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Funciones trigonométricas:
Para definir a las funciones trigonométricas recurrimos a una circunferencia centrada en un par de ejes cartesianos ortogonales, cuyo radio es una unidad. Considere un ángulo α, en este caso en el primer cuadrante, medido en sentido positivo desde el eje de abscisas. Para él existe un único punto p que es la intersección de la circunferencia con el lado del ángulo en cuestión (radio vector), con coordenadas (x, y). Y y p (x, y) x X Se define entonces: cos α es la abscisa del punto p, indicada en el gráfico x sen α es la ordenada del punto p, indicada en el gráfico y Este punto p, intersección del lado del ángulo y la circunferencia trigonométrica, es único y existe para todo ángulo α, lo que permite definir las funciones seno y coseno como sigue: sen : IR → IR cos : IR → IR α → sen α α → cos α Ubicamos ahora un único punto p 2 que se obtiene intersectando la prolongación del lado del ángulo con la recta T, paralela la eje Y , y tangente a la circunferencia en (1, 0), cuyas coordenadas son p 2 = (1, y’). Y y’ p 2 = (1, y’) 1 X T Se define entonces: tg α es la ordenada del punto p 2 , indicada en el gráfico y’
Situamos un único punto p 3 , de coordenadas (x’, 1) , el que se obtiene intersectando la prolongación del lado del ángulo α con la recta C, paralela al eje X y tangente a la circunferencia en el punto (0, 1). Y C 1 p 3 = (x”, 1) x” X Se define entonces: cotg α es la abscisa del punto p 3 indicada en el gráfico x’ Para definir como función a la tangente y a la cotangente debemos tener en cuenta los puntos de donde no están definidas. Primero la recta T, cuando el ángulo mida π / 2 , 3π / 2, etc., va a ser paralela al lado del ángulo α, lo que imposibilita hallar el punto de intersección de ambos. Si consideramos la recta C sucede lo mismo para ángulos que midan π , 2π , etc. Entonces para definirlas como funciones necesitamos modificar el dominio de ambas: tg : D → IR cotg : D’ → R α → tg α α → cotg α Siendo: D = { x / x ∈ IR ∧ x ≠ (2n + 1). 2 π , n ∈ Z } y D’ = { x / x ∈ IR ∧ x ≠ n.π , n ∈ Z } Trazamos ahora una recta R perpendicular al lado del ángulo α ( radio vector) en el punto p y tangente a la circunferencia en ese mismo punto. Esta recta intersecta a los ejes X e Y en puntos únicos que denominaremos p 4 y p 5 , cuyas coordenadas son : p 4 = ( x”, 0) y p 5 = (0, y” ). Y y” p 5 = (0, y” ) p 4 = ( x”, 0 ) x” X R
Relación entre las imágenes por las funciones trigonométricas:
- De ángulos congruentes: Dos ángulos orientados se dicen congruentes si sus medidas difieren en un múltiplo entero de 2π α’ = α + 2 k π ( k ∈ Z) La imagen por una función trigonométrica para los ángulos congruentes es la misma: sen α = sen ( α + 2 k π ) cos α = cos ( α + 2 k π ) tg α = tg ( α + 2 k π ) sec α = sec ( α + 2 k π ) cosec α = cosec ( α + 2 k π ) ctg α = ctg ( α + 2 k π )
- De ángulos opuestos: Dos ángulos orientados se dicen opuestos si la suma de sus medidas es cero. α + ( - α ) = 0 La relación entre las imágenes por una función trigonométrica para los ángulos opuestos es la siguiente: sen α = - sen ( - α ) cos α = cos ( - α ) tg α = - tg ( - α ) sec α = sec ( - α ) cosec α = - cosec ( - α ) ctg α = - ctg ( - α )
- Ángulos que difieren en π: Dos ángulos orientados se dice que difieren en π si la resta de sus medidas es π. α’ - α = π ⇒ α’ = α + π La relación entre las imágenes por una función trigonométrica es la siguiente: sen α = - sen ( α + π ) cos α = - cos ( α + π ) tg α = tg ( α + π ) sec α = - sec ( α + π ) cosec α = - cosec ( α + π ) ctg α = ctg ( α + π )
