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Clase de dudas : Primitivas.
x − 1
dx = 2x
3 / 2
2 x 5 / 2
− x −
3 x 2
+ C.
x −
x
dx =
x
4
6 x
5 / 2
x
+ C.
cotg x dx = ln | sin x| + C.
3 x
2 x 2
dx =
ln(2x
2
x + 1
x^2 + 2x
dx =
ln |x
2
x
3
x 2
dx =
x
2
+ C.
sin
3 x dx =
cos
3 x − cos x + C.
sin x ln | cos x| dx = cos x − cos x ln | cos x| + C.
sin
4 x dx =
(12x − 8 sin 2x + sin 4x) + C.
x 2 − 5
dx =
ln
x −
x +
+ C.
x − 7
x 2
dx =
ln
x
2
arctg
x √ 5
+ C.
(3x − 2)(x 2
x − 4
dx = x
x
2
x 2
dx = ln
∣x +
x 2
∣ + C.
3 x − 7
x 2 − 3 x + 2
dx = 4 ln |x − 1 | − ln |x − 2 | + C.
5 x
x 2
dx =
ln
x
2
arctg
2 x + 1 √ 7
+ C.
x
2 − 5 x + 1
(x + 3)(x − 1)^2
dx =
x − 1
− 9 ln |x − 1 | + 25 ln |x + 3|
+ C.
x
5
4 − x
2
(x + 1)(x − 2) 2 dx =
2 x
3
2
x − 2
- 236 ln |x − 2 | + 4 ln |1 + x|
+ C.
(sin x − cos x)
2 dx = x +
cos 2x + C.
x 2
dx =
arctg
x √ 7
+ C.
( arctg x)
3
x 2
dx =
( arctg x)
4
2 x + 3
(x − 1)
2
dx =
arctg
x − 1
2 − 2 x + 5| + C.
x + 3
x 2 − 2 x + 2
dx =
ln |x
2 − 2 x + 2| + 4 arctg (x − 1) + C.
∫ π 4
π 8
cos^2
2 x −
π 2
) (^) dx =
tg(2x −
π
] π 4
π 8
cotg 2x
] π 4
π 8
3
0
(3x − 1)
2
dx =
arctg (3x − 1)
] 1
3
0
π
arccos 2 x dx = x arccos 2 x −
1 − 4 x 2
x arctg x dx =
x
2
arctg x − x
+ C.
x
2
1 − x dx = − 2
(1 − x)
1 / 3 −
(1 − x)
5 / 2
(1 − x)
7 / 2
+ C
tg
3 x − 2 tg x + 3
cos 2 x
dx =
tg
4 x − tg
2 x + 3 tg x + C.
sin 2x
5 + 4 cos x
dx =
cos x +
ln |5 + 4 cos x| + C.
sin
2 x dx =
x
sin 2x + C
cos
2 x dx =
x
sin 2x + C
e
x cos e
x dx = sin e
x
x
2 x
2
3 dx =
2 x
2
3
x
3
2 − 4
x 2
dx =
x
2
x
+ C
sin
2 x cos x dx =
sin
3 x + C
ln x
x
dx =
(ln x)
2
+ C
x
1 + x 4
dx =
arctg x
2
x
2 ln x dx =
x
3
ln x −
x
3
+ C
x cos x dx = x sin x + cos x + C
x
3
(x − 1)(x + 3)
dx = − 2 x +
x
2
ln |x − 1 | +
ln |x + 3| + C
5 x − 1
x 2 − 9
dx =
ln |x − 3 | +
ln |x + 3| + C
Pistas.
- Operar.
- Operar.
- Poner la cotangente como coseno dividido por seno y darse cuenta que la derivada de sin x es cos x.
- Obtener en el numerador la derivada del denominador.
- Igual.
- Obtener en el numerador la derivada de x
2
- Para integrar un seno elevado a una potencia impar hacer el cambio t = cos x
- Cambio cos x = t y después por partes.
