¡Descarga exámenes procesos estocásticos y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
2-2-
PROCESOS ESTOC ´ASTICOS
1.– Sea {Tn} una sucesi´on de variables aleatorias independientes y equidistribuidas con dis-
tribuci´on exponencial de media 1/λ, y sea {N (t)} el proceso contador que satisface que la
n-´esima llegada ocurre en el instante Sn = T 1 + · · · + Tn. Demostrar que {N (t)} es un
proceso de Poisson de intensidad λ. (2)
2.– Demostrar que toda clase recurrente es cerrada. (1,5)
3.– Un restaurante sirve dos tipos de men´us (I y II). Se sabe que los clientes del restaurante
solicitan el men´u I de acuerdo con un proceso de Poisson {N 1 (t)} de intensidad λ 1 , mientras
que el men´u II se solicita de acuerdo con un proceso de Poisson {N 2 (t)} de intensidad λ 2 e
independiente de {N 1 (t)}. Determinar la distribuci´on del n´umero de men´us de tipo II que
se sirven antes de que se sirva el k-´esimo men´u de tipo I. (2,5)
4.– Sauron es un ser maligno que necesita del poder del Anillo Unico para dominar la Tierra´
Media. En estos momentos el anillo se encuentra en poder de Frodo, un pequeo hobbit que
est´a a punto de destruir el anillo arroj´andolo a los fuegos del Monte del Destino, contando
con la ayuda de su fiel amigo Sam. Sin embargo, Gollum, una criatura atormentada tras
perder el Anillo Unico hace d´´ ecadas, est´a tratando de conseguir la ´unica cosa del mundo
que realmente le ha importado, su “tesoro”.
Analizar la situaci´on del anillo como una cadena de Markov, considerando las etapas como
d´ıas completos; es decir, la situaci´on del anillo permanecer´a estable a lo largo del d´ıa y
s´olo podr´a variar al final de la jornada. Las transiciones se realizar´an de acuerdo con las
siguientes probabilidades:
Si el anillo est´a en poder de Frodo, adem´as de poder perderlo a manos de Gollum, puede
dej´arselo durante una jornada a Sam o conseguir destruirlo. Tambi´en puede ser atacado
por los espectros del anillo, a servicio de Sauron, con lo que el anillo estar´ıa en poder del
Maligno y fracasar´ıa en su misi´on. Supondremos que estas opciones son equiprobables.
Cuando es Gollum quien posee el anillo, Sam intentar´a arrebat´arselo, lo que puede conseguir
con probabilidad 1/6. Con una probabilidad de 1/3 puede ser atacado por los espectros,
entonces el anillo pasar´a a manos de Sauron con las consecuencias que eso conlleva. Si no
ocurre ninguna de estas dos situaciones lo mantendr´a en su poder.
Por ´ultimo, si es Sam quien tiene el anillo, lo echar´a al fuego para destruirlo con probabilidad
1 /4, con esta misma probabilidad se lo puede robar Gollum; en caso contrario se lo devolver´a
a Frodo. Sam no es atacado por los espectros de Sauron.
a) Describir los estados de la cadena y clasificarlos. Dar la matriz de transici´on.
b) ¿Qu´e n´umero de medio de jornadas le quedan a la aventura? (Hasta destruir el anillo
o lo consiga Sauron). ¿Cu´antas de estos das estar´a el anillo en poder de Gollum?
c) ¿Qu´e probabilidad hay de conseguir destruir el anillo? (2)
5.– En el problema anterior supondremos que Sauron no existe y el anillo va de manos de un
personaje a otro (Frodo, Gollum y Sam), de acuerdo con la siguiente matriz de probabili-
dades de transici´on:
P =
F G S
0 1 / 2 1 / 2
0 3 / 4 1 / 4
2 / 3 1 / 3 0
.
