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Asignatura: Cálculo I, Profesor: Arturo De Pablo, Carrera: Ingeniería Telemática, Universidad: UC3M
Tipo: Ejercicios
1 / 31
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a t i c a s
a t e ’
PROBLEMAS DE C ´ALCULO I, 1er^ CURSO
GRADOS EN: Ingenier´ıa El´ectrica Ingenier´ıa Electr´onica Industrial y Autom´atica Ingenier´ıa Mec´anica Ingenier´ıa de Sistemas Audiovisuales Ingenier´ıa de Sistemas de Comunicaciones Ingenier´ıa Telem´atica
Colecci´on elaborada por Arturo de PABLO Elena ROMERA
1 Funciones de variable real. 1
1 Funciones de variable real. 1 1.1 La recta real....................................... 1 1.2 Funciones elementales.................................. 3 1.3 L´ımites de funciones................................... 6 1.4 Continuidad....................................... 8
2 C´alculo diferencial de una variable. 9 2.1 Derivabilidad...................................... 9 2.2 Extremos de funciones.................................. 12 2.3 Representaci´on gr´afica.................................. 13 2.4 Polinomio de Taylor................................... 15
3 Sucesiones y series. 16 3.1 Sucesiones de n´umeros reales.............................. 16 3.2 Series de n´umeros reales................................ 19 3.3 Series de Taylor..................................... 21
4 Integraci´on en una variable 23 4.1 C´alculo de primitivas.................................. 23 4.2 Teorema fundamental del c´alculo............................ 27 4.3 Aplicaciones....................................... 28
Problema 1.1. i) Sean los n´umeros reales 0 < a < b, k > 0. Demuestra las desigualdades
ab < a^ +^ b 2
< b, 2) a b
< a^ +^ k b + k
ii) Demuestra que |a + b| = |a| + |b| ⇐⇒ ab ≥ 0. iii) Demuestra la desigualdad |a − b| ≥
∣∣ ∣|a| − |b|
∣∣ ∣, para todo^ a, b^ ∈^ IR. iv) Demuestra que:
a) max{x, y} =
x + y + |x − y| 2 ,^ b) min{x, y}^ =^
x + y − |x − y|
v) Expresa con una sola f´ormula la funci´on f (x) = (x)+ =
{ x si x > 0 0 si x ≤ 0.
Problema 1.1.2 Descomp´on las expresiones en n en producto de factores para demostrar que para todo n ∈ IN se tiene
1 Funciones de variable real. 3
vii) G = { x = 2−p^ + 5−q^ : p, q ∈ IN }; viii) H = { x = (−1)n^ + 1/m : n, m ∈ IN }.
Problema 1.1.9 Representa en el plano IR^2 los siguientes conjuntos:
i) A = { |x − y| < 1 }, ii) B = { x^2 < y < x },
iii) C = { x + y ∈ ZZ }, iv) D = { | 2 x| + |y| = 1 },
v) E = { (x − 1)^2 + (y + 2)^2 < 4 }, vi) F = { | 1 − x| = |y − 1 | },
vii) G = { 4 x^2 + y^2 ≤ 4 , xy ≥ 0 }, viii) H = { 1 ≤ x^2 + y^2 < 9 , y ≥ 0 }.
Problema 1.1.10 Demuestra que las rectas y = mx+b, y = nx+c son ortogonales si mn = −1.
Problema 1.1.11 Sea el tri´angulo en el plano formado por los puntos (a, 0), (−b, 0) y (0, c), con a, b, c > 0.
i) Calcula el punto de corte de las tres alturas. ii) Calcula el punto de corte de las tres medianas. iii) ¿Cu´ando coinciden estos dos puntos?
Problema 1.1.
i) Sea la par´abola G = {y = x^2 }, y el punto P = (0, 1 /4). Halla λ ∈ IR tal que los puntos de G equidistan de P y de la recta horizontal L = {y = λ}. ii) Inversamente, el conjunto G tal que sus puntos equidistan de un punto P = (a, b) y de una recta L = {y = λ}, es la par´abola y = αx^2 + βx + γ. Halla α, β, γ.
