i.- Demuestre que todo subgrupo de ´ındice p es normal en G. ii.- Concluya que si H ≤ G tal que [G : H] = 2 entonces H / G. iii.- Pruebe que A 3 = {id, (123), (132)} es un subgrupo normal de S 3.

Desarrollo: i.- Sea H ≤ G con [G : H] = p primo. Considere la acci´on de G sobre X = G/H conjunto de cosetos de H, v´ıa: g.(aH) = (ga)H. Esta acci´on induce un homomorfismo πH : G → Biy(X), donde πH (g) = σg , donde σg (aH) = g.(aH) = (ga)H. Observe que: ker(πH ) = {g ∈ G : gaH = aH, ∀a ∈ G}. Es decir g ∈ ker(πH ) s´ı y solamente s´ı (a−^1 ga)H = H para cualquier a ∈ G, lo que equivale a que (a−^1 ga) ∈ H, ∀a ∈ G. As´ı K = ker(πH ) = ∩a∈GaHa−^1. Observe que K / G por ser n´ucleo de un homomorfismo. Adem´as K ⊂ H = eHe−^1. Sea l = [H : K], as´ı [G : K] = [G : H][H : K] = pl. Como X tiene p cosetos, tenemos que G/K ↪→ Sp, donde Sp es el grupo de biyecciones de p elementos. Luego pl = [G : K]|p!, por lo tanto l|(p − 1)!. Por otro lado, como p es el primo m´as peque˜no que divide a |G|, tenemos que l = 1. Finalmente H = K / G. ii.- Si H ≤ G tal que [G : H] = 2 como 2 es el primo m´as pequeo el resultado se sigue de la parte anterior.

iii.- Observe que |A 3 | = 3 y |S 3 = 6|, luego [S 3 : A 3 ] = 2 y el resultado se sigue de lo expuesto en [ii].

Desarrollo: Considere la acci´on de G = D 3 en el conjunto de todas las coloraciones posibles, con n colores, del triangulo equilatero. Sea X dicho conjunto. Entonces debemos calcular |G \ X|. Para ello usaremos la iden- tidad |G \ X| = (^) |G^1 |

g∈G |F ix(g)|. Observe que en^ G^ est´a compuesto por 2 rotaciones de orden 3, la identidad y 3 reflexiones que cruzan un vertice y un lado. Observe que toda rotaci´on de orden 3 cumple que un elemento de X es fijo por el si tiene los mismos colores en todas las aristas. Por otro lado toda reflexi´on que cruza un lado y un v´ertice cumple que un eleemnto de X es fijo por el si tiene los mismos colores en las aristas que permuta dicha reflexi´on. Por lo tanto tiene 2 aristas de igual color y la tercera de cualquier color. Por lo tanto:

|G \ X| =

(n^3 + 2n + 3n^2 ).

1. Anillos Ayudant´ıa IX: En esta ayudant´ıa comenzaremos a trabajar con la estructura de anillo. Veremos algunos ejemplos de anillos e ideales.

1.- Problema 1: Sea A = M 2 (Z) y considere B =

x y z w

: x, y, z, w ∈ 2 Z

i.- Pruebe que B es un anillo. ii.- Pruebe que B es un ideal de A. Desarrollo: i.- Demostremos que B es subanillo de A. Observe que B es no vacio dado que O 2 × 2 ∈ B. Ahora bien, si consideramos dos matrices X = (xij )^2 i,j=1, Y = (yij )^2 i,j=1 ∈ B entonces sus coeficientes cumplen con xij ∈ 2 Z e yij ∈ 2 Z. Luego (X ± Y )ij = xij ± yij ∈ 2 Z. Por lo tanto B es subgrupo de A. Por otro lado (XY )ij =

r=1 xir^ yrj^ ∈^4 Z^ ⊂^2 Z. Por ello^ B^ es subanillo de^ A. ii.- Observe que lo dicho en [i] prueba que si tomamos Z ∈ A y A ∈ B entonces ZX ∈ B, XZ ∈ B. 1.- Ejercicio: Sea A = M 2 (Z) y considere:

B =

x y z w

: y, z, w ∈ Z , x ∈ 2 Z

Pruebe que B no es un ideal de A. 2.- Problema 2: Sea A = Q[x] en anillo de polinomios con coeficientes en Q y considere el ideal J = (x^2 − 1 , x^2 − 3 x + 2). i.- Pruebe que J = (x − 1). ii.- Concluya que (x^2 − 1) ( J. Desarrollo: i.- Observe que x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1) y que x^2 − 3 x + 2 = (x − 2)(x − 1). Por lo tanto todo elemento v = p(x)(x^2 − 1) + q(x)(x^2 − 3 x + 2) se reescribe como v = s(x)(x − 1). Luego J ⊂ (x − 1). Probemos que de hecho son el mismo conjunto. Observe que 1 = 13 (x + 1) − (x − 2), luego (x − 1) = 1 3 [(x

(^2) − 1) − (x (^2) − 3 x + 2)]. Por lo tanto x − 1 ∈ J. Luego J = (x (^2) − 1).

ii.- Observe primero que x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1) ∈ J. Por lo tanto (x^2 − 1) ⊂ J. Supongamos que J = (x^2 − 1) entonces existe un polinomio t(x) ∈ Q[x] tal que x − 1 = q(x)(x^2 − 1) es decir 1 = q(x)(x + 1). Igualando en el grado a ambos lados de la ecuaci´on anterior llegamos a una contradicci´on. Por lo tanto (x^2 − 1) ( J. 2.- Ejercicio: Pruebe que en Q[x] se tiene que los ideales (p(x)), (q(x)) son iguales si y solamente si p(x) = aq(x), para cierto a ∈ Q∗. 3.- Problema 3: Sea A = L(R^2 , R^2 ) el anillo de funciones lineales de R^2 a R^2. Considere B = {T ∈ A : T (e 1 ) = 0}, donde e 1 = (1, 0) ∈ R^2. i.- Demuestre que B es un anillo. ii.- ¿Es B un ideal bil´atero de A?