Justificar la existencia o no de la distribuci´on estacionaria y de larga duraci´on. Determinar
e interpretar, si existen, ambas distribuciones. Si no existe la de larga duraci´on, comentar
y determinar el comportamiento asint´otico de la cadena. (2)
8 de julio de 2005
PROCESOS ESTOC ´ASTICOS
1.– Demostrar que la sucesi´on de los tiempos de espera entre llegadas en un proceso de
Poisson es un proceso de renovaciones; es decir, que forman una sucesi´on de variables
aleatorias independientes y equidistribuidas.
2.– Dar las definiciones de tiempo medio de ocupaci´on y de tiempo medio hasta la ab-
sorci´on en una cadena de Markov, ¿qu´e relaci´on existe entre los tiempos medios de
ocupaci´on de estados transitorios y el tiempo medio hasta la absorci´on?
Demostrar que los tiempos medios hasta la absorci´on verifican el sistema de ecuaciones
mi = 1 +
j∈T
pij mj (i ∈ T ).
3.– Sea {N (t)} un proceso de Poisson de intensidad λ, tal que los sucesos pueden ser de
dos tipos (tipo-I y tipo-II). Se sabe que durante el intervalo (0, 3] la probabilidad de
que un suceso que ocurre en el instante s sea de tipo-I es s/3.
a) Sea {N 1 (t)} el proceso que cuenta el n´umero de sucesos de tipo-I; deducir la
distribuci´on de N 1 (t) − N 1 (s) para todo s, t, con 0 ≤ s < t ≤ 3.
b) Dado que en el intervalo [0, 3] ha ocurrido un suceso determinar la probabilidad
de que sea de tipo-I.
4.– Una urna contiene 3 bolas que pueden ser blancas o negras, se realiza el siguiente
proceso: en cada etapa se extraen, por orden, dos bolas sin reemplazamiento, si son
de distinto color se introduce en la urna dos bolas del color de la primera; si son del
mismo color se cambian por otras dos bolas del otro color. Sea {Xn} el n´umero de
bolas blancas en la urna en la etapa n-´esima.
a) Determinar el espacio de estados y la matriz de transici´on de la cadena.
b) Si en la etapa inicial las tres bolas son blancas, calcular el n´umero medio de etapas
necesarias para que las tres bolas sean negras.
c) Justificar la existencia o no existencia de la distribuci´on estacionaria y de la
distribuci´on de larga duraci´on. Determinar e interpretar, en su caso, ambas
distribuciones. Si no existe la de larga duraci´on, comentar y determinar el com-
portamiento asint´otico de la cadena.
21 de septiembre de 2006
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
1.- Considérese un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad λ (t), y sea
λ tal que λ (t) ≤ λ para todo t. Demuestra que el proceso de Poisson no homogéneo es el
resultado de seleccionar aleatoriamente los sucesos de un proceso de Poisson (homogéneo)
de intensidad λ con probabilidad λ (t)/λ.
2.- Demuestra que la matriz fundamental, N, de una cadena Markov finita es igual al desarrollo
∞
n= 0
Q
n = I + Q + Q
2 +...
3.- Dos equipos de baloncesto (A y B) se enfrentan en un partido. Las anotaciones de ambos
siguen dos procesos de Poisson generalizados e independientes, con intensidad λ 1 = 1 y
λ 2 = 0 , 9 por minuto, respectivamente, y con probabilidades p 1 = 1 / 5 , p 2 = 3 /5 y p 3 = 1 / 5
para los dos procesos (NOTA: los procesos de Poisson simples «subyayecentes» cuentan
el número de canastas y cada canasta puede valer 1, 2 o 3 puntos con las probabilidades
anteriores).
a) Calcula el tanteo medio de cada equipo al final del partido (40 minutos).
b) Si Suponemos que a falta de un minuto el marcador se encuentra en empate a 70,
determina la probabilidad de que se mantenga el resultado hasta el final del partido y
de que el equipo B gane por 73 a 72.
