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Explciacionde el escenario 3 de algebra
Tipo: Apuntes
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Palabras clave: teoremas de la conjunci´on, teoremas de la disyunci´on, teoremas de la implicaci´on, axioma de Leibniz
Continuando con el desarrollo del sistema l´ogico formal presentado en el Escenario 2, en esta lectura se exponen los axiomas y principales teoremas relacionados con los operadores booleanos de la conjunci´on, disyunci´on e implicaci´on. El estudiante debe tener presente los axiomas y teoremas expuestos en la lectura del Escenario anterior.
Recordatorio: las letras A, B, C,... representan expresiones booelanas.
Para el operador disyunci´on ∨, que tiene mayor precedencia que la equivalencia y discrepancia, se tienen los siguientes axiomas:
Axiomas de la disyunci´on
Axioma de la conmutatividad de ∨: A ∨ B ≡ B ∨ A (1) Axioma de la asociatividad de ∨: (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) (2) Axioma de la idempotencia de ∨: A ∨ A ≡ A (3) Axioma de la distributividad de ∨ sobre ≡: A ∨ (B ≡ C) ≡ (A ∨ B) ≡ (A ∨ C) (4) Axioma del tercio excluido: A ∨ ¬A ≡ true (5)
El axioma del tercio excluido introduce en el sistema formal la idea que para una expresi´on booleana A o ella es verdadera o su negaci´on, pero no hay otra opci´on. A continuaci´on, se presentan algunos teoremas de este operador:
Teorema 1 (Anulador del operador ∨). A ∨ true ≡ true
Demostraci´on.
A ∨ true ≡ 〈Axioma identidad del operador ≡〉 A ∨ (A ≡ A) ≡ 〈Axioma de la distributividad de ∨ sobre ≡, 4〉 (A ∨ A) ≡ (A ∨ A) ≡ 〈Axioma identidad del operador ≡〉 true
Teorema 2 (Neutro del operador ∨). A ∨ false ≡ A
A partir de este axioma se desarrollan los teoremas relacionados con la conjunci´on y otros operadores. Es importante tener presentes las diferentes variantes de este axioma.
Teorema 5 (Conmutatividad de la ∧). A ∧ B ≡ B ∧ A
Demostraci´on.
A ∧ B ≡ 〈Regla de oro: 6〉 A ∨ B ≡ A ≡ B ≡ 〈Axioma conmutatividad de la ∨ (1) y axioma de simetr´ıa de la ≡〉 B ∨ A ≡ B ≡ A ≡ 〈Regla de oro: 6〉 B ∧ A
Teorema 6 (Idempotencia de la ∧). A ∧ A ≡ A
Demostraci´on.
A ∧ A ≡ 〈Regla de oro: 6〉 A ∨ A ≡ A ≡ A ≡ 〈Axioma de la idempotencia de ∨ (3) y axioma de identidad de la ≡〉 A ≡ true ≡ 〈Axioma de identidad de la ≡〉 A
En los dos teoremas anteriores, el estudiante puede notar la siguiente estrategia para demostrar una propiedad de la conjunci´on:
reescribir el operador ∧ en t´erminos de otros operadores a trav´es de la regla de oro (6) y luego utilizar los teoremas de estos operadores.
Esta estrategia se aplicar´a cuando un operador esta definido a trav´es de otros operadores sobre los cuales existen teoremas ya demostrados.
La demostraci´on del siguiente teorema requiere mucha atenci´on por parte del estudiante, si encuentra otra versi´on m´as c´omoda se invita a exponerla a sus compa˜neros del m´odulo.
Teorema 7 (Asociatividad de la ∧). A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C
Demostraci´on.
A ∧ (B ∧ C) ≡ 〈Regla de oro 6〉 A ∧ (B ∨ C ≡ B ≡ C) ≡ 〈Regla de oro 6〉 A ∨ (B ∨ C ≡ B ≡ C) ≡ A ≡ (B ∨ C ≡ B ≡ C) ≡ 〈Axioma de distributividad de la ∨ sobre la ≡ (4) ≡〉 A ∨ B ∨ C ≡ A ∨ B ≡ A ∨ C ≡ A ≡ (B ∨ C ≡ B ≡ C) ≡ 〈Axioma de asociatividad y simetr´ıa de la ≡〉 A ∨ B ∨ C ≡ A ∨ C ≡ B ∨ C ≡ A ∨ B ≡ A ≡ B ≡ C ≡ 〈Axioma de distributividad de la ∨ sobre la ≡ 〉 C ∨ (A ∨ B ≡ A ≡ B) ≡ A ∨ B ≡ A ≡ B ≡ C ≡ 〈Asociatividad de la ≡〉 C ∨ (A ∨ B ≡ A ≡ B) ≡ (A ∨ B ≡ A ≡ B) ≡ C ≡ 〈Regla de oro 6〉 C ∧ (A ∨ B ≡ A ≡ B) ≡ 〈Regla de oro 6〉 C ∧ (A ∧ B) ≡ 〈Conmutatividad de ∧ (5)〉 (A ∧ B) ∧ C
En la demostraci´on anterior, para indicar al estudiante sobre que operador o subexpresi´on se est´a aplicando un teorema se sombre´o con gris.
