(3) Un agricultor vende 400 toneladas de arroz a 200 euros la tonelada. El agricultor calcula
que sus ventas aumentar´ıan en 100 toneladas si el precio disminuyera en 10 euros por
tonelada. Se pide:
(a) Hallar la funci´on (inversa) de demanda y la funci´on de ingresos marginales. Compararlas
(b) Si los costes fijos de producir xtoneladas son de C0euros y los costes marginales son constantes e
iguales a 40,hallar los costes fijos sabiendo que, cuando la empresa produce la cantidad que da el
m´aximo beneficio, el coste medio es de 50 euros.
Observaci´on para a): se supone que la funci´on (inversa) de demanda, p=f(x) es lineal, es decir,
f(x) = ax +b.
1 punto
a) Sea p=ax +bla funci´on inversa de demanda. Entonces:
i) 200 = 400a+b, cuando el agricultor vende 400 toneladas a 200 euros la tonelada.
ii) 190 = 500a+b, cuando el agricultor ba ja 10 euros el precio y aumenta en 100 toneladas las
ventas.
Operando, se obtiene que a=−1
10 , b = 240.
Por lo tanto, la funci´on inversa de demanda es p=−1
10 x+ 240.
Analogamente, luego la funci´on de ingresos ser´a: I(x) = −1
10 x2+ 240x
Finalmente, la funci´on de ingresos marginales ser´a: I′(x) = −1
5x+ 240
Como puede comprobarse, ambas rectas, la funci´on inversa de demanda y la de
ingresos marginales, parten del punto (x=0, p=240) y son decrecientes, pero la
funci´on de ingresos marginales decrece m´as deprisa que la funci´on inversa de demanda.
El gr´afico siguiente ilustra la situaci´on:
1200
240
2400
p=f(x)
p=I'(x)
p
x
b) En primer lugar, la funci´on de costes es C(x) = 40x+C0.
Luego la funci´on de beneficios ser´a: B(x) = I(x)−C(x) = −1
10 x2+ 200x−C0.
Como la funci´on de beneficios es c´oncava, pues B”(x) = −1
5<0, el punto cr´ıtico, si existe, ser´a el
´unico maximizador global.
As´ı pues, B′(x) = −1
5x+ 200 = 0 ⇐⇒ x= 1.000.
Como los costes medios de producir 1000 toneladas han de ser de 50 euros, se cumple
C(1.000)
1.000 = 40 + C0
1.000 = 50 ⇐⇒ C0= 10.000