- Para integrar un seno elevado a una potencia par usar fórmula trigonométrica sin
2 x =
1 −cos 2x 2
- Función racional con raices reales ±
5 simples en el denominador.
- Función racional con raices complejas simples en el denominador.
- Función racional con el grado del númerador mayor que el del denominador, luego antes de descom-
poner en fracciones simples debo dividir.
- Usando el formulario (13).
- Función racional con raices reales 1 , 2 simples.
- Función racional con raices complejas. Notar que x
2
2
- Función racional con raices reales − 3 , 1 , pero una de ellas, el 1 , es doble.
- Idem, primero dividir y el denominador con raices reales − 1 , 2 , el 2 , es doble.
- Operar y recordar que sin
2 x + cos
2 x = 1 y que sin 2x = 2 sin x cos x.
- Inmediata, por el formulario (11).
- Fácil dado que la derivada de arctg x es 1 /(1 + x
2 ).
- Función racional con raices complejas.
- Idem. Notar que x 2 − 2 x + 2 = (x − 1) 2 + 1.
- Inmediato aplicando la regla de Barrow.
- Idem.
- Por partes u = arccos 2x , dv = dx.
- Por partes u = arctg 2x , dv = xdx.
- Cambio t 2 = 1 − x , 2 tdt = −dx.
- Cambio t = tg x , dt = dx/ cos
2 x.
- Fórmula sin 2x = 2 sin x cos x y cambio t = cos x , dt = − sin xdx.
- Para integrar un seno elevado a una potencia par usar la fórmula sin
2 x =
1 −cos 2x 2
- Para integrar un coseno elevado a una potencia par usar la fórmula cos
2 x =
1+cos 2x 2
- Inmediata t = e
x .
- Cambio t = 2x 2
- Dividir.
- Inmediata t = sin x.
- Cambio t = ln x.
- Cambio t = x
2 .
- Por partes u = ln x, dv = x 2 dx.
- Por partes u = x, dv = cos xdx.
- Racional con raices reales simples pero el grado del numerador es mayor que el del denominador.
- Racional con raices reales simples.
- Racional con grado del numerador mayor y el denominador con una raiz real y dos complejas.
- Multiplicar y dividir por e x y haciendo el cambio t = e x pasaremos a una racional con raices reales
simples.
- Cambio t
2 = 1 − x
2 .
- Por partes u = (ln x)
2 , dv = 2dx.
- Por partes u = x, dv = (1 + x) 1 / 2 .
- Por partes u = e
x , dv = sin 2xdx y cíclica.
- Racional con raices reales simples − 3 , 0 , 2.
- Racional con raices complejas (x 2
- Racional con raices reales ± 1 dobles.
- Racional con una raíz real − 1 y las otras complejas. Notad que x 2 − x + 1 = (x − 1 /2) 2 + 3/ 4.
- Multiplicar y dividir por (sin x − 1) y tener en cuenta que sin
2 x + cos
2 x = 1.
- Cambio x = a tg t.
- Cambio x = a sin t.
- Cambio t = cos x.
- Cambio t = tg(x/2), con este cambio se llega a una integral de la función
2(1 − 6 t 2
((9 + t 2 )(1 + t 2 ) 2 )
es decir, una función racional con raices complejas en el denominador. Como una de ellas es multiple,
la descomposición
2(1 − 6 t
2
4 )
(9 + t 2 )(1 + t 2 ) 2
At + B
(1 + t 2 ) 2
Ct + D
(1 + t 2 )
Et + F
(9 + t 2 )
(1 + t 2 ) 2
(1 + t 2 )
(9 + t 2 )
Y teniendo en cuenta que ∫ 2 dt
(1 + t 2 ) 2
t
(1 + t 2 )
dt
(1 + t 2 )
podemos obtener el resultado.
- Cambio x = 6/ cos t.
- Cambio x = 4 sin t.