Problema 1.1.
i) Halla el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos F 1 = (c, 0) y F 2 = (−c, 0) es 2a, (a > c). ii) La misma cuesti´on sustituyendo suma por diferencia (con a < c).
Problema 1.2.1 Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
i) f (x) = 1 x^2 − 5 x + 6
, ii) f (x) =
√ 1 − x^2 +
√ x^2 − 1 ,
iii) f (x) = 1 x −
1 − x^2
, iv) f (x) =
√ 1 −
√ 4 − x^2 ,
v) f (x) = 1 1 − log x
, vi) f (x) = log(x − x^2 ),
vii) f (x) =
5 − x log x
, viii) f (x) = arcsen(log x).
1 Funciones de variable real. 4
Problema 1.2.
i) Si f y g son dos funciones impares, ¿c´omo son f + g, f · g y f ◦ g? ii) ¿Y si f es par y g impar?
Problema 1.2.3 Estudia la simetr´ıa de las siguientes funciones:
i) f (x) = x x^2 − 1
, ii) f (x) = x
(^2) − x x^2 + 1
iii) f (x) = sen^ x x
, iv) f (x) = (cos x^3 )(sen x^2 )e−x^4 ,
v) f (x) = √^1 x^2 + 1 − x
, vi) f (x) = log(
√ x^2 + 1 − x).
Indicaci´on: vi) es impar.
Problema 1.2.4 ¿Para qu´e n´umeros a, b, c, d ∈ IR se tiene que la funci´on f (x) =
ax + b cx + d satisface f ◦ f = I (la identidad) en el dominio de f?
Problema 1.2.5 Comprueba que la funci´on f (x) = x^ + 3 1 + 2x
es biyectiva definida de IR−{− 1 / 2 }
en IR − { 1 / 2 } y calcula su inversa.
Problema 1.2.
i) Estudia cu´ales de las siguientes funciones son inyectivas, hallando su inversa en caso de que lo sean, o un ejemplo de dos puntos con la misma imagen en caso de que no lo sean.
a) f (x) = 7x − 4 , b) f (x) = sen(7x − 4),
c) f (x) = (x + 1)^3 + 2, d) f (x) = x^ + 2 x + 1
e) f (x) = x^2 − 3 x + 2, f ) f (x) = x x^2 + 1
g) f (x) = e−x, h) f (x) = log(x + 1).
ii) Demuestra que la funci´on f (x) = x^2 − 3 x + 2 s´ı es inyectiva en (3/ 2 , ∞). iii) Demuestra que la funci´on f (x) = x x^2 + 1
s´ı es inyectiva en (1, ∞) y encuentra f −^1 (
iv) Estudia si las funciones anteriores son sobreyectivas y si son biyectivas definidas en su dominio D(f ) en IR.
Problema 1.2.7 Demuestra que a sen x + b cos x se puede escribir como A sen(x + B), y en- cuentra A y B.
1 Funciones de variable real. 6
Problema 1.2.13 Definimos las funciones hiperb´olicas
senh x =
ex^ − e−x 2 ,^ cosh^ x^ =
ex^ + e−x
i) Estudia su simetr´ıa. ii) Demuestra las f´ormulas
a) cosh^2 x − senh^2 x = 1, b) senh 2x = 2 senh x cosh x.
iii) Simplifica la funci´on f (x) = senh−^1 x. iv) Esboza la gr´afica de las funciones senh x y cosh x.
