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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II –––– TEMA 1.TEMA 1.TEMA 1.TEMA 1.---- MATRICESMATRICESMATRICESMATRICES
1 Sean las matrices
A , B y C
a) Calcule (A
t
- I
2222
). B (2,5 puntos)(2,5 puntos)(2,5 puntos)(2,5 puntos)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
[ ].
b) Calcule la matriz X que verifica A X⋅ + 2B = C (3,5 pun (3,5 pun(3,5 pun
(3,5 puntos) tos)tos)
tos)
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
AX = C – 2B ; multiplicando por A
por la izda en los dos miembros: A
.AX = A
. (C - 2B) ; X = A
(C – 2B)
Hallamos A
( | A | = -2 ≠ 0 , luego existe A
). A
|A|
(adj A)
t
t
Luego X =
2222 Dada la matriz A =
, determine, si existe, la matriz X que verifique A⋅X =
(3 puntos)(3 puntos)(3 puntos)(3 puntos)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
A⋅X =
; multiplicando por A
por la izda en los dos miembros: A
. AX = A
; X = A
Hallamos A
( | A | = 1 ≠ 0 , luego existe A
) A
|A|
(adj A)
t
t
Luego X =
3333 Sean las matrices A =
B =
1 x
x 0
y C =
Determine x para que A + B + C = 3· I
2
(1 punto)(1 punto)(1 punto)(1 punto)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
1 x
x 0
3 x
x 3
; igualando los elementos se obtiene x = 0
Iznalloz, Octubre de 2008
EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II –––– TEMATEMATEMATEMA 2 22 2....--- SISTEMAS DE ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONES
1111 Usando el método de Gauss, clasifique y resuelva el sistema formado por las ecuaciones siguientes:
x - 2y + z = 0 , 2x + y - z = 5 , 4x + 7 y - 5z = 15
(Puntuación: Llegar al sistema escalonado: 2 puntos ; Clasificación: 0,5 puntos ; Resolución: 1,5 puntos)
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
S =
1
1
1
2
3
1 2 1 0 F 1 2 1 0
2 1 1 5 2.F F 0 5 3 5
4 7 5 15 4.F F 0 15 9 15
Eliminamos F
3
, pues F
3
= 3. F
2
x 2y z 0
5y 3z 5
y =
5 3z
, x - 2.
5 3z
10 6z
+z = 0 , (x -
10 6z
+z = 0).5 , 5x - 10 - 6z + 5z = 0 , x =
10 z
, z = λ
Solución del sistema: x =
, y =
, z = λ , λ ∈ ℝ ; Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
2 Dado el sistema de ecuaciones:
x y z 6
2x 2z 3 y
3x 2y 3 3z
a) Escriba la ecuación matricial asociada a este sistema (Puntuación: 0,5 puntos)
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Escribimos el sistema en forma normal:
x y z 6
2x y 2z 3
3x 2y 3z 3
, A =
, X =
x
y
z
, b =
. Ecuación matricial: AX = b
b) Resuelva el sistema por el método de la inversa ó por la regla de Cramer
(Puntuación: Cálculo del determinante de A : 1 punto ; Fórmulas: 0,5 puntos ; Resto del ejercicio: 2 puntos )
RESOLUCI
RESOLUCIRESOLUCI
RESOLUCIÓN
ÓNÓN
ÓN
Método de la inversa: X = A
=
| A |
(adj A)
t
; | A | = 3+6+4+3-4+6 = 18 ≠ 0. Luego existe A
A
=
t
; X =
, luego x = 1 , y = 3 , z = 2
Regla de Cramer: A =
, A
x
, A
y
, A
z
| A | = 18 ; | A
x
| = 18 ; | A
y
| = 54 ; | A
z
| = 36 ; Solución: x =
x
| A |
| A |
= 1 ; y =
y
| A |
| A |
= 3 ; z =
z
| A |
| A |
3333 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de
oliva. Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones para calcular el precio unitario de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite
cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche.
(Puntuación: 1 punto)
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
x precio de 1 litro de leche
y precio de 1 kg de jamón
z precio de 1 litro de aceite
24x 6y 12z 156
z 3x
y 4z 4x
4444 Un autobús transporta 90 viajeros con 3 tarifas diferentes:
1ª: Viajeros que pagan el billete entero, que vale 0,70 euros.
2ª: Estudiantes, con descuento del 50 %.
3ª: Jubilados, con descuento del 80 %.
