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Asignatura: Anatomía Descriptiva, Profesor: Pinar Agudiez Calvo, Carrera: Enfermería, Universidad: UAM
Tipo: Exámenes
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Tema 4
Para resolver una ecuaci´on podemos tener en cuenta los siguientes aspectos: I (^) Simplificarla o reescribirla en formas equivalentes. I (^) Utilizar funciones inversas. I (^) Utilizar cambios de variable. I (^) Usar m´etodos de resoluci´on aproximada.
En las Matem´aticas Financieras es habitual resolver ecuaciones de la forma CF = Ci
1 + r
)n
donde la inc´ognita puede ser Ci , n o r.
I (^) e^2 x+5^ = 10
I (^) ln (3x + 4) = 2
I
2 (x − 7)^3 /^2 = 108
I (^) x^4 − 10 x^2 + 9 = 0
I 10 x x + 1
= 5 x − 12
I (^) 226613 = 1000 (1 + r )^10
I (^) 500 (1 + 0.25)n^ = 9094. 95
Cuando no sepamos (o no podamos) resolver una ecuaci´on de manera exacta utilizaremos alg´un m´etodo num´erico para calcular soluciones de manera aproximada.
Sea f (x) es una funci´on continua en [a, b]. Si las im´agenes f (a) y f (b) tiene signos opuestos, entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
x
y
a (^) b
f (a)
f (b)
c
→ Calculo el punto medio del intervalo [1, 2] y el signo de su imagen: m = (1 + 2)/2 = 1. 5 −→ f (1.5) = 1. 875 > 0
u
u u
1 1. 5 2
→ Ahora me quedo con el intervalo [1, 1 .5]. Y continuamos hasta obtener un intervalo de longitud 0.1. → Tambi´en se suele utilizar una tabla y se redondea el punto medio (usando el sentido com´un): α β m signo f (m) 0 2 1 − 1 2 1. 5 + 1 1. 5 1. 25 ≈ 1. 3 + 1 1. 3 1. 15 ≈ 1. 2 −
Sea f (x) es una funci´on continua en [a, b] tal que f (a) · f (b) < 0. Para calcular la soluci´on de f (x) = 0 de manera aproximada (con 4 cifras decimales exactas) usando un lenguaje de programaci´on podemos implementar el siguiente algoritmo:
Inicialmente tomamos α = a β = b
y repetimos los pasos:
→ La soluci´on aproximada es m = α+ 2 β.
El m´etodo de bisecci´on es muy f´acil de programar (ordenadores, calculadoras programables, ...) pero es tedioso si se tiene que utilizar a mano. Por eso haremos un ejercicio similar (pero m´as sencillo) que consiste en determinar un intervalo de cierta longitud en el que se encuentre una soluci´on.
ln(x − 0 .5) +
x − 1 = 0
x^3 − x = 2 + ex−^1
x^3 + x^2 − 4 x − 6 = 0
. Una consecuencia directa del teorema de Bolzano:
Sea f (x) una funci´on continua en un intervalo I , que no se anula en ning´un punto de I. Elegimos un punto cualquiera p del intervalo I. I (^) Si f (p) > 0, entonces f es positiva en el intervalo I. I (^) Si f (p) < 0, entonces f es negativa en el intervalo I.
. Es decir, si cumplen las hip´otesis, lo que le pasa a un s´olo punto, le pasa a todos los dem´as puntos del intervalo.
Por tanto, para que una funci´on f (x) cambie de signo en un intervalo I , tiene que existir un punto c tal que: I (^) o bien la funci´on se anula en c ( es decir, f (c) = 0), I (^) o bien la funci´on es discontinua en c.
La resoluci´on de inecuaciones se suele utilizar para determinar los dominios de las funciones de tipo logar´ıtmico y potencial.