Problema 1.2.14 Esboza las siguientes curvas dadas en coordenadas polares:
i) r = 1, θ ∈ [0, π], ii) θ = 3π/ 4 , r ≥ 2 ,
iii) r = 2 sen θ, θ ∈ [0, π], iv) r = θ, θ ∈ [0, 2 π],
v) r = eθ, θ ∈ [− 2 π, 2 π], vi) r = sec θ, θ ∈ [0, π/2],
vii) r = 1 − sen θ, θ ∈ [0, 2 π], viii) r = (cos 2θ)+, θ ∈ [0, 2 π],
ix) r = | cos 2θ|, θ ∈ [0, 2 π], x) r = (sen 3θ)+, θ ∈ [0, 2 π/3].
Problema 1.2.15 Esboza los siguientes conjuntos en el plano dados en coordenadas polares:
i) A = { 1 < r < 4 }, ii) B = { π/ 6 ≤ θ ≤ π/ 3 },
iii) C = { r ≤ θ, 0 ≤ θ ≤ 3 π/ 2 }, iv) D = { r ≤ sec θ, 0 ≤ θ ≤ π/ 4 }.
Problema 1.3.1 Utilizando la definici´on ε–δ de l´ımite prueba que:
i) (^) xlim→ 2 x^2 = 4, ii) (^) xlim→ 3 (5x − 1) 6 = 16,
iii) (^) xlim→ 0
x 1 + sen^2 x = 0,^ iv)^ xlim→ 9
x = 3.
Problema 1.3.2 Calcula los siguientes l´ımites simplificando los factores comunes que puedan aparecer:
i) (^) xlim→a^ x
n (^) − an x − a
, ii) (^) xlim→a
x −
a x − a
iii) (^) xlim→ 64
x − 8 √ (^3) x − 4 , iv) (^) xlim→ 0
1 − x^2 x^2 ,
v) (^) hlim→ 0
1 (1−h)^3 −^1 h ,^ vi)^ xlim→ 1
x − 1 −^
x − 1
) .
1 Funciones de variable real. 7
Problema 1.3.3 Utilizando los l´ımites lim x→ 0
sen x x = 1, lim^ x→^0
ex^ − 1 x = 1, calcula los siguientes l´ımites:
i) (^) xlim→ 0 (sen 2x
x^6
, ii) (^) xlim→ 01 −^ cos^ x x^2
iii) (^) xlim→ 0 tg^ x
(^2) + 2x x + x^2
, iv) (^) xlim→ 0 sen(x^ +^ a)^ −^ sen^ a x
v) (^) xlim→ 0
log(1 + x) x ,^ vi)^ xlim→ 0 (1 +^ x)
1 /x,
vii) (^) xlim→ 0
log(1 − 2 x) sen x ,^ viii)^ xlim→^0 (1 + sen^ x)
2 /x,
ix) (^) xlim→ 0 e
x (^) − esen x x − sen x
, x) (^) xlim→ 0 tg^ x^ −^ sen^ x x^3
xi) (^) xlim→ 0
( (^) x sen x
) (^) sensen x^ −xx , xii) (^) xlim→ 0 (cos x)^1 /x^2 ,
xiii) (^) xlim→π^1 −^ sen(x/2) (x − π)^2
, xiv) (^) xlim→ 0 a
x (^) − bx x
Indicaci´on: ser´a preciso utilizar alg´un cambio de variables y el l´ımite de la composici´on.
Problema 1.3.4 Calcula los siguientes l´ımites:
i) (^) xlim→∞^ x
(^3) + 4x − 7 7 x^2 −
2 x^6 + x^5
, ii) (^) xlim→∞^ x^ + sen^ x
3 5 x + 6
iii) (^) xlim→∞
√x √ x +
√ x +
x
, iv) (^) xlim→∞
x^2 + 4x − x
) ,
v) (^) xlim→∞^ e
x ex^ − 1 ,^ vi)^ x→−∞lim
ex ex^ − 1 ,
vii) (^) xlim→∞ √^ x^ −^2 4 x^2 + 1
, viii) (^) x→−∞lim √^ x^ −^2 4 x^2 + 1
Problema 1.3.5 Calcula los l´ımites laterales:
i) lim t→ 0 +
t
)[t] , ii) lim t→ 0 −
t
)[t] ,
iii) (^) tlim→ 0 + e^1 /t, iv) (^) t→lim 0 − e^1 /t,
iii) lim t→ 0 +
1 − e^1 /t 1 + e^1 /t^
, iv) lim t→ 0 −
1 − e^1 /t 1 + e^1 /t^
iii) (^) x→lim+∞
( (^2) x + 7 2 x − 6
)√ 4 x (^2) +x− 3 , iv) (^) x→−∞lim
( (^2) x + 7 2 x − 6
)√ 4 x (^2) +x− 3 .
