¡Descarga Problemes resolts cinematica y más Ejercicios en PDF de Ingeniería Aeroespacial solo en Docsity!
a1) Usant la fórmula/definició de l'energia potencial associada a la força conservativa que fa una molla:
en general: ∆𝐸𝐸𝑃𝑃 = 𝐸𝐸𝑃𝑃2 − 𝐸𝐸𝑃𝑃1 = −𝑊𝑊 12 (𝐹𝐹⃗)
per a una molla: ∆𝐸𝐸𝑃𝑃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ = 𝐸𝐸𝑃𝑃2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ − 𝐸𝐸𝑃𝑃1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ = −𝑊𝑊 12 �𝐹𝐹⃗ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ � = 12 𝑘𝑘(𝑥𝑥 22 − 𝑥𝑥 12 )
que es simplifica si la posició d'equilibri és definida al punt zero: 𝑥𝑥 0 = 0 i l'usem com el nostre punt final 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 0 = 0
𝑊𝑊 12 �𝐹𝐹⃗ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ � = −
N
m
(0^2 − 0.05^2 𝑚𝑚 2 ) = 0.5J
a2) Usant la definició integral del treball:
𝑊𝑊 = (^) ∫𝑟𝑟����⃗ 𝑟𝑟����⃗ 1 2 𝐹𝐹⃗ · 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ que quan es redueix a la direcció de les x val: 𝑊𝑊 = (^) ∫𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 2 𝐹𝐹𝑥𝑥 · 𝑑𝑑𝑥𝑥
sobre la força que fa la molla:
𝐹𝐹⃗ = −𝑘𝑘(𝑟𝑟⃗ − 𝑟𝑟���⃗ 0 ) que quan es redueix a la direcció de les x val: 𝐹𝐹𝑥𝑥 = −𝑘𝑘(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 )
fem-ho: : 𝑊𝑊 = (^) ∫𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 2 𝐹𝐹𝑥𝑥 · 𝑑𝑑𝑥𝑥= (^) ∫𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 2 −𝑘𝑘(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) · 𝑑𝑑𝑥𝑥
//// Incís important: (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) ≠ (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ) = ∆𝑥𝑥 en general,
perquè 𝑥𝑥 0 és sempre una quantitat fixa, que depèn de a on definim la posició d'equilibri de la molla, mentre que ∆𝑥𝑥 representa els extrems d'integració, que no han d'incloure forçosament la posició d'equilibri,
Per tant, NO podem escriure 𝐹𝐹𝑥𝑥 = −𝑘𝑘(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) = −𝑘𝑘∆𝑥𝑥
i molt menys dur-ho al límit i escriure 𝐹𝐹𝑥𝑥 = −𝑘𝑘 · 𝑑𝑑𝑥𝑥 ///////
Treball del punt 1 al punt 2: 𝑊𝑊 12 = ∫𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 2 𝐹𝐹𝑥𝑥 · 𝑑𝑑𝑥𝑥= ∫𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 2 −𝑘𝑘(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) · 𝑑𝑑𝑥𝑥= �− 𝑘𝑘𝑥𝑥^
2 2 +^ 𝑘𝑘^ ·^ 𝑥𝑥^ ·^ 𝑥𝑥^0 �^ 𝑥𝑥 1
𝑥𝑥 (^2)
He fet l'integral i he deixat el terme que depèn de 𝑥𝑥 0 perquè sigueu conscients de la implicació de la posició d'equilibri sobre el treball de la molla. Aquesta expressió és pot simplificar si elegim 𝑥𝑥 0 = 0, com es fa en aquest exercici, i és una bona pràctica en general.
𝑊𝑊 12 = �− 𝑘𝑘𝑥𝑥^
2 2 +^ 𝑘𝑘^ ·^ 𝑥𝑥^ ·^ 𝑥𝑥^0 �^ 𝑥𝑥 (^1)
𝑥𝑥 (^2) = �− 𝑘𝑘𝑥𝑥^
2 2 �^ 𝑥𝑥 1 =−5 cm
𝑥𝑥 2 = =− (^4002) m^ N (0 − (−0.05 m)^2 ) = 0.5 J
a3) Àrea sota la corva F=F(x)
b) Quan val la velocitat al punt 2?
