1
Tema 5: PROCESOS
ESTOCÁSTICOS
Carlos Alberola López
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D014
http://www.lpi.tel.uva.es/sar
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Tema 5 - Procesos Estocásticos, Apuntes de Ingeniería de Telecomunicaciones
Asignatura: Señales Aleatorias y Ruido, Profesor: Carlos Alberola Lopez, Carrera: Ingeniero Sistemas de Telecomunicación, Universidad: UVA
Tipo: Apuntes
2011/2012
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Tema 5: PROCESOS
ESTOCÁSTICOS
Carlos Alberola López
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D
[email protected], [email protected],
http://www.lpi.tel.uva.es/sar
Proceso estocástico (PE)
-^
Término sinónimo de “señal aleatoria”
-^
En este tema conectaremos los conceptos de Teoría de laProbabilidad con conceptos de Tratamiento de Señal (medianteSistemas Lineales).
-^
Las señales útiles en Telecomunicación precisan de herramientasde modelado probabilístico:•
A) Toda señal que transporta información tiene algún gradode aleatoriedad.
-^
B) Sobre toda señal deseada se superpone de forma naturalalgún tipo de señal perturbadora
-^
Se pretende disponer de alguna herramienta que caracterice lasseñales del mismo “tipo” con independencia de su contenidoconcreto.
-^
Y tener herramientas que permitan minimizar el efecto del ruido.
Concepto de Proceso Estocástico
(^
a t , X
a^1 a^
a^2
a^
Colección defuncionesdeterminísticas deltiempo (cada una deellas se denomina realización
del
proceso)
(^
) a t^
X
Colección de VAsindexadas poríndice
t
INTERPRETACIÓN 1 INTERPRETACIÓN 2
Una posible clasificación
-^
En función del índice temporal•
Proceso estocástico (PE):
-^
Secuencia aleatoria (SA):
-^
En función de que cada VA sea continua o discreta•
PE continuo
-^
PE discreto
-^
SA continua
-^
SA discreta
-^
Predecible/no predecible•
Predecible:
-^
No predecible: sin expresión analítica asociada
(^
) t
X
[^
]
n
X^ (
(^
t
N
t X
[^
]^
[ ]
(^
n
n
N
X
(^
)^
(^
t p t N
B
t X
[^
]^
[ ]
[ ]
(^
n p n N
n^
B
X
(^
)^
(^
X
t
A
t^
0
cos
Caracterización de PEs
-^
Funciones de primer orden
: caracterización de las VAs del
proceso por separado. Se requiere un único índice temporal.•
Función de distribución:
-^
Función de densidad:
-^
Funciones de segundo orden
: caracterización de
pares
de VAs
del proceso. Hacen falta dos índices para indicar sobre qué dosVAs se definen las funciones:
I
(^
) t
X
t
t^0 t^
(^
)^
(^
)
(^
) x
t
P
t x F
0
0 ;^
X
X
x
Aproximación muestral alcálculo de: (^
) 1 ,^ at X
(^
) 2 ,^ at X
(^
) 3 ,^ at X
(^
) t
X
t
t^2 t^
(^
)^
( )
(^
)
(^
) 2
2 1 1 2 1 2 1
,^
x t x t P t t x x F ≤
X
X
X^
I
x^1
Aproximación muestral alcálculo de:
t^1 t^
x^2
(^
) 1 ,^ at X
(^
) 2 ,^ at X
(^
) 3 ,^ at X
Caracterización parcial de PEs
-^
Media
-^
VCM
-^
Varianza
Caracterización parcial de PEs
-^
Correlación (Autocorrelación)
-^
Covarianza (Autocovarianza)
-^
Coeficiente de correlación
Caracterización parcial de PEs
-^
Proceso de ruido blanco (definición):•
Ruido blanco en sentido amplio: proceso constituido por VAsincorreladas:•
Si fuese una secuencia aleatoria:
-^
Ruido blanco en sentido estricto: proceso constituido por VAsindependientes (
) N ∀
Caracterización parcial de dos PEs
-^
Correlación cruzada
-^
Covarianza cruzada
Concepto de estacionariedad
-^
La estacionariedad hace referencia al mantenimiento de laspropiedades del proceso a lo largo del tiempo.
-^
Se distinguen dos sentidos:•
Sentido estricto (SSS, de
strict sense stationary
): las
propiedades de las que hablaremos se definen sobre lafunción de densidad del proceso.
-^
Sentido amplio (WSS, de
wide sense stationary):
en este
caso las propiedades se definen sobre
momentos
de la
función de densidad.
-^
Empezaremos por SSS.
t
Estacionariedad en sent. estricto
t^^1
t^^2
t^^3
t^^4
tN
L
c t^
c
t^
2
c t^
3
c
t^
4
c
t^ N
L
SSS: equidistribución de los dos gruposde VAs.