Determina los dominios de las siguientes funciones:
x^3 − 5 x x^3 − 1
1 − x^2
[ f (x) ± g (x)
]′ = f ′(x) ± g ′(x)
[ λ · f (x)
]′ = λ · f ′(x)
[ f (x) · g (x)
]′ = f ′(x) · g (x) + f (x) · g ′(x)
[ (^) f (x) g (x)
]′ = f^
′(x) · g (x) − f (x) · g ′(x) g (x)^2
g
( u(x)
)]′ = g ′
( u(x)
) · u′(x)
f (x) = tan(x) =
sen(x) cos(x)
=⇒ f ′(x) = cos(x)·cos(x)cos−sen( (^2) (x)x)·(−^ sen(x))
= cos
(^2) (x)+sen (^2) (x) cos^2 (x) =^
1 cos^2 (x)
f (x) = ln
( x^2 + sen (x)
) =⇒ f ′(x) =
2 x + cos (x) x^2 + sen (x)
f (x) = exp (x^3 + (^1) x ) =⇒ f ′(x) = exp (x^3 + (^1) x )
( 3 x^2 − (^) x^12
)
f (x) = e^4 x+8^ =⇒ f ′(x) = e^4 x+8^ · 4
f (x) = 3^5 x+1^ =⇒ f ′(x) = 3^5 x+1^ · 5 · ln (3)
f (x) =
( x^4 + ex^
) 3 =⇒ f ′(x) = 3
( x^4 + ex^
) 2 ( 4 x^3 + ex^
)
f (x) = sen (5 x^2 − 8 x + 7) =⇒ f ′(x) = cos (5 x^2 − 8 x + 7) (10 x − 8)
f (x) = cos
( (^) π 2 +^ x^ ln (x)
) =⇒ f ′(x) = − sen
( (^) π 2 +^ x^ ln (x)
) ( ln (x) + 1
)
Existen varios m´etodos para derivar funciones de la forma y = u(x)v^ (x)
Podemos reescribirla: y = u(x)v^ (x)^ = ev^ (x)·ln^ u(x)^ y derivar.
Directamente: y ′^ = v (x) u(x)v^ (x)−^1 u′(x) + u(x)v^ (x)^ v ′(x) ln u(x)
En el tema anterior hemos visto los siguientes tipos de integrales inmediatas:
Integral inmediata Ejemplo ∫ u′(x) u(x)
dx = ln u(x) + C
∫ 3 x^2 x^3 + 8
dx = ln (x^3 + 8) + C Si n 6 = − 1 ∫ u′(x) ·
[ u(x)
]n dx =
[ u(x)
]n+
n + 1
∫ 2 x · (x^2 + 1)^3 dx =^1 4
(x^2 + 1)^4 + C ∫ u′(x) · u(x) dx =^1 2
[ u(x)
] 2
∫ 1 x
· ln x dx =^1 2
(ln x)^2 + C ∫ u′(x) · eu(x)^ dx = eu(x)^ + C
∫ (2x + 3) · ex
(^2) +3x dx = ex
(^2) +3x
au(x) ln a
∫ 3 · 23 x+5^ dx =
23 x+ ln 2
∫ 3 x^2 · sen (x^3 ) dx = − cos (x^3 ) + C ∫ u′(x) · cos u(x) dx = sen u(x) + C
∫ ex^ · cos ex^ dx = sen ex^ + C ∫ u′(x) 1 +
[ u(x)
] 2 dx^ = arctan^ u(x) +^ C
∫ 3 x^2 1 + (x^3 )^2 dx^ = arctan (x
(^3) ) + C
Partimos de la regla de derivaci´on de un producto: [ f (x) · g (x)
= f ′(x) · g (x) + f (x) · g ′(x)
Integramos esta expresi´on:
f (x) · g (x) =
f ′(x) · g (x) dx +
f (x) · g ′(x) dx
Y, despejando de aqu´ı el ´ultimo t´ermino, obtenemos: ∫ f (x) · g ′(x) dx = f (x) · g (x) −
f ′(x) · g (x) dx
que es la llamada f´ormula de integraci´on por partes.
La versi´on cl´asica de esta f´ormula se escribe
u dv = u v −
v du
Para calcular
x e^2 x^ dx escribimos el esquema:
f (x) = x −→ f ′(x) = 1 g ′(x) = e^2 x^ −→ g (x) =
e^2 x^ dx = 12 e^2 x
y aplicamos la f´ormula:
∫ x e^2 x^ dx = x
e^2 x 2
e^2 x 2
dx =
x e^2 x 2
e^2 x^ dx
x e^2 x 2
e^2 x 2
e^2 x 2
x −
El modo de integraci´on por partes se utiliza cuando en el integrando aparece un producto de dos funciones pero nos podemos preguntar: I (^) ¿funcionar´a el m´etodo de integraci´on por partes? I (^) ¿cu´al de las funciones derivamos y cu´al integramos?
El m´etodo funcionar´a si las funciones son de los siguientes tipos y se deriva la que aparece primero en la lista:
