¡Descarga Campos electromagnéticos y más Resúmenes en PDF de Electrónica solo en Docsity!
CAPÍTULO 10
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
La teoría electromagnética requiere de fundamentos matemáticos mínimos para poder estudiar los
campos electromagnéticos en el espacio. Puesto que las variables electromagnéticas son funciones de
coordenadas espaciales tridimensionales y del tiempo, necesitamos conocer como mínimo los sistemas
de coordenadas: rectangular o cartesiano, cilíndrico y esférico. Asimismo necesitamos conocer el
Análisis vectorial y las reglas del cálculo diferencial para las funciones escalares y vectoriales. El
presente capítulo dará estas herramientas matemáticas que nos permiten resolver situaciones
problemáticas relacionadas con los campos electromagnéticos.
10.1 PRODUCTOS ENTRE VECTORES
Producto escalar de vectores o producto punto
El producto escalar de dos vectores
A y
B es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes
de los dos vectores y el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
Se cumple que:
A B B A , es decir que el producto escalar de vectores es conmutativo.
Asimismo se cumple que:
i i 1 ; j j 1 ; k k 1
i j 0 ; j k 0 ; i k 0
Producto vectorial de vectores o producto cruz
El producto vectorial de dos vectores
A y
B es un tercer vector
C cuya magnitud es AB sen y cuya
dirección es perpendicular al plano formado por los vectores
A y
B.
A
B
A B AB Cos
Si: A^ (^ Ax^ ,^ Ay^ ,^ Az^ ) ,^ B^ (^ Bx^ ,^ By^ ,^ Bz )
A B Ax Bx AyBy AzBz
Se cumple que: B A A B
, es decir que el producto vectorial no es conmutativo.
También se cumple que:
i i 0 ; j j 0 ; k k 0
i j k ; j k i ; k i j
Producto escalar triple
Es el producto escalar de un vector con el producto vectorial de otros dos vectores.
Si A B y C ,
son vectores, entonces su producto escalar triple se denota por
A B C
Donde:
x x x
x y z
x y z
A B C
A B C B B B
C C C
Se cumple la siguiente relación de productos escalares triples:
A B C B C A C A B
A B C
C A B A B sen C
También:
x y z
x y z
i j k
C A B A A A
B B B
El módulo del vector C A B
es:
C A B A B sen
A
B
A B C
A B C
2) COORDENADAS CILÍNDRICAS CIRCULARES ( , , z )
Los intervalos de las variables de las coordenadas , y z
son
0 ; 0 2 ; z
Vectores unitarios: a^ ;^ a^ ;^ az
En coordenadas cilíndricas, un vector A
puede expresarse
como
A A a A a A az z
La magnitud de A
es:
2 2 2
A A A A z
Las relaciones entre las variables (x, y, z) del sistema de coordenadas cartesianas y las variables (ρ,
Φ, z) del sistema cilíndrico son las siguientes:
2 2 1 , tan ,
y x y z z x
x cos , y sen , z z
Elementos diferenciales de longitud, área y volumen en coordenadas cilíndricas
- El desplazamiento diferencial está dado por: d d a (^) d a dz az
- El área normal diferencial está dada por
z
d S d dz a
d dz a
d d a
- El volumen diferencial está dado por d dd dz
z
A
P ( ,,z)
x
z
a
a
az
y
3) COORDENADAS ESFÉRICAS r , ,
Los intervalos de las variables de las coordenadas r , y
son
Vectores unitarios: ar^ ;^ a^ ; a
En coordenadas esféricas, un vector A
puede expresarse como
A A ar r A a (^) A a
La magnitud de A
es:
2 2 2 A A r A (^) A
Elementos diferenciales de longitud, área y volumen en coordenadas esféricas
- El desplazamiento diferencial es
d ardr a rd a rSen d
- El área normal diferencial es
2 d S r sen d d a r
r sen dr d a
r dr d a
- El volumen diferencial es
2
dV r sen dr d d
x
y
z
ar
a
a
r
y
x
z
dz
d
d
d
x
a
d
dz
d
dz
a
d
az
y
z
0 r ; 0 ; 0 2
En coordenadas esféricas (^) r , , :
F =
F
rSen
Sen F rSen
r F r r
r
1 2 1 1
2
3) ROTACIONAL
En coordenadas rectangulares ( x, y, z ):
z
y x y
x z x
z y a y
F
x
F
a x
F
z
F
a z
F
y
F
F
En coordenadas cilíndricas ( , , z )
z
z z a
F F
a
F
z
F
a z
F F
F
1 1 (^ )
En coordenadas esféricas (^) r , , :
a
F
r
rF
r
a r
F rF
r sen
a
F sen F
rsen
F
r r r
4) LAPLACIANO
En coordenadas rectangulares ( x, y, z ):
2 = 2
2
x
2
2
y
2
2
z
En coordenadas cilíndricas ( , , z ):
2 = 2
2
2
2
2
1 1
z
En coordenadas esféricas (^) r , , :
2 = 2
2
2 2 2
2 2
1 1 1
r Sen
Sen r r Sen
r r r
10.4 TEOREMAS INTEGRALES
1. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
“El Flujo de un campo vectorial F
a través de una superficie cerrada S es igual a la integral de la
divergencia de F
sobre el volumen V que delimita”
F dS FdV
S (^) V
2. TEOREMA DE STOKES
“La circulación de un campo vectorial F
a través de una curva cerrada L es igual a la integral del
rotacional de F
sobre cualquier superficie limitada por la curva”
F^ ^ d F^ dS L S
3. IDENTIDAD DE GREEN
Como consecuencia directa del teorema de la divergencia, resulta la identidad siguiente:
2 2 ( ) ( ) V S
dV d S
^ ^ ^ ^ ^ ^
Donde y son dos campos escalares
10.5 IDENTIDADES VECTORIALES
Si y son campos escalares mientras que
F y
G son campos vectoriales, se cumple:
2
n n 1 n ( n = entero)
2
F
S
( ) dS
