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Todas las teorias sobre angulos
Tipo: Apuntes
2020/2021
1 / 30
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ÁNGULOS
CONTENIDO DE LA CLASE:
Definición y elementos
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
ÁNGULO
Clasificación: según sus magnitud, según su posición
Posiciones relativas entre dos rectas en el plano
Ángulos entre paralelas
Clasificación: ángulos complementarios y suplementarios
DEFINICIONES BÁSICAS
A
O
B
ELEMENTOS
NOTACIÓN
LADOS
VÉRTICE 𝑂
NOTACIÓN:
I. ÁNGULO: Se denomina ángulo plano a la porción de plano comprendida entre dos rayos con
un origen común conocido como vértice.
II. MEDIDA DE UN ÁNGULO:
A
O
B
SEXAGESIMALES
RADIANES
DEFINICIONES BÁSICAS
IV. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
O
A
B
x
𝑂𝑋: bisectriz de ∠𝐴𝑂𝐵
P
Si 𝑃 ∈ 𝑂𝑋,
M
N
DEFINICIONES BÁSICAS
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
O
O
NULO
CONVEXO
O
LLANO
𝑂𝐴 𝑦 𝑂𝐵 son rayos
opuestos.
AGUDO
O
RECTO
O
OBTUSO
0° < 𝛼 < 90°
𝛼 = 90°
90° < 𝛼 < 180°
𝛼 = 0°
𝛼 = 180°
0° < 𝛼 < 180°
B A
I. SEGÚN SU MAGNITUD:
II. SEGÚN SU POSICIÓN:
O
ÁNGULOS
CONSECUTIVOS
O
ÁNGULOS
ADYACENTES
ÁNGULOS OPUESTOS POR
EL VÉRTICE
O
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
Ejemplos:
Complemento de 50 °
50 °
Complemento de 70 ° = 𝐶
70 °
Complemento del complemento de 40 °
50 °
Complemento de 𝛼 = 𝐶 = 90 ° − 𝛼
𝛼
40 °
III. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
EJEMPLOS
Solución:
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠: 𝛼 y 𝛽
- Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto y otro ángulo mide los 5 / 9 de la
medida de un ángulo llano. Determina el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos.
𝛼 =
1
6
(90°)
= 15°
𝛽 =
5
9
(180°)
= 100°
Piden: 𝑆(𝛼 + 𝛽)
= 𝑆( 15 ° + 100°)
= 𝑆( 115 ° )
= 180° − 115° = 65°
- Se tienen los ángulos adyacentes ∠𝐴𝑂𝐵 y ∠𝐵𝑂𝐶 cuyas bisectrices son 𝑂𝑀 y 𝑂𝑁, respectivamente. Si
∠𝐴𝑂𝐵= 140 °, halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de ∠𝐴𝑂𝑀 y ∠𝑁𝑂𝐶.
Solución:
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂
𝑁
𝛼
𝛼
𝑀
𝛽
𝛽
= 70°
= 70°
= 20°
𝐷
35°
35°
𝐸
1 0°
1 0°
- ∠𝐷𝑂𝐸 = 35° + 70° + 20° + 10° = 135°
Solución:
- Se tienen dos ángulos adyacentes cuyas medidas se diferencian en 40 °. Calcula la medida del ángulo
formado por el lado común y la bisectriz del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos
dados.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂
𝑁
𝑀
55°
55°
35°
- 𝛼 y 𝛽: ángulos adyacentes → 𝛼 + 𝛽 = 180°
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝛼 − 𝛽 = 40° ⟶ 𝛼 = 110° 𝑦 𝛽 = 70°
𝑃
4 5° 𝑥
45° + 𝑥 = 55°
= 70°
𝑥 = 10°
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
RECTAS PARALELAS RECTAS SECANTES
OBLICUAS
PERPENDICULARES
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE
1
2
Alternos internos
Alternos externos
Conjugados internos
Conjugados externos
Correspondientes
1
2