4.- El capitán Jack Sparrow, Will Turner y el comodoro Norrington quieren conseguir, por
distintas razones, el legendario «Cofre del Hombre Muerto», por lo que se ven envueltos
en una lucha con espadas a tres bandas. Podemos describir la lucha como una cadena de
Markov donde los personajes intentarán herirse (eliminarse) entre ellos en cada etapa; esto
se produce con las siguientes limitaciones:
- Cuando los tres están en la lucha en la siguiente etapa se pueden dar cinco casos: puede
haber un sólo herido (son tres casos), o bien se salvan los tres, o bien se hieren los tres
entre sí (los tres estarían fuera de combate); en definitiva cinco opciones cada una con
probabilidad 1/5.
- Cuando queden dos personajes, entonces,
- Sparrow tiene una probabilidad de 2/3 de herir al otro contricante, sea quien sea
- la probabilidad de que Turner elimine a su oponente es de 1/2, también frente a
cualquier contricante;
- y el comodoro tiene unas probabilidad de 1/3 de herir a Turner y de 1/2 a Sparrow.
Las probabilidades anteriores son independientes y pueden herirse los dos en una misma
etapa).
a) Plantea la matriz de transición, descompón la cadena en clases comunicantes y clasi-
fica sus estados (ten en cuenta que hay ocho estados en total).
b) Calcula el número medio de etapas que dura la lucha.
c) ¿Qué probabilidad tiene Sparrow de vencer y llevarse el cofre?
d) Justifica la existencia o no de la distribución estacionaria y de larga duración, deter-
mínalas, en su caso. Si no existe la de larga duración, comenta y calcula el comporta-
miento asintótico de la cadena.
29 de mayo de 2006
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
1.- Sea {N(t)} (t ≥ 0 ) un proceso de Poisson y Si (i = 1 ,... , n) el tiempo de espera hasta el
i-ésimo suceso. Determinar la distribución conjunta de (S 1 ,... , Sn) dado que en un inter-
valo de tiempo ( 0 ,t] han ocurrido n sucesos. ¿A qué conocido estadístico corresponde esta
distribución?
2.- Demostrar que la matriz fundamental, N, de una cadena Markov finita tiene por elementos
los tiempos medios de ocupación de los estados transitorios.
3.- Desde cierta estación los trenes pueden salir hacia dos destinos distintos (A y B). El número
total de trenes que salen de la estación sigue un proceso de Poisson de intensidad 1 cada 5
minutos (λ = 1 /5) y el 70 % de los trenes se dirigen al destino A. Consideremos un viajero
que quiere ir al destino A, sabemos que en los 10 minutos siguientes a la llegada del viajero
a la estación ha salido sólo un tren. Determinar:
a) La probabilidad de que haya esperado menos de 4 minutos
b) La probabilidad de que tenga que esperar más de 15 minutos (incluidos los 10 primeros
en los cuales sabemos que ha salido un tren).
4.- Una cadena de Markov con estados { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } tiene como matriz de transición:
3 4
1 4 1 6
1 2
1 3
1 2
1 2 1 2
1 2
a) Descomponer la cadena en clases comunicantes y clasificar los estados.
b) Si inicialmente la cadena se encuentra en el estado 1, ¿qué probabilidad se tiene de
visitar el estado 4 antes de visitar el 5? Y, hasta que se visite uno estos dos estados,
¿qué número medio de veces volverá a visitar el estado 1?
c) Determinar e interpretar, si existen, la distribución estacionaria y de larga duración.
Justificar la existencia o no de ambas distribuciones. Si no existe la de larga duración,
comentar y determinar el comportamiento asintótico de la cadena.
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
1.– Definir el proceso de Poisson compuesto y dar un ejemplo de este proceso. Determinar la
función característica de una variable incremento del proceso. ¿Qué diferencia existe con
el proceso de Poisson generalizado?
2.– Dar las definiciones de estado recurrente positivo, estado recurrente nulo, estado transi-
torio y periodo de un estado. Demostrar que los estados de una clase comunicante son
todos del mismo tipo y tienen el mismo periodo.
