¡Descarga Exàmen Resolt Càlcul Numèric y más Exámenes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Nom i cognoms Grup N´umero estudiant
MATLAB. 08/06/2017. CNED - 2016/2017 Q
[MATLAB - 10% de la nota final de l’assignatura]
- [9 punts] Indiqueu quin resultat retorna Matlab per pantalla en executar les seg¨uents comandes.
a) x = [3 1 5 7 9 2 6]; y = [2;3;4;6;7;1;3]; A = [1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];
a = x([1 6 2 1 1]) a =
b = [x ; y’] b =
c = sum(x) c =
d = x*y d =
e = A([1,4],[1,4]) e =
f = x.^2 f =
b) fib = zeros(1,7); fib(1)=1; fib(2)=1; k=3; fib = while k <= 7 fib(k)=fib(k-2)+fib(k-1); k=k+1; end fib
c) fzero(@(x) cos(x),1)
d) f = @ (x) x^2; a = 0; b = 4; n=1; IT = MetodeTrapezi(f,a,b,n) IT =
- [1 punts] Expliqueu qu`e fan les seg¨uents l´ınies de codi:
xpb = [-1,0,3,-3]; ypb = [8,5,224,-160]; a = polyfit(xpb,ypb,2)
Nom i cognoms Grup Calculadora N´umero estudiant
RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS
EN CADA FULL OMPLIU EL QUADRE DE DALT
Segon Parcial. 08/06/2017. CNED - 2016/2017 Q
- [2 punts] Considereu l’equaci´o diferencial seg¨uent: y ′′^ (t) + 6y ′^ (t) + 9y(t) = e −^3 t^ − 1
a) [1 punt] Trobeu la soluci´o general de l’EDO homog`enia associada.
y (^) h (t) =
b) [1 punt] Trobeu una soluci´o particular de l’EDO mitjan¸cant el metode de variaci´o de les constants, i escriviu la soluci´o general de l’EDO no homogenia. Heu de retornar la soluci´o el m´es simplificada possible.
y(t) =
Nom i cognoms Grup N´umero estudiant
- [2 punts]
a) [1 punt] Trobeu f (t) tal que L{f (t)}(s) =
s s 2 − 4 s + 13
f (t) =
b) [1 punt] Resoleu el seg¨uent problema de valor inicial utilitzant la transformada de Laplace. { y ′^ (t) + 2y(t) = − 10 e 3 t y(0) = 1
y(t) =
Nom i cognoms Grup N´umero estudiant
- [1 punt] Considereu el senyal peri`odic definit en [− 4 , 4] com
f (t) =
4 si t ∈ [− 2 , 2], 0 si t ∈ [− 4 , −2) ∪ (2, 4].
a) [0.75 punts] Calculeu la s`erie de Fourier associada al senyal donat f (t).
f (t) =
b) [0.25 punts] Raoneu si les sumes parcials de Fourier de la serie de l’apartat anterior mostraran el fenomen de Gibbs, i en cas afirmatiu, digueu en quins punts passara.
Punts:
Explicaci´o:
Nom i cognoms Grup N´umero estudiant
MATLAB. 08/06/2017. CNED - 2016/2017 Q
[MATLAB - 10% de la nota final de l’assignatura]
- [9 punts] Indiqueu quin resultat retorna Matlab per pantalla en executar les seg¨uents comandes.
a) x = [3 1 5 7 9 2 6]; y = [2;3;4;6;7;1;3]; A = [1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];
a = x([1 6 2 1 1]) a = 3 2 1 3 3
b = [x ; y’] b =
c = sum(x) c = 33
d = x*y d = 154
e = A([1,4],[1,4]) e = Error. Index exceeds matrix dimensions.