Teorema 8 (Neutro del operador ∧). A ∧ true ≡ A
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Teorema 9 (Anulador del operador ∧). A ∧ false ≡ false
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Teorema 10 (Contradicci´on). A ∧ ¬A ≡ false
expresi´on. Es necesario no olvidar la estructura de este teorema y evitar confundirlo con el axioma de distribuci´on de ∨ sobre ≡.
Teorema 12 (Distribuci´on de ∧ sobre ∨). A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
Demostraci´on.
(A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ≡ 〈Regla de oro: 6〉 (A ∧ B) ∧ (A ∧ C) ≡ A ∧ B ≡ A ∧ C ≡ 〈Asociatividad de ∧: (7)〉 A ∧ B ∧ A ∧ C ≡ A ∧ B ≡ A ∧ C ≡ 〈Idempotencia y conmutatividad de ∧: (5), (6)〉 A ∧ B ∧ C ≡ A ∧ B ≡ A ∧ C ≡ 〈Seudo-distribuci´on de ∧ sobre ≡〉 A ∧ (B ∧ C ≡ B) ≡ A ≡ A ∧ C ≡ 〈Simetr´ıa de la ≡〉 A ∧ (B ∧ C ≡ B) ≡ A ∧ C ≡ A ≡ 〈Seudo-distribuci´on de ∧ sobre ≡〉 A ∧ (B ∧ C ≡ B ≡ C) ≡ A ≡ A ≡ 〈Regla de oro: 6〉 A ∧ (B ∨ C) ≡ A ≡ A ≡ 〈Axioma de identidad de la ≡〉 A ∧ (B ∨ C) ≡ true ≡ 〈Axioma de identidad de la ≡〉 A ∧ (B ∨ C)
En la demostraci´on del teorema anterior se transform´o la expresi´on m´as compleja en la expresi´on m´as sencilla de la equivalencia.
Teorema 13 (Distribuci´on de ∨ sobre ∧). A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Los siguientes teoremas exponen una relaci´on directa entre los operadores de conjunci´on y disyunci´on.
Teorema 14 (De Morgan). ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
Demostraci´on.
¬(A ∧ B) ≡ 〈Regla de oro: 6〉 ¬(A ∨ B ≡ A ≡ B) ≡ 〈Axioma distribuci´on ¬ sobre ≡ 〉 A ∨ B ≡ ¬A ≡ B ≡ 〈Simetr´ıa de la ≡〉 A ∨ B ≡ B ≡ ¬A ≡ 〈Teorema 4〉 ¬A ∨ B ≡ ¬A ≡ 〈Teorema 4〉 ¬A ∨ ¬B
Teorema 15 (De Morgan). ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Teorema 16 (Absorci´on). A ∧ (A ∨ B) ≡ A
Demostraci´on.
A ∧ (A ∨ B) ≡ 〈Regla de oro: 6〉 A ∨ (A ∨ B) ≡ A ≡ A ∨ B ≡ 〈Asociatividad de ∨ 2 〉 (A ∨ A) ∨ B ≡ A ≡ A ∨ B ≡ 〈Idempotencia de ∨ : 3〉 A ∨ B ≡ A ≡ A ∨ B ≡ 〈Simetr´ıa y axioma de identidad de la ≡〉 A ≡ true ≡ 〈Axioma de identidad de la ≡〉 A
Teorema 17 (Absorci´on). A ∨ (A ∧ B) ≡ A
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Teorema 18 (Absorci´on). A ∧ (¬A ∨ B) ≡ A ∧ B
Axioma de la implicaci´on
Axioma definici´on de la implicaci´on: A → B ≡ A ∨ B ≡ B (7)
El primer teorema que se presenta brinda una definici´on alternativa de la implicaci´on, es la relaci´on que se usa en la mayor´ıa de textos de c´alculo proposicional.
Teorema 25 (Definici´on alternativa de la implicaci´on). A → B ≡ ¬A ∨ B
Demostraci´on.
