Geologia
Exercicis de Matem`atiques Curs 2008 - 2009
Tema 1 - `
Algebra lineal (diagonalitzaci´o)
Notaci´o: el producte vectorial de dos vectors s’escriu de formes diferents. A classe l’heu vist com v∧w
o com v×w, en aquesta llista de problemes posarem v×w. En alguns llibres tamb´e el trobareu escrit
com [v,w].
1. Si u=−i+ 2k,v= 2i+j−k,w=i+ 2j+ 2k. Calcular en funci´o de i,j,k:
a) u×vb) v×wc) u×(w×u)
d) (u×w)×ve) (u+v)×(u−w) f) (u×v)×(u×w)
2. En cada cas utilitzeu el producte vectorial per calcular l’`area del triangle de v`ertexs A,B,C:
a) A= (0,2,2) B= (2,0,1) C= (3,4,0)
b) A= (−2,3,1) B= (1,−3,4) C= (1,2,1).
3. a) Calculeu tots els vectors (a, b, c) que satisfan la relaci´o
(a, b, c)·(0,0,1) ×(6,3,4)= 3
b) Calculeu el vector (a, b, c) de menor longitud que satisf`a a).
4. Donada una base {v1, v2, v3}(vectors primitius) els vectors {w1, w2, w3}donats per w1=v2×v3/(v1·
(v2×v3)), w2=v3×v1/(v2·(v3×v1)) i w3=v1×v2/(v3·(v1×v2)) s’anomena xarxa rec´ıproca
(reciprocal lattice). Trobeu i dibuixeu la xarxa rec´ıproca de la base {(1,0,0),(1,1,1),(1,0,1)}.
5. Donades les matrius quadrades seg¨uents, calculeu M2,M3,M4:
(a) 1 2
3 4(b) −1 0
0 4(c) 1 1
−2−2(d) 0 3
2 0(e) 0.2 0.7
0.8 0.3
6. Diagonalitzeu, si ´es possible, la matriu
5−3 2
6−4 4
4−4 5
.
7. Trobeu els valors propis i vectors propis de la matriu A=1 2
4 3. Quant val A55 6
−6?
8. Trobeu l’expressi´o general de Anper les seg¨uents matrius:
(a) A=1 0
−4−1(b) A=−1−6
1 4 (c) A=0.6 0.3
0.4 0.7.
9. Un estudi geol`ogic sobre l’evoluci´o de la pedra i la sorra en per´ıodes de 100 anys mostra el seg¨uent:
el 70% del que era pedra despr´es de 100 anys seguir`a sent pedra i sols el 10% del que era sorra
esdevindr`a pedra. En aquest cas la matriu de transici´o ´es M=.7.1
.3.9.
(a) Doneu una f`ormula per calcular la quantitat de pedra i sorra que hi haur`a despr´es de kper´ıodes.
Utilitzeu aquesta f`ormula per calcular les quantitats de p edra i sorra que hi haur`a despr´es de
800 anys si inicialment hi havia 30 tones de pedra i 70 de sorra.