f = x.^2 f = 9 1 25 49 81 4 36
b) fib = zeros(1,7); fib(1)=1; fib(2)=1; k=3; fib = 1 1 2 3 5 8 13 while k <= 7 fib(k)=fib(k-2)+fib(k-1); k=k+1; end fib
c) fzero(@(x) cos(x),1) 1. 570796326794897
d) f = @ (x) x^2; a = 0; b = 4; n=1; IT = MetodeTrapezi(f,a,b,n) IT = 32
- [1 punts] Expliqueu qu`e fan les seg¨uents l´ınies de codi:
xpb = [-1,0,3,-3]; ypb = [8,5,224,-160]; a = polyfit(xpb,ypb,2)
Calculen la parabola que millor aproxima les dades donades pels vectors xpb (en l’eix OX) i ypb (en l’eix OY) segons el criteri de m´ınims quadrats. En el vector a Matlab ens retorna els coeficients de la parabola de la seg¨uent manera: a=[a2,a1,a0] de manera que p(x) = a 2 · x^2 + a 1 · x + a 0
Nom i cognoms Grup Calculadora N´umero estudiant
RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS
EN CADA FULL OMPLIU EL QUADRE DE DALT
Segon Parcial. 08/06/2017. CNED - 2016/2017 Q
- [2 punts] Considereu l’equaci´o diferencial seg¨uent: y ′′^ (t) + 6y ′^ (t) + 9y(t) = e −^3 t^ − 1
a) [1 punt] Trobeu la soluci´o general de l’EDO homog`enia associada.
y (^) h (t) = C 1 e −^3 t^ + C 2 te −^3 t^ = (C 1 + C 2 t)e −^3 t^ , ∀C 1 , C 2 ∈ R
b) [1 punt] Trobeu una soluci´o particular de l’EDO mitjan¸cant el metode de variaci´o de les constants, i escriviu la soluci´o general de l’EDO no homogenia. Heu de retornar la soluci´o el m´es simplificada possible.
y(t) = (C 1 + C 2 t +
t 2 )e −^3 t^ −
Soluci´o.
a) Es tracta en aquest cas de resoldre l’equaci´o diferencial lineal de segon ordre amb coeficients constants:
y ′′ h (t) + 6y ′ h (t) + 9y (^) h (t) = 0.
Per tant, la seva soluci´o general ser`a de la forma
y (^) h (t) = C 1 y 1 (t) + C 2 y 2 (t),
per a C 1 i C 2 constants reals qualssevol i les solucions y 1 (t) i y 2 (t) vindran determinades per les arrels de l’equaci´o caracter´ıstica associada s 2 + 6s + 9 = 0. Com que s 2 + 6s + 9 = (s + 3)^2 = 0, aquesta equaci´o t´e una ´unica arrel doble s = −3. Per tant tenim que y 1 (t) = e −^3 t i y 2 (t) = te −^3 t^ i llavors la soluci´o general de l’EDO homog`enia ´es de la forma
y (^) h (t) = C 1 e −^3 t^ + C 2 te −^3 t^ = (C 1 + C 2 t)e −^3 t^ ,
per a C 1 i C 2 constants reals qualssevol.
b) Com s’indica a l’enunciat hem de trobar la soluci´o particular utilitzant el metode de variaci´o de les constants. Observem pero que en aquest cas tamb´e es podria resoldre pel m`etode de coeficients indeterminats. Calcularem una soluci´o particular y (^) p (t) de
y (^) p′′ (t) + 6y (^) p′ (t) + 9y (^) p (t) = e −^3 t^ − 1
buscant una soluci´o de la forma y (^) p (t) = K 1 (t)e −^3 t^ + K 2 (t)te −^3 t^ , per a sengles funcions K 1 (t) i K 2 (t). Aquestes funcions es poden calcular resolent el sistema ( y 1 (t) y 2 (t) y 1 ′ (t) y ′ 2 (t)
K 1 ′ (t) K 2 ′ (t)
f (t)
on f (t) = e −^3 t^ − 1 , y 1 (t) = e −^3 t^ i y 2 (t) = te −^3 t^. Per tant per obtenir K 1 ′ (t) i K ′ 2 (t) hem de resoldre el sistema, ( e −^3 t^ te −^3 t − 3 e −^3 t^ e −^3 t^ − 3 te −^3 t
V
K 1 ′ (t) K 2 ′ (t)
e −^3 t^ − 1
Per resoldre el sistema podem utilitzar el m`etode de Gauss observant que si fem f 2 ← f 2 + 3f 1 obtenim la matriu triangular: (^) ( e −^3 t^ te −^3 t 0 e −^3 t
K ′ 1 (t) K ′ 2 (t)
e −^3 t^ − 1
i dividint per tots els termes per e −^3 t^ > 0 arribem a: ( 1 t 0 1
K 1 ′ (t) K 2 ′ (t)
1 − e 3 t
Nom i cognoms Grup N´umero estudiant
- [3 punts]
a) [1 punt] Trobeu la soluci´o al problema de valor inicial donat per l’equaci´o diferencial ordin`aria y ′^ =
y − y ′ x^2 i la condici´o inicial y(0) = e 2. Heu de fer servir que l’EDO ´es separable.