al punt 1 (𝑥𝑥 1 = −5 cm): 𝐸𝐸 1 = 𝐸𝐸 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ + 𝐸𝐸 1 𝑐𝑐^ = 12 𝑘𝑘𝑥𝑥 12 + 12 𝑚𝑚𝑣𝑣 12 = 12 𝑘𝑘𝑥𝑥 12 + 0
al punt 2(𝑥𝑥 2 = 0 cm): 𝐸𝐸 2 = 𝐸𝐸 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ + 𝐸𝐸 2 𝑐𝑐^ = 12 𝑘𝑘𝑥𝑥 22 + 12 𝑚𝑚𝑣𝑣 22 = 0 + 12 𝑚𝑚𝑣𝑣 22
Com no hi ha fregament l'energia total es conserva:
∆𝐸𝐸𝑡𝑡𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑊𝑊𝑁𝑁𝑚𝑚𝑁𝑁𝑚𝑚𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑁𝑁𝑚𝑚𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 0 = 𝐸𝐸 1 − 𝐸𝐸 2 → 𝐸𝐸 1 = 𝐸𝐸 2
I substituint el valor de les energies que hem trobat abans:
2 𝑘𝑘𝑥𝑥^1
2 =^1
2 𝑚𝑚𝑣𝑣^2
2 → 𝑣𝑣 22 = 𝑘𝑘𝑥𝑥^1
2 𝑚𝑚 → 𝑣𝑣^2 =^
�𝑘𝑘𝑥𝑥^1
2 𝑚𝑚 =^ 𝑥𝑥^1
𝑚𝑚 = 0.05 m ·^
400Kg sm 2 /m 4Kg = 0.
m s
c) Quan val la velocitat al punt 3?
al punt 3(𝑥𝑥 3 = 3 cm): 𝐸𝐸 3 = 𝐸𝐸 3 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ + 𝐸𝐸 3 𝑐𝑐^ = 12 𝑘𝑘𝑥𝑥 32 + 12 𝑚𝑚𝑣𝑣 32
Com no hi ha fregament l'energia total es conserva:
∆𝐸𝐸𝑡𝑡𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑊𝑊𝑁𝑁𝑚𝑚𝑁𝑁𝑚𝑚𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑁𝑁𝑚𝑚𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 0 = 𝐸𝐸 1 − 𝐸𝐸 3 → 𝐸𝐸 1 = 𝐸𝐸 3
-5 -4 -3 -2 -1 (^1 2 3 4 )
x
500
1000
1500
2000
F(x)
𝑥𝑥 0 = 0
𝑊𝑊𝐹𝐹^ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑟𝑟^ = � 𝐹𝐹𝑟𝑟𝐴𝐴𝐴𝐴^ 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
𝐴𝐴 𝐴𝐴
� −𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚 cos 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
𝐴𝐴 𝐴𝐴
− 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚 cos 𝛼𝛼 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚 cos 𝛼𝛼
𝐴𝐴 𝐴𝐴
/// La distància 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 es troba geomètricament sabent que: sin 𝛼𝛼 = (^) 𝑑𝑑ℎ (^) 𝐴𝐴𝐴𝐴→ 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 = (^) sin 𝛼𝛼ℎ ///
𝑊𝑊𝐹𝐹^ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑟𝑟^ = −𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚 cos 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 = −𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚 cos 𝛼𝛼 (^) sin 𝛼𝛼ℎ = −𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚 (^) tan 𝛼𝛼ℎ
Recuperant la equació 2, podem avaluar quan val l'energia en B:
∆𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 − 𝐸𝐸𝐴𝐴 = 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑟𝑟 = −𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ
→ 𝐸𝐸𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 − 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚 (^) tan 𝛼𝛼ℎ = 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ − 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚 (^) tan 𝛼𝛼ℎ = (1 − (^) tan 𝛼𝛼𝜇𝜇 )𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ
A on hem usat l'equació (1) que hem deduït abans: 𝐸𝐸𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ
𝐸𝐸𝐴𝐴 = �1-
tan 45º�^ ·0.6 Kg·9.
m s 2 ·2.5 m=10.29 J
- Bucle BCDEB: Com no hi han forces no conservatives actuant sobre el bloc l'Energia en B es conserva,
- Trajecte de B a F, tornem a aplicar la conservació d'energies i el treball de les forces no conservatives: ∆𝐸𝐸𝐴𝐴𝐹𝐹 = 𝑊𝑊𝐹𝐹^ 𝐴𝐴𝐹𝐹𝑟𝑟
Ha canviat el valor de la normal, perquè la superfície ja no és inclinada.
