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Problemas de Selectividad de Matem´aticas

aplicadas a la Ciencias Sociales

Comunidad de Madrid

(Resueltos)

Isaac Musat Herv´as

15 de noviembre de 2016

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Cap´ıtulo 1

A˜no 2000

1.1. Modelo 2000 - Opci´on A

Problema 1.1.1 (3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal   

x− y = a x+ a^2 z = 2 a + 1 x− y+ a(a − 1)z = 2 a

a) Disc´utase el sistema seg´un los distintos valores del par´ametro real a.

b) Resu´elvase dicho sistema para a = 3.

Soluci´on:

a)

A =

 

1 − 1 0 a 1 0 a^2 2 a + 1 1 − 1 a(a − 1) 2 a

  ; |A| = a(a−1) = 0 =⇒ a = 0, a = 1

Si a 6 = 0 y a 6 = 1 =⇒ |A| 6 = 0 =⇒Rango(A) = 3 =Rango(A) =no^ de inc´ognitas =⇒ Sistema Compatible Determinado (Soluci´on Unica).´

Si a = 0:

A =

  

  

Primera y tercera fila son iguales, por lo que el Rango(A) = 2, ya que

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ = 1^6 = 0, y por esta ´ultima raz´on Rango(A) = 2. En conclusi´on, Rango(A) =Rango(A) = 2 <no^ de inc´ognitas =⇒ Sistema Compatible Indeterminado.

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Si a = 1:

A =

 

  ,

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ = 1^6 = 0 y

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

Por el primer menor tenemos Rango(A) = 2 y por el segundo Rango(A) =

3. Luego Rango(A) 6 =Rango(A) =⇒ Sistema Incompatible. (No tiene soluci´on)

b) Para a = 3 nos queda:   

x− y = 3 x+ 9 z = 7 x− y+ 6 z = 6

  

x = 5/ 2 y = − 1 / 2 z = 1/ 2

Problema 1.1.2 (3 puntos)

a) Calc´ulense p y q de modo que la curva y = x^2 + px + q contenga al punto (− 2 , 1) y presente un m´ınimo en x = −3.

b) H´allese el ´area del recinto acotado delimitado por la curva y = x^2 + 4 x + 5 y la recta y = 5.

Soluci´on:

a) f (x) = x^2 + px + q y f ′(x) = 2x + p { f (−2) = 1 =⇒ 4 − 2 p + q = 1 f ′(−3) = 0 =⇒ −6 + p = 0

{ q = 9 p = 6

La funci´on es f (x) = x^2 + 6x + 9

b) Calculamos las abcisas de los puntos de corte de la curvas:

x^2 + 4x + 5 = 5 =⇒ x = 0, x = − 4

Luego el ´area ser´a:

S =

∣∣ ∣∣

∫ (^0)

− 4

(f (x) − g(x))dx

∣∣ ∣∣ = |F (0) − F (−4)|

F (x) =

∫ (x^2 + 4x)dx =

x^3 3

• 2x^2

S = |F (0) − F (−4)| =

∣∣ ∣∣− 32 3

∣∣ ∣∣ =^32 3

u^2

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a) P (T ) = 0, 7 · 0 , 8 + 0, 3 · 0 , 7 = 0, 77 b) P (H|T ) =

P (T |H) · P (H)

P (T )

1.2. Modelo 2000 - Opci´on B

Problema 1.2.1 (3 puntos) Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le lleva dos horas y hacer una pulsera una hora. El material de que dispone no le permite hacer m´as de 50 piezas. Como mucho, el arte- sano puede dedicar al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 5 euros y por cada pulsera 4 euros. El artesano desea determinar el n´umero de collares y pulseras que debe fabricar para optimizar sus beneficios. a) Expr´esese la funci´on objetivo y las restricciones del problema. b) Repres´entese gr´aficamente el recinto definido.

c) Obt´engase el n´umero de collares y pulseras correspondientes al m´aximo beneficio. Soluci´on: a) LLamamos x al no^ de collares e y al no^ de pulseras. Las restricciones son: (^)   

x + y ≤ 50 2 x + y ≤ 80 x ≥ 0 , y ≥ 0 La funci´on objetivo es: z(x, y) = 5x + 4y.

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b) El recinto ser´a el siguiente:

c) Los v´ertices son: (0, 50), (30, 20) y (40, 0)

z(0, 50) = 200 z(30, 20) = 230 z(40, 0) = 200

El artesano tiene que fabricar 30 collares y 20 pulseras para obtener el m´aximo beneficio, que asciende a 230 euros.

Problema 1.2.2 (3 puntos) El n´umero de individuos, en millones, de una poblaci´on, viene dado por la funci´on:

P (t) = 15 + t^2 (t + 1)^2

donde t se mide en a˜nos transcurridos desde t = 0. Calc´ulese:

a) La poblaci´on inicial.

b) El a˜no en que se alcanzar´a la m´ınima poblaci´on. ¿Cu´al ser´a el tama˜no de ´esta?

c) ¿Cu´al ser´a el tama˜no de la poblaci´on a largo plazo?