3.– El número de fallos en una conexión a Internet sigue un proceso de Poisson condicio-
nado de intensidad Λ. Sabemos que Λ es una variable que puede tomar los valores:
0 , 1; 0, 2; 0, 4 y 0 , 5 (número medio de fallos por hora); cada uno con probabilidad 1 / 4.
a) Determinar la probabilidad de que en un intervalo de dos horas se produzca algún
fallo.
b) Si sabemos que durante las últimas tres horas se han producido dos fallos, determi-
nar la probabilidad de que el siguiente fallo ocurra antes de una hora.
4.– Se coloca un hámster en el laberinto que se indica:
El hámster se mueve al azar de un compartimento a otro (si hay k salidas elige una de
ellas con probabilidad 1 /k). En cada instante cambia de compartimento.
a) Determinar la matriz de transición y clasificar los estados.
b) Suponiendo que el hámster se coloca el compartimento 1 o 2 con probabilidad 1 / 2 :
- ¿Qué probabilidad hay de llegar a 5 sin pasar por 3?
- ¿Qué tiempo medio tardará en volver al compartimento donde ha comenzado?
c) Justificar la existencia o no de la distribución estacionaria y de larga duración. Si
existen, determinarlas. Si no existe la de larga duración, analizar el comportamiento
asintótico de la cadena.
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
1.– Demostrar que un proceso contador de renovaciones, {N (t)}, es un proceso de Poisson si
y solo si el proceso de tiempos de espera entre renovaciones asociado, {Tn}, es una suce-
sión de variables aleatorias equidistribuidas e independientes con distribución de Poisson.
2.– Enunciar el teorema de descomposición para cadenas de Markov. Demostrar que en una
cadena de Markov finita no pueden existir clases recurrentes nulas ni clases cerradas de
estados transitorios.
3.– Las medallas que consigue cierto pais en los Juegos Olímpicos, que se desarrollan du-
rante dos semanas consecutivas, se distribuyen de acuerdo con un Proceso de Poisson de
intensidad 1 por día en la primera semana y de 2 por día en la segunda semana de los
Juegos.
a) Si sabemos que en un día determinado se ha conseguido 3 medallas ¿cuál es la
probabilidad de que se trate de la primera semana de los juegos?
b) Si cuando se consigue una medalla la probabilidad de que sea de oro es de 1/3,
¿qué probabilidad hay de que se consiga dos medallas de oro al cabo de dos días
consecutivos?
4.– Una cadena de Markov con estados { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } tiene como matriz de transición:
P =
a) Descomponer la cadena en clases comunicantes y clasificar los estados.
b) Si inicialmente la cadena se encuentra en el estado 0 , responder a las siguientes
cuestiones:
- ¿Cuál es el número medio de etapas necesarias para llegar a un estado recurren-
te?
- ¿Qué número medios de visitas se realizará al estado 0?
- ¿Qué probabilidad se tiene de visitar el estado 1?
c) Determinar e interpretar, si existen, la distribución estacionaria y de larga duración.
Justificar la existencia o no de ambas distribuciones. Si no existe la de larga dura-
ción, comentar y determinar el comportamiento asintótico de la cadena.
2 de septiembre de 2009
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
1.- Demuestra que un proceso contador de renovaciones, {N(t)}, es un proceso de Poisson si y
solo si el proceso de tiempos de espera entre renovaciones asociado, {Tn}, es una sucesión
de variables aleatorias equidistribuidas e independientes con distribución exponencial.
2.- Dar las definiciones de estado recurrente positivo, estado recurrente nulo, estado transitorio
y periodo de un estado. Demostrar que los estados de una clase comunicante son todos del
mismo tipo y tienen el mismo periodo.
3.- El número de coches que pasan por cierta intersección, sigue un proceso de Poisson con
intensidad λ = 40 por hora durante el período diurno, y λ = 20 por hora durante el nocturno.