y(x) = e arctan(x)+
b) [1 punt] Trobeu la soluci´o general de l’EDO: sec(x)y ′^ + csc(x)y = cos(x), on sec(x) = 1/ cos(x) i csc(x) = 1/ sin(x).
y(x) =
C
sin(x)
cos^3 (x) sin(x)
c) [1 punt] L’equaci´o de Verhulst s’utilitza per modelitzar el creixement de poblacions: el creixement d’un cultiu de bacteris, el nombre d’infectats per una certa malaltia, etc. Aquesta equaci´o s’expresa de la seg¨uent manera: dP (t) dt
= rP (t)(Pmax − P (t)), on Pmax = 100 ´es la poblaci´o maxima. Assumint que la poblaci´o inicial ´es P (0) = 10 i que el coeficient r = 1/100, useu el metode d’Euler per aproximar la poblaci´o en temps t = 2 usant una longitud de pas h = 1.
A m´es, ´es conegut que la soluci´o d’aquesta EDO ve donada per: P (t) =
Pmax P (0)e Pmax^ rt Pmax + P (0)(e Pmax^ rt^ − 1)
Sabent aixo calculeu el valor de l’error global comes per h = 1, Eg (h = 1). Doneu una aproximaci´o de l’error global que cometr´ıem si escoll´ıssim h = 1/100, Eg (h = 1/100).
P (2) ≈ 34. 39 // Tenint en compte que P ´es un valor poblacional, es podria considerar P (2) ≈ 34
Eg(h = 1) = 10. 69530604 Eg(h = 1/100) ≈ 0. 10695306
Soluci´o.
a) La EDO del PVI ´es una edo tant lineal com separable, per`o ens diuen que la resolem mitjan¸cant variables separables. Per a fer-ho, primer separem les variables a banda i banda de la igualtat:
y ′^ =
y − y ′ x^2
=⇒ y ′^ x^2 = y − y ′^ =⇒ y ′^ (x^2 + 1) = y =⇒
y
y ′^ =
x^2 + 1
Integrant a banda i banda s’obt´e: ∫ 1 y
dy =
x^2 + 1
dx + C =⇒ ln(|y|) = arctan(x) + C.
A¨ıllant y obtenim la soluci´o expl´ıcita general de l’EDO
|y| = e arctan(x)+C^ = e C^ e arctan(x)^ on C ∈ R,
que podem reescriure com y(x) = ±e C^ e arctan(x)^ on C ∈ R
= ± Ce˜ arctan(x)^ on C˜ ∈ R +
= Cê arctan(x)^ on Ĉ ∈ R − { 0 }.
Per trobar la soluci´o particular hem d’imposar la condici´o inicial y(0) = e 2 , tenint en compte que arctan(0) = 0. Aix`o ho podem fer en qualssevol de les tres formes de les constants (en els tres casos trobarem la mateixa soluci´o particular):
y(0) = ±e C^ e arctan(0)^ ) = e C^ = e 2 =⇒ C = 2 i signe positiu =⇒ y(x) = e 2 e arctan(x)^ = e arctan(x)+
= ± Ce˜ arctan(0)^ = ± C˜ = e 2 =⇒ C˜ = e 2 i signe positiu =⇒ y(x) = e 2 e arctan(x)^ = e arctan(x)+
= Cê arctan(0)^ = Ĉ = e 2 =⇒ Ĉ = e 2 =⇒ y(x) = e 2 e arctan(x)^ = e arctan(x)+^.
Per tant, la soluci´o del PVI ´es y(x) = e arctan(x)+^.
b) La EDO que ens donen ´es una lineal, i per tant, el primer que farem sera passar-la a forma canonica:
sec(x)y ′^ + csc(x)y = cos(x) =⇒
cos(x)
y ′^ +
sin(x)
y = cos(x) =⇒ y ′^ +
cos(x) sin(x) ︸ ︷︷ ︸ p(x)
y = cos^2 (x) ︸ ︷︷ ︸ q(x)
Sabem que la soluci´o a una EDO lineal es resol utilitzant un factor integrant μ(x), i que en aquest cas, la soluci´o ve donada per y(x) =
μ(x)
μ(x)q(x)dx + C) , μ(x) = e
∫ p(x)dx (^).