Soluci´on:

a) Si t = 0 =⇒ P (0) = 15 millones de individuos. b)

P ′(t) = 2(t − 15) (t + 1)^3

= 0 =⇒ t = 15

P ′(t) + − + P (t) Creciente Decreciente Creciente

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b) P ( sabe uno y el otro no) = P (S, N S)+P (N S, S) =

Problema 1.2.4 (2 puntos) Se sabe por experiencia que el tiempo obtenido por los participantes ol´ımpicos de la prueba de 100 metros, en la modalidad de Decathlon, es una variable aleatoria que sigue una distribuci´on normal con media 12 segundos y desviaci´on t´ıpica 1,5 segundos. Para contrastar, con un nivel de significaci´on de 5 %, si no ha variado el tiempo medio en la ´ultima Olimpiada, se extrajo una muestra aleatoria de 10 participantes y se anot´o el tiempo obtenido por cada uno, con los resultados siguientes, en segundos: 13 12 11 10 11 11 9 10 12 11

a) ¿Cu´ales son la hip´otesis nula y la alternativa del contraste?

b) Determ´ınese la regi´on cr´ıtica.

c) Real´ıcese el contraste.

Soluci´on:

Tenemos N (μ, σ) = N (12; 1,5), X = 11, n = 10 y zα/ 2 = 1, 96

a) H 0 : μ = 11 H 1 : μ 6 = 11 El intervalo de aceptaci´on de la hip´otesis nula es

μ ± zα/ 2 σ √ n

b) La regi´on cr´ıtica ser´ıa el intervalo (−∞; 11,0703) ∪ (12,9297; ∞)

c) No se acepta la hip´otesis ya que la media muestral pertenece a la regi´on cr´ıtica.

1.3. Junio 2000 - Opci´on A

Problema 1.3.1 (3 puntos) Siendo a un n´umero real cualquiera, se define el sistema (^)   

x+ 2 y− az = 1 − y+ z = 0 ax+ z = a

a) Disc´utase dicho sistema en funci´on del valor de a

b) Encu´entrese todas las soluciones para a = 1

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Soluci´on: a)

A =

 

1 2 −a 1 0 − 1 1 0 a 0 1 a

  ; |A| = −a (^2) + 2a − 1 = 0 =⇒ a = 1

Si a 6 = 1 =⇒ |A| 6 = 0 =⇒Rango(A) = 3 =Rango(A) =no^ de inc´ognitas =⇒ Sistema Compatible Determinado (Soluci´on Unica).´

Si a = 1:

A =

 

 

Primera y cuarta columna son iguales, por lo que el Rango(A) = 2, ya

que

∣∣ ∣∣ ∣

∣∣ ∣∣ ∣ =^ −^1 6 = 0, y por esta ´ultima raz´on Rango(A) = 2. En conclusi´on, Rango(A) =Rango(A) = 2 <no^ de inc´ognitas =⇒ Sistema Compatible Indeterminado. b) Para a = 1, despreciamos la ´ultima ecuaci´on y nos queda { x+ 2 y− z = 1 − y+ z = 0 =⇒

  

x = 1 − t y = t z = t

Problema 1.3.2 (3 puntos) Se considera la funci´on

f (x) =

    

x + 2 x − 1 si x ≤ 2

3 x^2 − 2 x x + 2

si x > 2

a) Est´udiese si f (x) es continua en x = 2. b) Calc´ulese la ecuaci´on de la recta tangente a f (x) en el punto x = 3. c) Calc´ulense sus as´ıntotas oblicuas.

Soluci´on: a) l´ım x−→ 2 −^

f (x) = l´ım x−→ 2 −

x + 2 x − 1

l´ım x−→ 2 +^

f (x) = l´ım x−→ 2 −

3 x^2 − 2 x x + 2

Luego la funci´on es discontinua no evitable en x = 2 (hay un salto).

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b) P (1aN | 2 aN ) = P (2aN | 1 aN )P (1aN ) P (2aN )

1 3 ·^

1 5 2 3 ·^

2 5 +^

1 3 ·^

1 5

Problema 1.3.4 (2 puntos) En una comunidad aut´onoma se estudia el n´umero medio de hijos a partir de los datos disponibles en cada municipio. Se supone que este n´umero sigue un distribuci´on normal con desviaci´on t´ıpi- ca igual a 0,08. El valor medio de estos datos para 36 municipios resulta ser igual a 1,17 hijos por mujer. Se desea contratar, con un nivel de significaci´on de 0,01, si el n´umero medio de hijos por mujer en la comunidad es de 1,25.

Soluci´on:

Tenemos X = 1,25, σ = 0,08, n = 36 y zα/ 2 = 2,575 =⇒

IC =

( X − zα/ 2

σ √ n , X + zα/ 2

σ √ n

) = (1,216; 1,284)

Como la media a contrastar 1,17 est´a fuera del intervalo, rechazamos que la media pueda valer 1,25.