Sabemos, también que el 1 % de los conductores se saltan la señal de STOP.
a) Determina la probabilidad de que al menos un coche se salte la señal de STOP durante
una hora del periodo diurno.
b) Si en una hora determinada, solo un coche se ha saltado la señal de STOP, ¿que pro-
babilidad hay de que haya ocurrido en el periodo diurno? (Supondremos cada periodo
de 12 horas).
4.- Considérese una cadena de Markov con espacio de estados S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } y matriz
de probabilidades de transición dada por
P =
1 3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
1 4
1 2
1 4
1 4
1 2
1 4
1 16
1 16
1 4
1 4
1 8
1 4
a) Clasificar los estados de la cadena.
b) Suponiendo que X 0 = 4, resolver las siguientes cuestiones:
- ¿Qué probabilidad hay de volver a 4 exactamente en dos etapas?
- ¿Qué número medio de etapas tardará en llegar a un estado recurrente?
- ¿Qué número medio de etapas visitará el estado 6 antes de abandonar los estados
transitorios?
- ¿Cual es la probabilidad de visitar el estado 1? ¿Y el 0?
- Si el primer estado recurrente que se visita es el 1, ¿qué número medio de etapas
se tardará en visitar el estado 2?
c) Determinar e interpretar, si existen, la distribución estacionaria y de larga duración.
Justificar la existencia o no de ambas distribuciones. Si no existe la de larga duración,
comentar y determinar el comportamiento asintótico de la cadena.
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
1.- Demostrar que un proceso contador de renovaciones, {N(t)}, es un proceso de Poisson si y
solo si el proceso de tiempos de espera entre renovaciones asociado, {Tn}, es una sucesión
de variables aleatorias equidistribuidas e independientes con distribución exponencial.
2.- Las probabilidades de visita a un estado absorbente desde los estados transitorios verifican
un sistema de ecuaciones. a) ¿Cuál es este sistema? Demostrar que, efectivamente, estas probabilidades verifican
dicho sistema.
b) Dar una condición necesaria y suficiente para que el sistema de ecuaciones anterior
tenga solución única acotada.
3.- El número de accidentes de tráfico en una población sigue un proceso de Poisson con una
media de 1/4 por día, y el número de personas implicadas en un accidente se distribuye de
acuerdo con una distribución geométrica de parámetro 1/3 (con soporte { 1 , 2 ,.. .}), inde-
pendiente de cualquier otro suceso.
a) Sea {N(t)} el proceso que cuenta el número total de personas implicadas en acciden-
tes. Determinar la función de valor medio y el núcleo de covarianza del proceso.
b) Si al cabo de tres días sabemos que hay dos personas accidentadas, calcular la probabi-
lidad de que las dos personas procedan de un único accidente y que este haya ocurrido
el tercer día.
4.- El siguiente dibujo es un juego de mesa simple.
Salida 1 2 3 4 Llegada
En cada turno un jugador lanza una moneda y avanza uno o dos lugares dependiendo de si
sale cara o cruz; con las siguientes normas. Casilla 1: Salta a la 3 y tira de nuevo.
Casilla 2: Pierde un turno.
Casilla 4: Vuelve a la salida.
a) Analizar el juego como una cadena de Markov; esto es, describir los estados, clasifi-
carlos y dar la matriz de transición.
b) ¿Qué número medio de etapas son necesarias para llegar al final? ¿Cuántas veces, en
media, volverá a la casilla de salida? ¿Qué probabilidad tiene un jugador de llegar a la
meta sin volver a la casilla de salida?
5.- Sea una cadena de Markov con estados { 0 , 1 , 2 } y matriz de transición:
P =
Determinar e interpretar, si existen, la distribución estacionaria y de larga duración. Justifi-
car la existencia o no de ambas distribuciones. Si no existe la de larga duración, comentar y
determinar el comportamiento asintótico de la cadena.
