¡Descarga examenes matematicas y más Exámenes en PDF de Biología solo en Docsity!
1 o^ BIOLOGIA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS EXAMEN FINAL 14 de enero de 2014
Apellidos: Nombre:
Grupo:
1. ( 2 puntos ) Estudia para qué valores de la siguiente matriz es diagonalizable:
A =
A :
2. ( 1 punto ) Calcula el siguiente límite:
lim x! 0 ln (1 + x) sin x x sin x
3. ( 3 puntos ) Dada la siguiente función:
f (x) =
p x^2 4
i) Determina su dominio, cortes con los ejes y simetrías. ii) Halla las asíntotas. iii) Estudia el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. iv) Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión. v) Represéntala gráficamente.
4. ( 2 puntos ) Calcula las siguientes integrales:
i) ( 0.5 puntos )
Z
sin x ecos^ x^ dx:
ii) ( 0.75 puntos )
Z
x^22 xdx:
iii) ( 0.75 puntos )
Z
4 x^3 +2x 1 2 x+1 dx:
5. ( 2 puntos ) Resuelve la siguiente ecuación diferencial:
(x y) + (x + y) y^0 = 0
Obtén la solución particular que verifica que y (1) = 0:
SOLUCIONES
Se trata de un esquema de las soluciones, no se desarrollan los resultados.
1. El polinomio característico de A es p () = ( ) ( 3). Tenemos tres posibles casos a discutir: - Si 6 = 0 y 6 = 3. Entonces los tres valores propios son distintos, 1 = ; 2 = 0 y 3 = 3; y las tres multiplicidades algebraicas valdrían 1, que por lo tanto coincidirían con las geométricas, además de sumar 3, que es el orden de la matriz A. En este caso, por tanto, A es diagonalizable. - Si = 0: En este caso tendremos dos valores propios, los denotamos 1 = 0; 2 = 3: Entonces m 1 = 2 m 2 = 1 ) d 2 = 1 Calculamos d 1 = 3 rg (A) = 3 1 = 2: A también es diagonalizable. - Si = 3: En este caso tendremos los mismos dos valores propios 1 = 0; 2 = 3; pero m 1 = 1 ) d 1 = 1 m 2 = 2 Calculamos d 2 = 3 rg (A 3 I 3 ) = 3 2 = 1: A no es diagonalizable. Resumiendo, A es diagonalizable siempre que 6 = 3: 2. Al sustituir en el límite el valor para x = 0, se obtiene la indeterminación 00 : Al tratarse de funciones derivables tanto numerador como denominador, aplicamos la regla de L´Hbopital y obtenemos el siguiente límite
x^ lim! 0
1 (1+x) ^ cos^ x sin x + x cos x
Al sustituir en este límite el valor para x = 0, se obtiene de nuevo la indeterminación 0 0 :^ Al tratarse nuevamente de funciones derivables tanto numerador como denominador, aplicamos la regla de L´Hbopital por segunda vez y obtenemos el siguiente límite
lim x! 0
(^) (1+^1 x) 2 + sin x 2 cos x x sin x
Al sustituir en este límite el valor para x = 0, se obtiene ^12 , de manera que
x^ lim! 0
ln (1 + x) sin x x sin x
i) D (f ) = ] 1; 2[ [ ]2; + 1 [, pues todo x 2 [ 2 ; 2] verifica que x^2 4 0 : No hay puntos de corte con los ejes Hay simetría par. ii) Asíntotas Verticales: dado que limx! 2 ^ f (x) = + 1 y limx! 2 +^ f (x) = + 1 , obtenemos dos asíntotas de este tipo, x = 2 y x = 2: Asíntotas horizontales: dado que limx!1 f (x) = 0, obtenemos una asíntota de este tipo, y = 0:
Deshaciendo el cambio, la solción general será
ln x + arctg
(^) y x
ln
y^2 x^2
= C
y la solución particular
ln x + arctg
(^) y x
ln
y^2 x^2