2 C´alculo diferencial de una variable. 9
iv) f (x) =
{ x si x ∈ QQ −x si x /∈ QQ.
Problema 1.4.5 Demuestra los siguientes teoremas de punto fijo:
i) Sea f : [0, 1] −→ [0, 1] una funci´on continua. Entonces existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. ii) Sean f, g : [a, b] −→ IR dos funciones continuas tales que f (a) > g(a), f (b) < g(b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = g(c).
Problema 2.1.1 Sean f, g funciones derivables en todo IR. Escribe la derivada de las siguientes funciones en su dominio:
i) h(x) =
√ f 2 (x) + g^2 (x), ii) h(x) = arctg
( (^) f (x) g(x)
) ,
iii) h(x) = f (g(x))ef^ (x), iv) h(x) = log(g(x) sen(f (x))),
v) h(x) = (f (x))g(x), vi) h(x) =
log(f (x) + g^2 (x)).
Problema 2.1.
i) Construye una funci´on continua en todo IR tal que se anule para |x| ≥ 2, y valga uno para |x| ≤ 1. ii) Construye otra que adem´as sea derivable.
Problema 2.1.3 A partir de las funciones hiperb´olicas senh x y cosh x, definimos las funciones
tgh x =
senh x cosh x y sech^ x^ =^
cosh x. Demuestra las f´ormulas i) (senh x)′^ = cosh x, ii) (cosh x)′^ = senh x,
iii) (tgh x)′^ = sech^2 x, iv) (sech x)′^ = − sech x tgh x.
Problema 2.1.4 Comprueba que las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones diferenciales especificadas, donde c, c 1 y c 2 son constantes.
i) f (x) =
c x ,^ xf^
′ (^) + f = 0;
ii) f (x) = x tg x, xf ′^ − f − f 2 = x^2 ;
iii) f (x) = c 1 sen 3x + c 2 cos 3x, f ′′^ + 9f = 0;
iv) f (x) = c 1 e^3 x^ + c 2 e−^3 x, f ′′^ − 9 f = 0;
v) f (x) = c 1 e^2 x^ + c 2 e^5 x, f ′′^ − 7 f ′^ + 10f = 0;
vi) f (x) = log(c 1 ex^ + e−x) + c 2 , f ′′^ + (f ′)^2 = 1.
2 C´alculo diferencial de una variable. 10
Problema 2.1.5 Demuestra las identidades
i) arctg x + arctg^1 x
= π 2
, x > 0;
ii) arctg
1 + x 1 − x −^ arctg^ x^ =^
π 4 ,^ x <^ 1;
iii) 2 arctg x + arcsen (^) 1 +^2 x x 2 = π, x ≥ 1.
Indicaci´on: deriva y sustituye en alg´un punto del intervalo. El resultado no es cierto fuera de los intervalos especificados.
Problema 2.1.6 Calcula el valor de a ∈ IR para el cual la par´abola f (x) = ax^2 es tangente a la curva g(x) = log x, y escribe la ecuaci´on de la tangente com´un.
Problema 2.1.7 Calcula en qu´e puntos la gr´afica de la funci´on f (x) = x + (sen x)^1 /^3 tiene tangente vertical.
Problema 2.1.8 Calcula el ´angulo que forman las tangentes por la derecha y por la izquierda en el origen a la gr´afica de la funci´on
f (x) =
x 1 + e^1 /x^ si^ x^6 = 0 0 si x = 0.
