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Departamento de Matem´atica Aplicada Universidad de M´alaga
Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Industrial
Examen de ‘ Algebra lineal’´ - 31 de enero de 2011 - Curso 10/
Apellidos: Nombre: Grupo: DNI: Firma:
Normas del examen:
- El alumno deber´a escribir su Nombre, Apellidos y DNI en cada uno de los folios que entregue.
- El alumno deber´a colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre.
- No est´a permitido el uso de ning´un tipo de calculadora.
- La puntuaci´on m´axima del examen es de 6 puntos, siendo necesario un m´ınimo de 3 puntos para que se tengan en cuenta el resto de puntuaciones de la asignatura.
- La puntuaci´on m´axima de cada uno de los problemas es de 1 punto.
- La soluci´on de cada problema debe estar completamente explicada y razonada.
- Solo se podr´a optar a los dos puntos del examen de pr´acticas con Mathematica si se entregaron previamente las pr´acticas resueltas.
Problemas
Problema 1 Sean S 3 (R) y A 3 (R) los conjuntos de matrices sim´etricas y antisim´etricas 3 × 3 , respectivamente. a. Pruebe que son subespacios vectoriales de M 3 (R). Obtenga una base de cada uno as´ı como su dimensi´on. b. Demuestre que M 3 (R) = S 3 (R) ⊕ A 3 (R). c. Si f : S 3 (R) → A 3 (R) es la aplicaci´on lineal dada por
f
d a b a e c b c f
0 −a −b a 0 −c b c 0
halle la matriz de f respecto a las bases construidas en el primer apartado.
2 Algebra lineal´
Problema 2 Se considera el endomorfismo f en R^3 dado por f (x, y, z) = (x + z, −x + y + αz, y − z).
a. Determine la matriz de f en la base B = {(1, 0 , 1), (0, 1 , 0), (0, 0 , −1)}. b. Calcule el valor de α para el cual dim(Ker(f )) = 1. c. Para dicho valor de α, calcule una base del n´ucleo y otra de la imagen de f. d. ¿Para qu´e valores de α es f un isomorfismo?
Problema 3 Analice para qu´e valores del par´ametro real k el endomorfismo f en R^3 de matriz
A =
−k 2 −k 0 0 1
en la base can´onica es diagonalizable. Calcule eA^ cuando k = 1, dejando sin realizar la inversa de la matriz de paso.
Problema 4 Determine una forma bilineal sim´etrica f en R^3 que verifique todas las condiciones siguientes:
e⊥ 1 f≡ x − 2 y = 0. e⊥ 2 f≡ − 2 x + 6y + z = 0. e⊥ 3 f≡ y + z = 0. f (e 2 , e 2 ) = 6f (e 1 , e 1 ) = 6.
¿Es un producto escalar? En caso afirmativo, encuentre una base en la que la matriz de f sea diagonal.
Problema 5 Aplique el m´etodo de Gram-Schmidt a la base { 1 , t, t^2 } de R 2 [t] para obtener una base ortonormal con respecto al producto escalar 〈p|q〉 :=
0
p(t)q(t)dt.
Construya la matriz de esta forma bilineal sim´etrica y diagonal´ıcela por congruencia. ¿Ser´ıa capaz, a partir de esta diagonalizaci´on, de confirmar el resultado obtenido por Gram-Schmidt? Razone la respuesta.
Problema 6 Clasifique el movimiento en R^2 de matriz, en el sistema de referencia can´onico,
M =
Considere la circunferencia C ≡ γ : [0, 2 π] 3 t 7 → γ(t) = (r cos t, r sen t) ∈ R^2 , y calcule su curvatura (con signo) antes y despu´es de aplicar el movimiento anterior. ¿Ha cambiado? Justifique el resultado.
Examen de Algebra lineal - 31 de enero de 2011.................................................................................... Curso 10/11´