A l'eix y no hi acceleració:
� 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑦𝑦 = 0 = 𝑁𝑁 − 𝑃𝑃 → 𝑁𝑁 = 𝑃𝑃
𝐹𝐹𝑟𝑟^ 𝐴𝐴𝐹𝐹^ = −𝜇𝜇𝑁𝑁 = −𝜇𝜇 𝑃𝑃 = −𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑊𝑊𝐹𝐹^ 𝐴𝐴𝐹𝐹𝑟𝑟^ = � 𝐹𝐹𝑟𝑟^ 𝐴𝐴𝐹𝐹^ 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
𝐹𝐹 𝐴𝐴
𝐹𝐹 𝐴𝐴
𝐹𝐹 𝐴𝐴
∆𝐸𝐸𝐴𝐴𝐹𝐹 = 𝐸𝐸𝐹𝐹 − 𝐸𝐸𝐴𝐴 = 𝑊𝑊𝐹𝐹^ 𝐴𝐴𝐹𝐹𝑟𝑟
→ 𝐸𝐸𝐹𝐹 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 + 𝑊𝑊𝐹𝐹^ 𝐴𝐴𝐹𝐹𝑟𝑟^ = 𝐸𝐸𝐴𝐴 − 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝐴𝐴𝐹𝐹 → 𝐸𝐸𝐹𝐹=10.29 J-0.3·0.6 Kg·9. m s 2 ·0.6 m=9.2316 J
Quan el bloc arriba a la molla, punt F:
- tota la energia és en forma d'energia cinètica, ja que l'alçada a F és 0 i anul·la la Energia Potencial del Pes , com veure'm al pròxim apartat.
- La molla està en equilibri, sense comprimir Podem escriure que:
al punt F: 𝐸𝐸𝐹𝐹 = 𝐸𝐸𝐹𝐹𝑐𝑐𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑁𝑁𝑐𝑐𝑚𝑚^ + 𝐸𝐸𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ = 𝐸𝐸𝐹𝐹𝑐𝑐𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑁𝑁𝑐𝑐𝑚𝑚
Quan el bloc arriba al punt G ja no avança més: el treball fet pel bloc sobre la molla ha anat comprimint-la progressivament fins que no queda més energia cinètica, o en altres paraules, el bloc no es mou més i la velocitat al punt G val 0.
al punt G: 𝐸𝐸𝐺𝐺 = 𝐸𝐸𝐺𝐺𝑐𝑐𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑁𝑁𝑐𝑐𝑚𝑚^ + 𝐸𝐸𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ = 𝐸𝐸𝐺𝐺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
Aplicant el teorema de conservació de l'energia potencial:
∆𝐸𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝑊𝑊𝑁𝑁𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑚𝑚𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑟𝑟𝑁𝑁𝑚𝑚𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 0 perquè durant la compressió de la molla l'enunciat diu que no hi ha fregament.
∆𝐸𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝐸𝐸𝐹𝐹 − 𝐸𝐸𝐺𝐺 = 0 → 𝐸𝐸𝐺𝐺 = 𝐸𝐸𝐹𝐹 = 9.2316 J
2 · 9.2316 J
500 N/m = 0.1922 m
b) Velocitat a C? Velocitat a D? Força N a C i a D?
Podem trobar-ho a partir de l'energia a C
L'energia a C es pot trobar a partir de l'energia en B:
∆𝐸𝐸𝐴𝐴𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝐹𝐹^ 𝐴𝐴𝑁𝑁𝑟𝑟^ = 0 perquè l'enunciat diu que no hi ha fregament al trajecte entre B i C.
per tant: 𝐸𝐸𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝑁𝑁 (3)
al punt B tota l'energia és energia cinètica:
𝐸𝐸𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝐴𝐴^ 𝑐𝑐𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑁𝑁𝑐𝑐𝑚𝑚^ + 𝐸𝐸𝐴𝐴^ 𝑝𝑝𝑁𝑁𝑁𝑁^ = 12 𝑚𝑚𝑣𝑣𝐴𝐴^2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 · ℎ𝐴𝐴 = 12 𝑚𝑚𝑣𝑣𝐴𝐴^2
ℎ𝐴𝐴 = 0
Al punt C, però ens trobem a una alçada ℎ𝑐𝑐 = 𝑅𝑅 i per tant part de l'energia cinètica s'haurà transformat en energia potencial: Usem (3)
𝐸𝐸𝑁𝑁 = 𝐸𝐸𝑁𝑁^ 𝑐𝑐𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑡𝑡𝑁𝑁𝑐𝑐𝑚𝑚^ + 𝐸𝐸𝑁𝑁^ 𝑝𝑝𝑁𝑁𝑁𝑁^ =
𝑚𝑚 =^
2·(10.29 Kg ms 2 m-0.6Kg·9.8 ms 2 0.5 m) 0.6 Kg =^
�24.5 m^
2 s 2 = 4.
m s
Al punt D, l' alçada és ℎ𝐷𝐷 = 2𝑅𝑅
𝑚𝑚 =^
2·(10.29 Kg ms 2 m-0.6Kg·9.8 ms 2 1 m) 0.6 Kg =^
�14.7 m^
2 s 2 = 3.
m s
Per a trobar les normals aplicarem la segona llei de Newton als punts C i D,
