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rnNDAMENTOS MAT~MÁTICOS DE LA INGEN~ERÍA II

. ESPECIALIDAD: MECANICOS " Versión B

EXÁMEN FINAL: ENERO 2007

AL~O _

PRIMERA PARTE

1. La expresión Z3 +zx +y

=

O. Define z como función implícita de xey

)al

ul

oz' oz 0

2

z

a c c

ar- - ---

&'ay'&ay

b)' Valor de las anteriores derivadas en el punto

x

=

0, y

=

1

2. Dada la función f(x,y,z)

=

3'

~z ,

3

sepide

, x,+y +z

a) Demostrar que f(tx,ty;tz) - f(x,y,z)

=

°

b) Valor de x 8f +

Y

of +

Z

of , simplificando al máximo

" ' ,&

By

oz ' '

SEGUNDA PARTE

3. Una empresa produce dos productos A y B. Del primer producto produce la cantidadx ydel

segundo la cantidad y. El beneficio B(x,y) en función de las cantidades, viene dado por

22'

B(x,y)=2xy-2y -x +8y-2x.

Determinar la cantidad de bienes a producir para maximizar el beneficio.

4. Dada la función f(x,y)

=

6x

5

-15x

4-

20x

3

+60x

2

+

e-y2

y

a) Determinar su gradiente y la diferencial primera en el punto (0,0).

b).

Determinar el conjunto de puntos críticos. Únicamente hay uno que verifica xy= 1,

siendo ambas coordenadas positivas. Indica si dicho punto hace máximo o mínimo la

función f(x;y).

FINAL

5. Dada la función f(x,y)=xn+y"

+~+_1_,

siendo n un número natural"mayor que cero.

, " xn

y" '" "

Determinar:

a) Máximos y mínimos en el casan

=

2

b) Demuestra que el conjunto de puntos críticos de f(x,y) es independiente de ny de su

paridad y dicho conjunto consta de cuatro puntos fijos, que se han de determinar.

6. Se consideran las siguientes aplicaciones de

m

2'en

m

f(x,y)

=.J

y(y

-1)

g(x,

y)

=

~X2

+

y2

-1

h(x, y)

=

f(x,y) +g(x,y)

Hallar el dominio de definición de cada Una de las funciones anteriores y dibujarlas. Si en su

caso las fronteras no pertenecieran al dominio, dibujarlas con línea discontinua.