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a t ic a sa t e^ ’ Universidad Carlos III de Madrid
Escuela Polit´ecnica Superior
Departamento de Matem´aticas
Primer Curso de Grado en Ingenier´ıa Telem´atica.
C ALCULO I´ Resoluci´on Examen 21 de junio de 2010.
Problema 1
a) f (x) =
x^2 − 2 x + 5 2 x − 2. Continuidad y derivabilidad: La funci´on es continua y derivable en todo R excepto en x = 1. Dom(f ) = IR − { 1 }. Cortes con los ejes : No corta al eje horizontal; corta al eje vertical en (0, − 5 /2).
As´ıntotas: l´ım x→ 1 +^
f (x) = ∞, l´ım x→ 1 −^
f (x) = −∞ √ AV x = 1.
f (x) =
x − 1 2 +^
x − 1 √^ AO^ y^ =^
x − 1
O tambi´en m = (^) x→±∞l´ım
x^2 − 2 x + 5 x(2x − 2) =
2 ,^ b^ =^ x→±∞l´ım
( (^) x (^2) − 2 x + 5 2 x − 2 −^
x 2
AO y = mx + b = x 2
Monoton´ıa: f ′(x) = x
(^2) − 2 x − 3 2(x − 1)^2
; f ′(x) = 0 ⇒ x = − 1 , 3. En consecuencia: Si x < − 1 , f ′(x) > 0 , la funci´on es mon´otona creciente. Si − 1 < x < 1 , f ′(x) < 0 , la funci´on es mon´otona decreciente. Si 1 < x < 3 , f ′(x) < 0 , la funci´on es mon´otona decreciente. Si x > 3 , f ′(x) > 0 , la funci´on es mon´otona creciente. En x = − 1 hay un m´aximo local. En x = 3 hay un m´ınimo local.
Curvatura: f ′′(x) =
(x − 1)^3.^ La funci´on es c´oncava en (−∞,^ 1) y convexa en (1,^ ∞). Con los datos anteriores, la gr´afica resulta (figura de la izquierda, se incluye la AV y la AO)
−10−6 −4 −2 0 2 4 6
−
−
−
−
0
2
4
6
8
10
0.51.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
1
2
3
4
b) El ´area pedida (zona entre las gr´aficas, figura de la derecha) es
A =
2
x^2 − 2 x + 5 2 x − 2
− (x − 1)
dx −
3
x^2 − 2 x + 5 2 x − 2
− (x − 1)
dx
=
2 log(x − 1) − (x^ −^ 1)
2 4
3
2
2 log(x − 1) − (x^ −^ 1)
2 4
4
3
= 4 log 2 − 2 log 3 +^14.
Problema 2
a) (^) x→l´ım+∞
( (^2) x + 7 2 x − 6
)√ 4 x (^2) +x− 3 = e x→l´ım+∞^13
4 x^2 + x − 3 2 x − (^6) = e^13.
b) Como l´ım t→ 0 −^
e^1 /t^ = 0, se tiene l´ım t→ 0 −
1 − e^1 /t 1 + e^1 /t^
= l´ zım→ 01 −^ z 1 + z
Problema 3
a) Obtenemos el polinomio de Taylor multiplicando los polinomios de las funciones involucradas, qued´andonos con los t´erminos hasta la potencia quinta. Como
sen^2 x^ = 2x −
(2x)^3 3! +
(2x)^5 5! +^ · · ·^ , e^3 x^ = 1 + 3x +
(3x)^2 2! +
(3x)^3 3! +
(3x)^4 4! +
(3x)^5 5! +^ · · ·^ , se tiene
x sen^2 x^ e^3 x^ = x ·
2 x −
8 x^3 3 +
4 x^5 15 +^ · · ·
1 + 3x +
9 x^2 2 +
9 x^3 2 +
27 x^4 8 +
81 x^5 40 +^ · · ·
= 2x^2 + 6x^3 +
19 x^4 3 +^ x
y as´ı el polinomio de Taylor buscado es precisamente el desarrollo hasta la potencia quinta, P 5 f (x) = 2x^2 + 6x^3 +^19 x
4 3
- x^5. b) Aplicando el criterio del cociente,
nl´→∞ım
an+ an^ = l´^ n→∞ım
(n + 1)n+1 2 n^ n! nn 2 n+1(n + 1)! = l´^ n→∞ım
n + 1 n
)n
e 2 >^1.
Por tanto la serie diverge. Aplicando el criterio de Stirling se obtiene la misma conclusi´on, pues
an ∼ n
n 2 n^
· e
n nn
2 πn
( (^) e 2
)n (^1) √ 2 πn
y al aplicar el criterio de la ra´ız se tiene (^) nl´→∞ım^ √^ nan =
e 2 >^ 1.