Problema 2.1.9 Dada la funci´on
f (x) =
{ (3 − x^2 )/ 2 si x < 1 1 /x si x ≥ 1 ,
i) estudia su continuidad y derivabilidad; ii) ¿se puede aplicar el teorema del valor medio en [0,2]? En caso afirmativo halla el punto (o puntos) de la tesis del teorema.
Problema 2.1.10 Estudia la continuidad y derivabilidad de la funci´on
f (x) =
x + 2 arccos(x + 2).
Problema 2.1.11 Calcula el m´ınimo valor de α para el que la funci´on f (x) = |αx^2 − x + 3| es derivable en todo IR.
Problema 2.1.12 La funci´on f (x) = 1 − x^2 /^3 se anula en −1 y en 1 y, sin embargo, f ′(x) 6 = 0 en (− 1 , 1). Explica esta aparente contradicci´on con el teorema de Rolle.
Problema 2.1.13 Dada la funci´on f (x) =
{ a + bx^2 si |x| ≤ c |x|−^1 si |x| > c , con^ c >^ 0, calcula^ a^ y^ b^ para que sea continua y derivable en todo IR.
Problema 2.1.14 Utilizando el teorema del valor medio aproxima 26^2 /^3 y log(3/2).
2 C´alculo diferencial de una variable. 12
Problema 2.1.22 La ecuaci´on (^) { e−f^ f ′^ = 2 + tg x f (0) = 1,
define una funci´on f uno a uno en el intervalo [−π/ 4 , π/4], derivable. Se define la funci´on g(x) = f −^1 (x + 1). Calcula el l´ımite
xlim→ 0
ex^ − e−^ sen^ x g(x).
Problema 2.1.
i) Sea f : [a, b] −→ IR derivable. Si f admite k ≥ 2 ra´ıces en [a, b], entonces f ′^ admite al menos k − 1 ra´ıces en [a, b]. ii) Si f es n veces derivable en [a, b] y se anula en n + 1 puntos distintos de [a, b], prueba que f (n)^ se anula al menos una vez en [a, b].
Problema 2.1.24 Calcula cu´antas soluciones tienen las ecuaciones siguientes en los intervalos especificados:
i) x^7 + 4x = 3, en IR; ii) x^5 = 5x − 6 , en IR;
iii) x^4 − 4 x^3 = 1, en IR; iv) sen x = 2x − 1 , en IR;
v) xx^ = 2, en [1, ∞); vi) x^2 = log(1/x), en (1, ∞).
Problema 2.2.1 Sea la funci´on f (x) = |x^3 (x − 4)| − 1.
i) Estudia su continuidad y derivabilidad. ii) Calcula sus extremos relativos. iii) Prueba que la ecuaci´on f (x) = 0 tiene una ´unica soluci´on en el intervalo [0, 1].
Problema 2.2.2 Una empresa de tomate en salsa quiere fabricar latas cil´ındricas de volumen fijo V. ¿Cu´al deber´a ser la relaci´on entre el radio r de la base de la lata y su altura h, para que la construcci´on requiera el m´ınimo gasto de material?
Problema 2.2.3 Halla el ´area del rect´angulo, de lados paralelos a los ejes e inscrito en la elipse (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, de ´area m´axima.
Problema 2.2.4 Halla el ´area del tri´angulo, formado por la tangente a la par´abola y = 6 − x^2 y los semiejes positivos, que tiene ´area m´ınima.
Problema 2.2.5 Un tri´angulo rect´angulo ABC tiene el v´ertice A en el origen, B sobre la circunferencia (x − 1)^2 + y^2 = 1, y el cateto AC sobre el eje horizontal. Calcula C para que el ´area del tri´angulo sea m´axima.
