MATRICES INTRODUCCIÓN CLASES DE MATRICES, Apuntes de Ciencias Empresariales

¡Descarga MATRICES INTRODUCCIÓN CLASES DE MATRICES y más Apuntes en PDF de Ciencias Empresariales solo en Docsity!

MATRICES

INTRODUCCIÓN

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

MATRICES

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a i j

de la forma

La matriz anterior se denota también por ( a i j

), i =1, ..., m , j =1, ..., n, o simplemente por ( a i

j

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una

matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n , o matriz m × n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A , B , ..., y los elementos de

las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que

una matriz cuadrada n × n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

En otras palabras, si A = ( a i j

) es una matriz m × n , entonces A

T

= es la matriz n × m.

La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. ( A + B )

T

= A

T

+ B

T

2. ( A

T

T

= A.

3. ( kA )

T

= kA

T

(si k es un escalar).

4. ( AB )

T

= B

T

A

T

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si A

T

= A ; y que es antisimétrica,

si A

T

= - A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A

T

= A. Siendo así,

A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA

T

= A

T

A = I. Se observa que una matriz

ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A

= A

T

Consideremos una matriz 3 × 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA

T

= A

T

A. Obviamente, si

A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo :

Puesto que AA

T

= A

T

A , la matriz es normal.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de

columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 × 2 y otra de 3 × 3, no se pueden sumar ni

restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los

términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder

sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas

que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas

de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Ejemplo :

Entonces:

División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz

inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán

divididos por ese escalar.

Ejemplo:

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de

que

AB = BA = I

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por

A

Ejemplo:

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Método de Gauss

Sea A = ( a i j

) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A , que

denotaremos como A

, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n × 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la

matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M , y debajo del primer término de la

diagonal principal, a 11

, que llamaremos pivote , ponemos ceros. Luego se opera como se

indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo :

Consideremos una matriz 3 × 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo

término de la diagonal principal.

Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los

ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la

diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una

matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A :

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA

, teniendo que dar

como resultado la matriz identidad I.

Comprobación :

AA

= I

Ejercicio: operaciones con matrices

c Sean

a) ¿Qué clase de matrices son?

b) Calcular:

- A - B + C.

A + B - C.

3 A + C /2.

c) Calcular:

( A · B ) / C.

d ) Calcular la inversa de A ( A

) y comprobar el resultado.

Resolución :

a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya

que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque

los elementos simétricos son opuestos entre sí.

b)

c)

• Puesto que ( A ⋅ B ) / C = A ⋅ B ⋅ C

, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos

el producto.

d )

• Primero se construye la matriz M = ( A I ) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:
• Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera

fila entre cuatro. De este modo, se tiene

Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,

• Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M , se procede a

transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -

3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,

Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad,

que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:

• Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A

, tiene que cumplir AA

= I.