¡Descarga Estructures Algebràiques. Grups y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
CURS 2021/
Estructures Algebraiques
Exercicis de teoria
(a) Definiu morfisme de grups. Si G i G′^ s´on grups, una aplicaci´o f : G −→ G′^ ´es un morfisme de grups si f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ G.
(b) Definiu nucli i imatge d’un morfisme de grups. Demostreu que, si ϕ : G −→ G′^ ´es morfisme de grups, el nucli de ϕ ´es subgrup de G i la imatge de ϕ ´es subgrup de G′.
Per a un morfisme de grups f : G −→ G′^ definim nucli de f com Kerf = {x ∈ G|f (x) = e′} i definim la imatge de f com Imf = {f (x)|x ∈ G}
Demostraci´o Com f (e) = e′, tenim e ∈ Kerf , per tant Kerf ´es no buit. Si x, y ∈ Kerf , tenim f (xy−^1 ) = f (x)f (y)−^1 = e, on usem a la primera igualtat que f ´es morfisme i, a la segona, que x, y s´on elements de Kerf. Tenim doncs que Kerf ´es subgrup de G. Com f (e) = e′, tenim e′^ ∈ Imf , per tant Imf ´es no buit. Si x′, y′^ ∈ Imf , tenim x′^ = f (x), y′^ = f (y), per certs x, y ∈ G. Ara x′y′−^1 = f (x)f (y)−^1 = f (xy−^1 ), per tant Imf ´es subgrup de G′.
(c) Demostreu que el nucli ´es un subgrup normal i doneu un exemple on la imatge no sigui subgrup normal.
Com f (e) = e′, tenim que e ∈ Kerf , per tant no ´es buit. Si x, y ∈ Kerf , tenim f (xy−^1 ) = f (x)f (y)−^1 = e, on usem a la primera igualtat que f ´es morfisme i, a la segona, que x, y s´on elements de Kerf. Per tant, Kerf ´es subgrup de G. Es normal si´ ∀h ∈ Kerf i ∀x ∈ G, llavors xhx−^1 ∈ Kerf. Tenim f (xhx−^1 ) = f (x)f (h)f (x−^1 ) = f (x)e′f (x)−^1 = f (x)f (x)−^1 = e′, per tant xhx−^1 ∈ Kerf. □
(d) Enuncieu i demostreu el primer teorema d’isomorfia. Si G, G′^ s´on grups i f : G −→ G′^ ´es un morfisme de grups, aleshores f factoritza a trav´es de G/Kerf i tenim f = i ◦ fe ◦ π, amb fe isomorfisme de grups de G/Kerf en Imf , on π : G −→ G/Kerf ´es el morfisme de pas al quocient i i : Imf −→ G′^ la inclusi´o. Tenim doncs un diagrama commutatiu.
Demostraci´o ∃ un morfisme f : G/Kerf −→ G′^ tal que f = f ◦ π. Clarament f ´es
injectiu i f = i◦ fe , amb fe isomorfisme de G/Kerf en Imf. Com Imf = Imf , per la definici´o de f , obtenim el resultat. □
(e) Defineix grup resoluble i grup simple. Un grup finit G es diu resoluble si existeix una cadena finita de subgrups {e} = G 0 ⊂ G 1 ⊂ ... ⊂ Gn = G tals que, per i = 0, ..., n − 1, Gi ´es normal en Gi+1 i Gi+1/Gi ´es abeli`a.
Un grup G es diu simple si no t´e subgrups normals propis no trivials, ´es a dir diferents de e i G.
(f) Proveu que si G ´es un grup i H ´es un subgrup normal de G tal que H i G/H s´on resolubles, llavors G ´es resoluble.
