¡Descarga Ejercicios de Cálculo Matemático: Funciones, Derivadas y Rectas Tangentes - Prof. 2373 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Control 2 Bloque 2 Matemáticas I ADE Tipo A
Nombre y apellidos:
Dni:
- (2 ptos) Sea
3 2 ( )
x f x e
a) Obtener su función inversa
b) A partir de la función inversa calcular dx
dy f '( x )
- (2 ptos) Utilizando el método de la derivación implícita calcular la ecuación de
la recta tangente a la curva definida por la ecuación
xy
xy
ln( )
2
Y que pasa por el punto (-1,-1)
- (2 ptos) Sin realizar el cálculo de f ' ( x )ni de q ' ( x ), justificar de forma razonada
si se puede asegurar la existencia de puntos críticos en el intervalo [-1,1] para
las funciones:
a) 2
x f x ;
b) 2
2
x qx
- (4 ptos) Para la función x e
x f x
2 :
a) Determinar el Dominio, estudiar la continuidad y calcular las asíntotas
verticales si las hay
b) Encontrar los puntos de corte con los ejes.
c) Identificar si existen asíntotas horizontales en
d) Estudiar el crecimiento y decrecimiento, encontrar máximos y mínimos
locales.
e) Estudiar la concavidad, covexidad y puntos de inflexión de la función.
(para los cálculos aproximar 20 2 5 4 ' 48 )
f) Realizar un dibujo aproximado de la gráfica de la función.
Solución
Ej. 1
a)
3 2 ( )
x y f x e ;
ln( ) ln( )
3 2
x y e ln( y ) ( 3 x 2 )·ln( e ) 3
ln( ) 2
y x
b)
dy y
dx x 3
3 2
1 1
3 3 3
x y e dy y
dx
dx
dy y
Ej. 2
xy
xy
ln( )
2 ( ') ( )
2 2
y xy xy
xy y xy xy
2 ( xy ) ( y xy ') y xy '
2 2 x y x yy y xy
2 2 y ' ( x 2 x y ) y 2 xy x x y
y xy y 2
2
En el punto (-1,-1) 1 3
y y la ecuación de la recta tangente será
y ( 1 )( 1 )·( x ( 1 )) y x 2
Ej. 3
a) La función es contínua en el intervalo, pero no es derivable porque el valor
absoluto no es derivable en x=0, por tanto no podemos aplicar el Teorema de
Rolle y no podemos asegurar que existe un punto crítico.
b) La función es contínua en el intervalo, y derivable en (-1,1) porque se trata
de un polinomio, como además f(-1)=f(1) podemos aplicar el Teorema de Rolle
y que asegura que existe un punto crítico.
Ej. 4
a) Esta función no presenta problemas de Dominio y por ello no es necesario
estudiar asíntotas verticales.
b) El punto de corte con el Eje Y es ( 0 , 3 ), con el Eje X, los puntos de corte
son ( 3 , 0 ),( 3 , 0 ).
c) Las asíntotas horizontales hay que estudiarlas en ,
f)el gráfico
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0,
-0,
-0,
-0,
-0,
0
0,
0,
0,
0,
0 2 4 6 8 10 12