Calculem primer el factor integrant: ∫ p(x)dx =
cos(x) sin(x)
dx = ln | sin(x)| =⇒ μ(x) = e
∫ p(x)dx (^) = e ln | sin(x)| (^) = | sin(x)|.
Recordem pero que els factors integrants no s´on ´unics. Si | sin(x)| ´es factor integrant, tamb´e ho sera sin(x). Per tant, per simplificar c`alculs prendrem μ(x) = sin(x). En aquest punt, ´es important comprovar que realment el factor integrant l’hem calculat correctament comprovant si la les derivades que apareixen a la edo, al multiplicar-la pel factor integrant, se’ns converteixen en la derivada d’un producte. Efectivament [ y ′^ +
cos(x) sin(x)
y = cos^2 (x)
]
× sin(x) =⇒ sin(x)y ′^ + cos(x)y ︸ ︷︷ ︸ d dt
(μy)=
d dt
(sin(x)y)
= sin(x) cos 2 (x)
Per tant la edo la podem reescriure despr´es de multiplicar pel factor integrant com:
d dt
(sin(x)y) = sin(x) cos 2 (x) =⇒ sin(x)y =
sin(x) cos 2 (x)dx+C =⇒ y(x) =
sin(x)
sin(x) cos 2 (x)dx + C
Utilitzant la f´ormula donada al principi de l’exercici arribem al mateix resultat.
y(x) =
μ(x)
μ(x)q(x)dx + C
sin(x)
sin(x) cos 2 (x)dx + C
sin(x)
cos^3 (x) 3
+ C
Nom i cognoms Grup N´umero estudiant
- [2 punts]
a) [1 punt] Trobeu f (t) tal que L{f (t)}(s) =
s s 2 − 4 s + 13
f (t) = e 2 t^ cos(3t) +
e 2 t^ sin(3t)
b) [1 punt] Resoleu el seg¨uent problema de valor inicial utilitzant la transformada de Laplace. { y ′^ (t) + 2y(t) = − 10 e 3 t y(0) = 1
y(t) = − 2 e 3 t^ + 3e −^2 t
Soluci´o.
a) Observem que
F (s) = L{f (t)}(s) =
s s 2 − 4 s + 13 =⇒ f (t) = L−^1 {F (s)}(t) = L−^1
s s 2 − 4 s + 13
(t)
per tant hem de calcular l’antitransformada de la funci´o donada. Primer hem de veure si s 2 − 4 s + 13 t´e arrels reals (i per tant hem d’escriure la transformada com una suma de fraccions simples) o no (i per tant hem de completar quadrats). Com que el discriminant ´es negatiu (∆ = 4 2 − 4 · 13 = −36) hem de completar quadrats:
s 2 − 4 s + 13 = s 2 − 4 s + 4 + 9 = (s − 2)^2 + 9
D’on:
F (s) =
s s 2 − 4 s + 13
s (s − 2)^2 + 9
s − 2 + 2 (s − 2)^2 + 3 2
(s − 2) (s − 2)^2 + 3 2
(s − 2)^2 + 3 2
(s − 2) (s − 2)^2 + 3 2
(s − 2)^2 + 3 2
Aix´ı doncs, utilitzant la linealitat de la transformada de Laplace tenim que l’antitransformada de la funci´o ´es:
f (t) = L−^1 {F (s)} = L−^1
(s − 2) (s − 2)^2 + 3 2
L−^1
(s − 2)^2 + 3 2
= e 2 t^ cos(3t) +
e 2 t^ sin(3t).
b) Aplicant la transformada de Laplace a l’equaci´o diferencial i utilitzant-ne les propietats tenim l’equaci´o subsidi`aria:
L
y ′^ (t) + 2y(t)
(s) = L{− 10 e 3 t^ }(s)
L{y ′^ (t)}(s) + 2L{y(t)}(s) = − 10 L{e 3 t^ }(s) (Linealitat)
sL{y(t)}(s) − y(0) + 2L{y(t)}(s) = − 10
s − 3
(Derivaci´o temporal)
Utilitzant la notaci´o Y (s) = L{y(t)}(s) i substituint la condici´o inicial y(0) = 1 obtenim que:
sY (s) − 1 + 2Y (s) =
s − 3
(s + 2)Y (s) =
s − 3
Y (s) =
s − 13 (s − 3)(s + 2)
Per calcular l’antitransformada descomposem en fraccions simples:
Y (s) = s − 13 (s − 3)(s + 2)
A
s − 3
B
s + 2
A(s + 2) + B(s − 3) (s − 3)(s + 2)
d’on tenim que per trobar els valors d’A i B hem de resoldre l’equaci´o s − 13 = A(s + 2) + B(s − 3).