Problema 2.2.6 Sea P = (x 0 , y 0 ) un punto del primer cuadrante. Traza una recta que pase por P y corte a los ejes en A = (x 0 + α, 0) y B = (0, y 0 + β) respectivamente. Calcula α, β > 0. de manera que sea m´ınima:
2 C´alculo diferencial de una variable. 13
i) la longitud de AB; ii) la longitud de OA m´as la de OB; iii) el ´area del tri´angulo OAB.
Indicaci´on: β = x 0 y 0 /α.
Problema 2.2.
i) Demuestra la desigualdad de Bernoulli: (1 + x)a^ ≥ 1 + ax, para todo a ≥ 1, x > −1. ii) Demuestra que ex^ ≥ 1 + x para todo x ∈ IR. iii) Demuestra que x 1 + x
≤ log(1 + x) ≤ x para todo x > −1.
Indicaci´on: minimiza las funciones apropiadas.
Problema 2.2.
i) Demuestra que
log x x <^
e para todo^ x >^ 0,^ x^6 = e. ii) Concluye que ex^ > xe^ para todo x > 0, x 6 = e.
Problema 2.2.9 Calcula los m´aximos y m´ınimos absolutos de la funci´on f (x) = 2x^5 /^3 + 5x^2 /^3 en el intervalo [− 2 , 1].
Problema 2.3.1 Demuestra que si f y g son funciones convexas dos veces derivables, y f es creciente, entonces h = f ◦ g es convexa.
Problema 2.3.
i) Esboza la gr´afica de la funci´on f (x) = x + log |x^2 − 1 |. ii) A partir de ella dibuja la gr´afica de las funciones
a) g(x) = |x| + log |x^2 − 1 |, b) h(x) =
∣∣ ∣x + log |x^2 − 1 |
∣∣ ∣.
Problema 2.3.3 Representa gr´aficamente las funciones siguientes:
i) y = ex^ sen x, ii) y =
x^2 − 1 − 1 , iii) y = xe^1 /x,
iv) y = x^2 ex, v) y = (x − 2)x^2 /^3 , vi) y = (x^2 − 1) log 1 +^ x 1 − x
vii) y = x log x
, viii) y = x
x^2 + 1
, ix) y = e
1 /x 1 − x
x) y = log[(x − 1)(x − 2)], xi) y = e
x x(x − 1)
, xii) y = 2 sen x + cos 2x,
xiii) y = √x^ −^2 4 x^2 + 1
, xiv) y =
√ |x − 4 |, xv) y = 1 1 + ex^
xvi) y = e
2 x ex^ − 1
, xvii) y = e−x^ sen x, xviii) y = x^2 sen(1/x).
2 C´alculo diferencial de una variable. 15
Problema 2.4.1 Escribe el polinomio de Taylor de orden 5 alrededor del origen para las funciones siguientes:
i) ex^ sen x, ii) e−x^2 cos 2x, iii) sen x cos 2x,
iv) ex^ log(1 − x), v) (sen x)^2 , vi) 1 1 − x^3
Problema 2.4.2 Escribe el polinomio x^4 − 5 x^3 + x^2 − 3 x + 4 en potencias de x − 4.
Problema 2.4.3 Escribe el polinomio de Taylor de orden n alrededor del punto que se indica, de las siguientes funciones:
i) f (x) = 1/x en a = −1; ii) f (x) = xe−^2 x^ en a = 0; iii) f (x) = (1 + ex)^2 en a = 0.
Problema 2.4.4 Demuestra las f´ormulas
i) sen x = o(xα), ∀ α < 1 , cuando x → 0;
ii) log(1 + x^2 ) = o(x), cuando x → 0;
iii) log x = o(x), cuando x → ∞;
iv) tg x − sen x = o(x^2 ), cuando x → 0.