- Ángulos suplementarios: Dos ángulos orientados se dicen suplementarios si la suma de sus medidas es π. α’ + α = π ⇒ α’ = π - α La relación entre las imágenes por una función trigonométrica para los ángulos suplementarios es la siguiente: sen α = sen ( π - α ) cos α = - cos ( π - α ) tg α = - tg ( π - α ) sec α = - sec ( π - α ) cosec α = cosec ( π - α ) ctg α = - ctg ( π - α )
- Ángulos complementarios: Dos ángulos orientados se dicen complementarios si la suma de sus medidas es 2
α’ + α = 2
⇒ α’ = 2
- α La relación entre las imágenes por una función trigonométrica para los ángulos complementarios es la siguiente: sen α = cos ( 2
Las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de las medidas de dos ángulos: Identidades: De las expresiones que acabamos de ver para el seno y coseno de la suma de dos amplitudes angulares se pueden deducir otras como: tg ( a + b ) = 1 tga.tgb tga tg b −
cotg ( a + b ) = cotga cotgb cotga.cotgb- 1
sec ( a + b ) = cosec a.cosec b -sec a. sec b sec a.sec b.cosec a.cosec b cosec ( a + b ) = cosec a.sec b cosec b. sec a cosec a.sec b.cosec b.sec a
sen ( a - b ) = sen a. cos b - cos a. sen b cos ( a - b ) = cos a. cos b + sen a. sen b tg ( a - b ) = 1 tga.tgb tga tg b
cotg ( a - b ) = cotgb cotga cotga. cotgb 1 −
sec ( a - b ) = cosec a.cosec b sec a. secb sec a.sec b.cosec a.cosec b
cosec ( a - b ) = seca. cosec b cosec a.sec b cosec a.sec b.cosec b.sec a − Funciones trigonométricas del ángulo duplo - Identidades: sen ( 2 x ) = 2. sen x. cos x cos ( 2 x ) = cos 2 x - sen 2 x tg ( 2 x ) = 1 - tg x 2 tg x 2 cotg ( 2 x ) =^2 .cotg x cotg 2 x - 1 sec ( 2 x ) = cosec x - sec x sec x .cosec x 2 2 2 2 cosec ( 2 x ) = 2 cosec x. sec x Funciones trigonométricas del ángulo mitad - Identidades: cos ⎟ ⎠
x
2 1 + cos x ± sen (^) ⎟ ⎠
x
2 1 − cos x ± tg (^) ⎟ ⎠
x
1 cosx 1 - cos x
sec (^) ⎟ ⎠
x
1 + cosx
cosec ⎟ ⎠
x
1 cosx
cotg (^) ⎟ ⎠
x
1 cosx 1 cos x −
Transformación en producto de las identidades de las funciones trigonométricas para la suma y resta de dos amplitudes angulares: sen a + sen b = 2. sen ⎟ ⎠
a b
. cos ⎟ ⎠
a- b sen a - sen b = 2. cos (^) ⎟ ⎠
a b
. sen (^) ⎟ ⎠
a - b cos a + cos b = 2. cos (^) ⎟ ⎠
a b
. cos (^) ⎟ ⎠
a - b cos a - cos b = - 2. sen ⎟ ⎠
a b
. sen ⎟ ⎠
a - b tg a + tg b = sen (a + b). sec a. sec b tg a - tg b = sen (a - b). sec a. sec b sec a + sec b = 2. cos (^) ⎟ ⎠
a b
. cos (^) ⎟ ⎠
a - b
. sec a. sec b sec a - sec b = 2. sen (^) ⎟ ⎠
a b
. sen (^) ⎟ ⎠
a - b
. sec a. sec b cosec a + cosec b = 2. sen (^) ⎟ ⎠
a b
. cos (^) ⎟ ⎠
a - b
. cosec a. cosec b cosec a - cosec b = - 2. cos (^) ⎟ ⎠
a b
. sen (^) ⎟ ⎠
a - b
. cosec a. cosec b cotg a + cotg b = sen (a + b). cosec a. cosec b cotg a - cotg b = - sen (a - b). cosec a. cosec b
Demostración: Trazamos una de las alturas del triángulo, por ejemplo hB , el lado ac queda dividido en dos, cuyas medidas están indicadas por B1 y B2, hemos determinados dos triángulos rectángulos en uno de los cuales aplicando Teorema de Pitágoras resulta: hB^2 = A^2 - B 22 , pero a su vez B 2 = B - B 1 por lo tanto hB^2 = A^2 - (B - B 1 )^2 , además hB = sen α. C y B 1 = cos α. C entonces sustituyendo resulta: sen^2 α. C^2 = A^2 - ( B - cos α. C )^2 , desarrollando el cuadrado sería: sen^2 α. C^2 = A^2 - B^2 + 2 cos α. B. C - cos^2 α. C^2 sen^2 α. C^2 + cos^2 α. C^2 = A^2 - B^2 + 2 cos α. B. C (sen^2 α. + cos^2 α ). C^2 = A^2 - B^2 + 2 cos α. B. C De aquí: A^2 = B^2 + C^2 - 2. B. C. cos α De la misma manera se demuestra para los otros dos lados.