Podem trobar els valors d’A i B donant valors a s:
s = − 2 =⇒ −15 = − 5 B =⇒ B = 3
s = 3 =⇒ −10 = 5A =⇒ A = − 2
Aix´ı doncs
Y (s) = L{y(t)}(s) = − 2
s − 3
s + 2
d’on calculant l’antitransformada obtenim:
y(t) = L−^1
s − 3
s + 2
(t) = − 2 e 3 t^ + 3e −^2 t
Calculem ara el valor d’a (^) n. Al ser una funci´o parell, nom´es cal calcular la integral de 0 a L multiplicada per 2,
a (^) n =
L
∫ L
0
f (t) cos (nωt) dt =
0
f (t) cos
n
π 4
t
dt =
0
4 cos
( (^) nπ 4
t
dt = 2
0
cos
( (^) nπ 4
t
dt
nπ
[
sin
( (^) nπ 4
t
)] 2
0
nπ
[
sin
( (^) nπ 2
− sin (0)
]
nπ
sin
( (^) nπ 2
0 si n ´es parell
8 nπ
si n = 1, 5 , 9 , 13 ,...
nπ
si n = 3, 7 , 11 , 15 ,...
0 si n ´es parell
8 nπ
si n = 1 + 4k, k ∈ N
nπ
si n = 3 + 4k, k ∈ N
De manera que l’expressi´o de la s`erie de Fourier ´es
f (t) = 2 +
π
n=
n
sin
( (^) nπ 2
cos
( (^) nπ 4
t
π
n=1, 5 , 9 ,...
n
cos
( (^) nπ 4
t
π
n=3, 7 , 11 ,...
n
cos
( (^) nπ 4
t
b) Com que el senyal f (t) ´es discontinu en t = ±2 en l’interval [− 4 , 4], en tots aquests punts les sumes parcials de Fourier mostraran el fenomen de Gibbs, com es mostra en les seg¨uents figures
Addicionalment, si considerem el senyal en tots els temps, aquestes discontinuitats tamb´e apareixen en els punts de la forma t = ±2 + 8k, k ∈ Z, ´es a dir, en aquests punts tamb´e es mostra el fenomen de Gibbs, com es mostra a continuaci´o
Nom i cognoms Grup N´umero estudiant
- [2 punts] Denotem I =
0
e x^ dx
a) [1 punt] Trobeu una aproximaci´o al valor de I amb el m`etode de Simpson compost amb 3 subintervals. I ≈ 19. 09197166
b) [1 punt] Calculeu l’error absolut comes amb l’aproximaci´o de l’apartat a) i feu una predicci´o de l’error que cometrem utilitzant el metode de Simpson compost amb 30 subintervals. ES (n = 3) = 0. 00643474 ES (˜n = 30) ≈ 0. 000000643474
a) L’aproximaci´o que obtenim amb el m`etode de Simpson compost amb n = 3 −→ h = 1 ´es:
IS =
(f (0) + 4f (1/2) + f (1)) +
(f (1) + 4f (3/2) + f (2)) +
(f (2) + 4f (5/2) + f (3)) = 19. 09197166
b) Per calcular l’error exacte, calculem el valor exacte de la integral I
I =
0
e x^ dx = e 3 − e 0 = 20. 08553692 − 1 = 19. 08553692.
Llavors l’error absolut exacte com`es ´es ES = I − IS = 0. 00643474.
Addicionalment, sabem que la convergencia del metode de Simpson ´es d’ordre 4, ´es a dir,
ES (h) ≈ Ch 4 =⇒ ES (n) =
C˜
n 4
Per aproximar l’error per ˜n = 30, observem que ˜n = 30 = 10 × 3 = 10 × n i per tant
ES (˜n = 30) ≈=
ES (n = 3) 10 4