Demostraci´o Sigui G un grup, H un subgrup normal de G tal que H i G/H s´on resolubles. Posem G = G/H. Sigui
{e} = H 0 ⊂ H 1 ⊂ ... ⊂ Hr = H
una torre abeliana de H i
{e} = G 0 ⊂ G 1 ⊂ ... ⊂ Gn = G
una torre abeliana de G. Sigui π : G −→ G el morfisme de pas al quocient. Considerem la torre de G
{e} = H 0 ⊂ H 1 ⊂ ... ⊂ Hr = π−^1 (G 0 ) ⊂ π−^1 (G 1 ) ⊂ ... ⊂ π−^1 (Gn) = G.
Tenim Gi ◁ Gi+1 que implica π−^1 (Gi) ◁ π−^1 (Gi+1) i π−^1 (Gi) ´es el nu- cli de la composici´o de π : π−^1 (Gi+1) −→ Gi+1 amb el morfisme de pas al quocient Gi+1 −→ Gi+1/Gi. Per tant, pel primer teorema d’isomorfia, π−^1 (Gi+1)/π−^1 (Gi) ≃ Gi+1/Gi ´es abeli`a. Hem provat doncs que ´es una torre abeliana de G i per tant G ´es resoluble. □
(g) Prova que G ´es un grup resoluble i simple si i solament si G ´es isomorf al grup c´ıclic Cp, amb p ∈ N nombre primer.
Demostraci´o Si G ´es simple i resoluble, l’´unica torre abeliana possible ´es {e} ∈ G. Aleshores, G ha de ser abeli`a i, per tant tots els seus subgrups s´on normals. Com G ´es simple, e i G s´on els seus ´unics subgrups. Com G ´es no trivial,
(j) Escriviu l’equaci´o de les classes i demostreu que el centre d’un p-grup ´es no trivial.
Equaci´o de les classes. Si G ´es un grup finit, es compleix
|G| = |Z(G)| +
X^ r
i=
[G : ZG(xi)] (2)
on {x 1 ...xr} ´es el conjunt de representants de les classes de conjugaci´o amb m´es d’un element.
Demostraci´o. Si G ´es un p-grup, el seu centre Z(G) ´es no trivial. Z(G) cont´e almenys e, per tant |Z(G)| ≥ 1 i Z(G) ´es el conjunt de punts fixos per l’acci´o de G sobre ell mateix per conjugaci´o. Obtenim |Z(G)| ≡ |G|(modp) i, per tant p||Z(G)|. □
(k) Enuncieu i demostreu el Teorema de Cauchy. Teorema de Cauchy. Sigui G un grup finit d’ordre n i p un nombre primer que divideix n. Aleshores G t´e un element (i per tant un subgrup) d’ordre p.
Demostraci´o. Sigui S = {(g 1 , ..., gp) ∈ G × .p.. × G|g 1 ...gp = e}. Podem definir una acci´o de Z/pZ sobre S per k(g 1 ...gp) = (gk+1, ..., gk+p), per a k ∈ Z/pZ, (g 1 , ..., gp) ∈ S, on la suma en els sub´ındexs es fa modul p. Com Z/pZ ´es un p-grup i |S| = np−^1 ´es divisible per p, tenim que el cardinal del conjunt S 0 de punts fixos ´es divisible per p, per la congruencia dels punts fixos. Ara S 0 = {(x, ..., x)|x ∈ G, xp^ = e}. Com (e, ..., e) ∈ S 0 i p||S 0 |, el conjunt S 0 ha de contenir algun (x, ..., x) amb x ̸= e i x ´es doncs element d’ordre p. □
(l) Prova que si el grup G i el conjunt X s´on finits, i si G actua sobre X, llavors per a tot element x ∈ X se satisfa que |G| = |G.x| · |E(x)|, on E(x) indica l’estabilitzador de l’element x i G.x la sevaorbita.
Si tenim l’aplicaci´o G −→ X tal que g 7 −→ gx. La imatge de l’aplicaci´o ´es G.x. Ara gx = g′x ⇔ g−^1 g′x = x ⇔ g−^1 g′^ ∈ E(x) ⇔ g′^ ∈ gE(s). □