Problema 2.4.5 Calcula los siguientes l´ımites utilizando el Teorema de Taylor:
i) (^) xlim→ 0
ex^ − sen x − 1 x^2 ,^ ii)^ xlim→^0
sen x − x + x^3 / 6 x^5 ,
iii) (^) xlim→ 0
cos x −
1 − x sen x ,^ iv)^ xlim→^0
tg x − sen x x^3 ,
v) (^) xlim→ 0
x − sen x x(1 − cos 3x) ,^ vi)^ xlim→ 0
cos x + ex^ − x − 2 x^3 ,
vii) (^) xlim→ 0
x
sen x
) , viii) (^) xlim→ 01 x
x
− cot x
) ,
ix) (^) xlim→∞ x^3 /^2 (
x + 1 +
x − 1 − 2
x), x) (^) xlim→∞
[ x − x^2 log(1 + 1/x)
] .
Problema 2.4.6 Calcula el polinomio de Taylor de orden 4 en el origen para la funci´on f (x) = 1 + x^3 sen x y decide si f tiene en ese punto un m´aximo local, un m´ınimo local o un punto de inflexi´on.
Problema 2.4.
3 Sucesiones y series. 16
i) Calcula aproximadamente el valor de √^1
utilizando un polinomio de Taylor de grado
28 utilizando un polinomio de Taylor de grado 2. Eval´ua el error cometido.
Problema 2.4.
i) Aproxima la funci´on f (x) = cos x + ex^ mediante un polinomio de tercer grado alrededor del origen. ii) Estima el error cometido cuando se utiliza la aproximaci´on anterior para x ∈ [− 1 / 4 , 1 /4].
Problema 2.4.9 ¿Cu´antos t´erminos hay que tomar en la f´ormula de Taylor alrededor del origen de la funci´on f (x) = ex^ para obtener un polinomio que la aproxime en [− 1 , 1] con tres cifras decimales exactas?
Problema 3.1.
i) Sea {xn} una sucesi´on convergente e {yn} una divergente; ¿qu´e se puede decir de la sucesi´on producto {xnyn}, suma {xn + yn}, y cociente {yn/xn} (suponiendo que xn 6 = 0 para todo n ∈ IN )? ii) Prueba que si {xn} es convergente, entonces la sucesi´on {|xn|} tambi´en es convergente. ¿Es cierto el rec´ıproco? iii) ¿Qu´e se puede decir de una sucesi´on de n´umeros enteros que es convergente? iv) Demuestra que toda sucesi´on convergente es acotada.
Problema 3.1.2 Dadas las siguientes sucesiones en forma recurrente, escribe el t´ermino general y calcula el l´ımite.
i) a 0 = 0, an+1 = an^ + 1 2
; ii) b 0 = 1, bn+1 =
√ 2 bn.
Problema 3.1.3 Calcula los siguientes l´ımites:
i) (^) nlim→∞^ n
a, (a > 0), ii) (^) nlim→∞ n−^3 /n,
iii) (^) nlim→∞^ n
an^ + bn, (a, b > 0), iv) (^) nlim→∞
( √na + √nb 2
)n , (a, b > 0),
v) (^) nlim→∞ n
n^2 + 1 − n
) , vi) (^) nlim→∞( 4
n^2 + 1 −
n + 1),
vii) (^) nlim→∞
2 n+1^ + 3n+ 2 n^ + 3n^ ,^ viii)^ nlim→∞
( n^2 + 1 n^2 − 3 n
) n^22 −n 1 .
3 Sucesiones y series. 18
Problema 3.1.11 Se considera la sucesi´on definida por an+1 =
1 + 3an − 1, a 0 = 1/ 2. i) Demuestra que es convergente y calcula su l´ımite.
ii) Calcula (^) nlim→∞^ a an+1^ −^1 n −^1
Problema 3.1.12 Sea la sucesi´on definida por bn+1 = 1 − b 2 n, con b 0 = 0.
i) Comprueba que se trata de una sucesi´on oscilante, signo(bn+1 − bn) = −signo(bn − bn− 1 ). ii) Calcula el posible l´ımite . iii) Demuestra que se tiene |bn+1 −| = 12 |bn − |. iv) Demuestra que efectivamente (^) nlim→∞ bn =.