Se sabe que el número de estudiantes es 10 veces el de jubilados y que la recaudación total ha sido de 46,76 euros. Plantee, sin resolver,
el sistema de ecuaciones necesario para determinar el número de viajeros, de cada tarifa, que va en el autobús
(Puntuación: 1 punto)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
x Nº de viajeros de 1ª (precio del billete 0, 70 €)
y Nº de viajeros de 2ª (precio del billete 50 % de 0, 70 0,35 €)
z Nº de viajeros de 3ª (precio del billete 20 % de 0, 70 0,14 €)
x y z 90
y 10z
0, 70x 0,35y 0,14z 46, 76
Iznalloz, Noviembre de 2008
EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II –––– PRIMER TRIMESTRE (TPRIMER TRIMESTRE (TPRIMER TRIMESTRE (Temas1,2 y 3)PRIMER TRIMESTRE (Temas1,2 y 3)emas1,2 y 3)emas1,2 y 3)
1 Resuelva la ecuación matricial: A X - 3B = C
t
, siendo A =
B =
C =
(Puntuación: 3 puntos)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
A X - 3B = C
t
→ A X = C
t
+ 3 B → A
A X= A
(C
t
+ 3 B) → I
3
. X = A
(C
t
+ 3 B) → X = A
(C
t
+ 3 B)
A
| A |
(adj A)
t
; | A | = 0 + 0 + (-1) - 2 - 0 - (-1) = -2 ≠
≠ 0. Luego existe A
A
t
X =
X =
2 Clasifique y resuelva el sistema
5y 16 2x
2 3y x 2z
x 4 z
(Puntuación: 3 puntos)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
2x 5y 16
x 3y 2z 2
x z 4
Intercambiamos la 1ª y 2ª ecuación
x 3y 2z 2
2x 5y 16
x z 4
S =
1
1
3
2
1
1 3 2 2 F 1 3 2 1
2 5 0 16 2.F F 0 1 4 20
1 0 1 4 F F 0 3 3 6
1
2
2 3
F 1 3 2 1
F 0 1 4 20
3F F 0 0 9 54
x 3y 2z 1
y 4z 20
9z 54
Es un sistemasistemasistema compatiblesistemacompatiblecompatiblecompatible determinadodeterminadodeterminado (tiene solución única), pues es un sistemadeterminado
escalonado con igual nº de ecuaciones que de incógnitas.
Resolución: Despejando z en la última ecuación: z = 6 ; sustituyendo en la 2ª ecuación: y = 4 ; sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 1
3333 Sea la región definida por las siguientes inecuaciones:
x y
1 ; 2x y 0 ; y 3
a) Represente gráficamente dicha región y calcule sus vértices. (Puntuación: 2,5 puntos)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
Escribimos las ecuaciones asociadas:
x y
x 0 , sustituyendo : y 2. Punto (0, 2)
y 0 , sustituyendo : x 3. Punto (3, 0)
(2) -2x+y = 0
x 0 , sustituyendo : y 0. Punto (0, 0)
x 1 , sustituyendo : y 2. Punto (1, 2)
(3) y = 3
Los vértices son: A →
2x y 0
y 3
x =
, y = 2. Luego A(
B →
x y
y 3
x =
, y = 3. Luego B(
,3) ; C →
x y
2x y 0
x =
, y = -3. Luego C(
b) Determine en qué puntos la función F(x, y) = 2x − 3yalcanza sus valores extremos y cuáles son éstos. (Puntuación: 0,5 puntos)
RESOLUCIRESOLUCIRESOLUCIRESOLUCIÓNÓNÓNÓN
F(A) = 2.
- 3.3 = -6 F(B) = 2.
- 3. 3 = 6 F(C) = 2.
El ElEl
El valor valorvalor
valor máximo máximomáximo
máximo es eses
es 6 66
6 y yy
y se sese
se alcanza alcanzaalcanza
alcanza en enen
en el elel
el segmento segmentosegmento
segmento BC BCBC
BC ;
; el elel
el valor valorvalor
valor mínimo mínimomínimo
mínimo es eses
es -
6 y yy
y se sese
se alcanza alcanzaalcanza
alcanza en enen
en el elel
el vértice vérticevértice
vértice A AA
A
4444 Haga sólo el planteamiento que permita resolver el siguiente problema (indique cuales son las incógnitas, el conjunto de restricciones y la función
objetivo): "Una fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teledirigidos. La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 300 coches.
La empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fabricar los juguetes y sabe que la producción de cada muñeca necesita 3 horas de trabajo y reporta un
beneficio de 10 euros, mientras que la de cada coche necesita 6 horas de trabajo y reporta un beneficio de 15 euros. Calcule el número de muñecas y de
coches que han de fabricarse para que el beneficio global de la producción sea máximo y obtenga dicho beneficio" (Puntuación: 1 punto)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
x Nº de muñecas
y Nº de coches
Restricciones:
x 200
y 300
3x 6y 1800
x 0 , y 0
Función objetivo a maximizar= beneficio o ganancia: F(x,y) = 10x + 15y
X
A
B
C
Y
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II –––– RECUPERACIÓNRECUPERACIÓNRECUPERACIÓNRECUPERACIÓN DE LA 1ª EVALUACIÓNDE LA 1ª EVALUACIÓNDE LA 1ª EVALUACIÓNDE LA 1ª EVALUACIÓN
1111 Dadas las matrices A =
, B =
y C =
calcule la matriz X que verifique la ecuación XA – B = C
t
(Puntuación: 3 puntos)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
XA – B = C
t
→ XA = C
t
+ B → XAA
= (C
t
+ B) A
→ X = (C
t
+ B) A
Hallamos A
: | A| = -2 ≠ 0 , luego existe A
; A
t
Luego X =
2 Clasifique y resuelva el sistema
z
y
x
y
x
(Puntuación: 3 puntos)
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
3x 2y x 10
2x y y 6
y z 3
4x 2y 10
2x 2y 6
y z 3
2x y 5
x y 3
y z 3
x y 3
2x y 5
y z 3
1 1
1
3 3 2
2 2
1 1 0 3 F 1 1 0 3 F 1 1 0 3
2 1 0 5 2.F F 0 1 0 1 F 0 1 0 1
0 1 1 3 F 0 1 1 3 F F 0 0 1 2
x y 3
y 1
z 2
Sistema compatible determinado (solución única) x = -2 , y = 1 , z = 2
3333 Sea la región definida por las siguientes inecuaciones: x + y ≥ 30 ,
x y
x 0 ; 2x y 88 ; x 0 ; y 0
a) Represente gráficamente dicha región y calcule sus vértices. (Puntuación: 2,5 puntos)
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Escribimos las ecuaciones asociadas:
(1) x+y = 30
x 0 , sustituyendo : y 30. Punto (0,30)
y 0 , sustituyendo : x 30. Punto (30, 0)
x y
x 0
x 0 , sustituyendo : y 0. Punto (0, 0)
x 1 , sustituyendo : y 9. Punto (1,9)
(3) -2x = y – 88
x 0 , sustituyendo : y 88. Punto (0,88)
y 0 , sustituyendo : x 44. Punto (44, 0)
(4) x = 0 (eje Y) (5) y = 0 (eje X)
Los vértices son: A →
x y 30
x y
x 0
x = 3 , y = 27 , A(3,27) B →
x y
x 0
2x y 88
x = 8 , y = 72, B(8,72)
C →
2x y 88
y 0
x = 44 , y = 0 , C(44,0) D →
x y 30
y 0
x = 30 , y = 0 , D(30,0)
b) Determine en qué puntos la función F(x, y) = 2x + yalcanza sus valores extremos y cuáles son éstos. (Puntuación: 0,5 puntos)
RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
F(A) = 2. 3+27 = 33 F(B) = 2.8+72 = 88 F(C) = 2.44+0 = 88 F(D) = 2.30+0 = 60
ElElElEl valorvalorvalor máximovalormáximomáximomáximo eseseses 88 8888 88 yyyy sesesese alcanzaalcanzaalcanzaalcanza enenen elenelel segmentoelsegmentosegmentosegmento BCBCBCBC ;;;; elelelel valorvalorvalorvalor mínimomínimomínimomínimo eseseses 33 333333 yyyy sesesese alcanzaalcanzaalcanzaalcanza enenenen elelelel vérticevérticevérticevértice AAAA
4444 Haga sólo el planteamiento que permita resolver el siguiente problema (indique cuales son las incógnitas, el conjunto de restricciones
y la función objetivo):
" Debo tomar al menos 60 mg de vitamina A y al menos 90 mg de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de
marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mg de vitamina A y 15 mg de vitamina B, y cada pastilla de la marca Y
contiene 10mg de cada vitamina. Además no es conveniente tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de
la marca X es 50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro.
Se quiere calcular cuántas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mínimo" (Puntuación: 1 punto)
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓNRESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Restricciones:
10x 10y 60
15x 10y 90
x y 8
x 0 , y 0
Función objetivo a minimizar= coste: F(x,y) = 0,50x + 0,30y
Iznalloz, Enero de 2009
Nº mg de vitamina A mg de vitamina B
Pastillas de la marca X x 10x 15x
Pastillas de la marca Y y 10y 10y
Total x+y 10x+10y 15x+10y
X
(2)
(3)
A
B
C
Y
D