1.4. Junio 2000 - Opci´on B

Problema 1.4.1 (3 puntos) Una empresa especializada en la fabricaci´on de mobiliario para casa de mu˜necas, produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 20 euros y 30 euros, respectivamente. Desea saber cu´antas unidades de cada art´ıculo debe de fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos, teni´endose las siguientes restricciones:

El n´umero total de unidades de los dos tipos no podr´a exceder de 4 por d´ıa y operario.

Cada mesa requiere dos horas para su fabricaci´on; cada silla, 3 horas. La jornada laboral m´axima es de 10 horas.

El material utilizado en cada mesa cuesta 4 euros. El utilizado en cada silla cuesta 2 euros. Cada operario dispone de 12 euros diarios de material.

a) Expresa la funci´on objetivo y las restricciones del problema.

b) Representa gr´aficamente la regi´on factible y calcula los v´ertices de la misma.

c) Razona si con estas restricciones un operario puede fabricar diaria- mente una mesa y una silla, y si esto le conviene a la empresa.

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d) Resuelve el problema

Soluci´on:

a) LLamamos x al no^ de mesas e y al no^ de sillas. Las restricciones son:     

x + y ≤ 4 2 x + 3y ≤ 10 2 x + y ≤ 6 x ≥ 0 , y ≥ 0

La funci´on objetivo es: z(x, y) = 20x + 30y − 4 x − 2 y.

Los v´ertices son: (0, 10 /3), (2, 2) y (3, 0):

b) El dibujo es el siguiente:

c) El punto (1, 1) est´a dentro de la regi´on factible, por lo que si es posible que un operario fabrique una silla y una mesa en un d´ıa, pero no es en este punto en el que se obtendr´ıa un m´aximo beneficio y, por tanto, no ser´a del inter´es de la empresa.

d) z(0, 10 /3) = 100 z(2, 2) = 100 z(3, 0) = 60

Como el n´umero de sillas y mesas producidas tiene que ser un n´umero entero la soluci´on ser´ıa dos sillas y dos mesas.

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c)

S =

∫ (^2)

1

(x − 1) dx +

∫ (^3)

2

(3x − 5) dx =

[ x^2 2

− x

] 2

1

[ 3 x^2 2

− 5 x

] 3

2

= 3 u^2

Problema 1.4.3 (2 puntos) Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: P (A) = 0, 6; P (B) = 0, 2 y P (A ∪ B) = 0, 7.

a) Calcula P (A ∩ B) y razona si los sucesos A y B son independientes.

b) Calcula P (A ∪ B).

Soluci´on:

a) P (A ∪ B) = P (A ∩ B) = 1 − P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0 , 7 = 0, 3

Este resultado no es bueno, ya que siempre se tiene que cumplir que la probabilidad P (B) ≥ P (A ∩ B). (Problema de dise˜no)

Para que sean independientes P (A ∩ B) = P (A) · P (B) y con los datos que tenemos es imposible hacerlo.

b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) no se puede hacer con los datos que tenemos.

Problema 1.4.4 (2 puntos) Una variable aleatoria X tiene distribuci´on normal, siendo su desviaci´on t´ıpica igual a 3.

a) Si se consideran muestras de tama˜no 16, ¿qu´e distribuci´on sigue la variable aleatoria media muestral? b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en m´as de 1 unidad de la media de la poblaci´on, con probabilidad de 0,99, ¿cu´antos elementos, como m´ınimo, se deber´ıan tomar en la muestra?

Soluci´on:

a) Tenemos N

( μ, σ √ n

) = N

( μ,

) = N (μ; 0,75)

b) zα/ 2 = 2, 575

E = zα/ 2

σ √ n

n =⇒ n = 59, 68

Luego n = 60

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1.5. Septiembre 2000 - Opci´on A

Problema 1.5.1 (3 puntos) Una empresa desea disponer de dinero en efec- tivo en euros, d´olares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en d´olares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la d´ecima parte del dinero en euros.

Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un d´olar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, d´olares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.

Soluci´on:

LLamamos x a la cantidad de euros, y a la cantidad de d´olares y z a la cantidad de libras esterlinas. Tenemos:

  

x + 1, 1 y + 1, 5 z = 264000 x = 2, 2 y 1 , 5 z = x/ 10

  

10 x+ 11 y+ 15 z = 2640000 10 x− 22 y = 0 x− 15 z = 0

  

x = 165000 euros y = 75000 dolares z = 11000 libras

Problema 1.5.2 (3 puntos) Dada la funci´on definida en los n´umeros reales salvo en x = 0 f (x) = 3 − x −

x Calcular

a) Las coordenadas de sus m´aximos y m´ınimos relativos.

b) El ´area de la regi´on plana acotada limitada por la gr´afica de f (x) y el semieje OX.

Soluci´on:

a) f ′(x) = −1 +

x^2

= 0 =⇒ x = ±

f ′(x) − + − f (x) decreciente creciente decreciente