Indicaci´on: iii) |bn − | = ( 12 )n^.
Problema 3.1.13 Considera la sucesi´on definida por cn+1 = f (cn), donde f (x) = 1 1 + x
c 0 = 0. Demuestra que es convergente mediante los pasos siguientes:
i) Calcula el posible l´ımite . ii) Demuestra que si x ∈ [1/ 2 , 1] entonces f (x) ∈ [1/ 2 , 1]. iii) Comprueba que se tiene |f ′(x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ [1/ 2 , 1]. iv) Demuestra que cn ∈ [1/ 2 , 1] para todo n ≥ 1. v) Demuestra la estimaci´on |cn+1 −| ≤ kn|c 1 − `| para todo n ≥ 1.
Problema 3.1.
i) Utiliza la t´ecnica del problema anterior con la sucesi´on
d 0 =^1 2
, dn+1 = 2 +^4 dn
, n ≥ 0 ,
y el intervalo [3, 10 /3].
ii) Calcula (^) nlim→∞
dn+1 − dn −.
Problema 3.1.15 Se considera la sucesi´on de n´umeros reales definida de forma recurrente
x 1 = 1, xn = xn−1 + 2^1 (1 +x^ xn−^1 ) n− 1
Demuestra que es convergente y calcula su l´ımite.
Problema 3.1.16 Describe el comportamiento de las sucesiones recurrentes de los problemas anteriores, representando en dos ejes cartesianos cada par de t´erminos consecutivos (diagrama de la telara˜na).
3 Sucesiones y series. 19
Problema 3.2.1 Estudia la convergencia de las siguientes series de t´erminos positivos:
i)
∑^ ∞ n=
( (^) n + 1 2 n − 1
)n , ii)
∑^ ∞ n=
(3n − 1)^2 ,^ iii)
∑^ ∞ n=
2 n^4 + 1
iv)
∑^ ∞ n=
n(n + 1)
, v)
∑^ ∞ n=
| sen n| n^2 + n
, vi)
∑^ ∞ n=
sen(^1 n^2
vii)
∑^ ∞ n=
arcsen( √^1 n
), viii)
∑^ ∞ n=
3 n − 1 (
2)n^
, ix)
∑^ ∞ n=
nn 3 nn!
x)
∑^ ∞ n=
( n
n − 1)n, xi)
∑^ ∞ n=
( 1 +
n
)n 2 3 −n, xii)
∑^ ∞ n=
( 1 +
n
)n 2 e−n,
xiii)
∑^ ∞ n=
(log n)n^
, xiv)
∑^ ∞ n=
n^2 (log n)n^
, xv)
∑^ ∞ n=
√ n^2 + 1 − n],
xvi)
∑^ ∞ n=
log( n^ + 1 n
), xvii)
∑^ ∞ n=
nlog^ n^
, xviii)
∑^ ∞ n=
(log n)log^ n^
Indicaciones: (en general se puede aplicar m´as de un criterio); i), viii), x), xi), xiii), xiv), criterio de la ra´ız; ix), criterio del cociente; ii), iii), iv), v), vi), vii), xv), xvi), xvii), xviii), comparaci´on; xii), calcula el l´ımite (ver 2.1.20 ii)).
Problema 3.2.2 Demuestra que la serie
∑^ ∞ n=
( (^) a 2 n − 1
− b 2 n + 1
)
es convergente si y s´olo si a = b.
Problema 3.2.
i) Estudia la convergencia de la serie
∑^ ∞ n=
n(1 + a)ne−an, seg´un los valores de a > −1.
ii) La misma pregunta para la serie
∑^ ∞ n=
nn ann! ,^ seg´un los valores de^ a >^ 0.
iii) La misma pregunta para la serie
∑^ ∞ n=
n!en nn+a^ ,^ seg´un los valores de^ a^ ∈^ IR.
Indicaciones: ii) y iii) utiliza la f´ormula de Stirling.
Problema 3.2.4 Estudia la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series alter-