A → B ≡ 〈Axioma definici´on de la →: 7〉 A ∨ B ≡ B ≡ 〈Simetr´ıa de la ≡ y teorema: 4〉 ¬A ∨ B
Teorema 26 (Definici´on alternativa de la implicaci´on). A → B ≡ A ∧ B ≡ A
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Teorema 27 (Contrapositiva). A → B ≡ ¬B → ¬A
Demostraci´on.
A → B ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: 25〉 ¬A ∨ B ≡ 〈Axioma de la conmutatividad de la ∨: 1〉 B ∨ ¬A ≡ 〈Teorema de la doble negaci´on: ¬(¬B) ≡ B〉 ¬(¬B) ∨ ¬A ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: 25〉 ¬B → ¬A
Los siguientes teoremas muestran propiedades de la implicaci´on. Lo que ser´a ´util en la demostraci´on de teoremas que contengan este operador.
Teorema 28 (Distributividad de la implicaci´on sobre la equivalencia). A → (B ≡ C) ≡ A → B ≡ A → C
Demostraci´on.
A → (B ≡ C) ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: 25〉 ¬A ∨ (B ≡ C) ≡ 〈Axioma distributividad de la ∨ sobre la ≡: 4〉 (¬A ∨ B) ≡ (¬A ∨ C) ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: 25〉 A → B ≡ A → C
Teorema 29 (Distributividad de la implicaci´on sobre la implicaci´on). A → (B → C) ≡ (A → B) → (A → C)
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Teorema 30 (Reflexividad de la implicaci´on). A → A
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Teorema 31 (Anulador a derecha de la implicaci´on). A → true
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Recuerde que en una implicaci´on A → B, la expresi´on A se denomina antecedente y la expresi´on B consecuente. Los siguientes teoremas presentan algunas reglas de manipulaci´on de estas componentes y ser´an esenciales en el desarrollo del tema del siguiente escenario.
Teorema 32 (Fortalecimiento/Debilitamiento). A → A ∨ B
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Teorema 33 (Fortalecimiento/Debilitamiento). A ∧ B → A
Demostraci´on.
A ∧ B → A ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: 25〉 ¬(A ∧ B) ∨ A ≡ 〈Teorema De Morgan: 14〉 (¬A ∨ ¬B) ∨ A ≡ 〈Asociatividad y conmutatividad de la ∨: 2, 1 〉 (¬A ∨ A) ∨ ¬B ≡ 〈Tercio excluido: 5〉 true ∨ ¬B ≡ 〈Anulador del operador ∨: 1〉 true
Demostraci´on.
A ∧ B → C ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: 25〉 ¬(A ∧ B) ∨ C ≡ 〈Teorema De Morgan: 14〉 ¬A ∨ ¬B ∨ C ≡ 〈Asociatividad de ∨: Axioma 2〉 ¬A ∨ (¬B ∨ C) ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: 25〉 ¬A ∨ (B → C) ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: 25〉 A → (B → C)
Teorema 39 (An´alisis de casos). A ∨ B → C ≡ (A → C) ∧ (B → C)
Demostraci´on.
A ∨ B → C ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: Teorema 25〉 ¬(A ∨ B) ∨ C ≡ 〈Teorema De Morgan: 15〉 (¬A ∧ ¬B) ∨ C ≡ 〈Distributividad de ∨ sobre ∧: Teorema 13〉 (¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ C) ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: Teorema 25〉 (A → C) ∧ (B → C)
Teorema 40 (An´alisis de casos). A → (B ∧ C) ≡ (A → B) ∧ (A → C)
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
El teorema 39 indica que demostrar A ∨ B → C es equivalente a demostrar que A → C y B → C. Esta “divisi´on” en dos casos es lo que motiva el nombre del teorema.
Teorema 41 (Doble implicaci´on). A ≡ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)
Demostraci´on.
(A → B) ∧ (B → A) ≡ 〈Definici´on alternativa de la →: Teorema 25〉 (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A) ≡ 〈Distribuci´on de ∧ sobre ∨: Teorema 12〉 ((¬A ∨ B) ∧ ¬B) ∨ ((¬A ∨ B) ∧ A) ≡ 〈Absorci´on: Teorema 18〉 (¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B) ≡ 〈Regla de oro: Axioma 6〉 ¬A ∧ ¬B ∧ A ∧ B ≡ ¬A ∧ ¬B ≡ A ∧ B ≡ 〈Contradicci´on: Teorema 10〉 false ≡ ¬A ∧ ¬B ≡ A ∧ B ≡ 〈Axioma definici´on de negaci´on: false ≡ ¬true〉 ¬true ≡ ¬A ∧ ¬B ≡ A ∧ B ≡ 〈Teorema: ¬P ≡ Q ≡ P ≡ ¬Q〉 true ≡ ¬(¬A ∧ ¬B) ≡ A ∧ B ≡ 〈Axioma identidad de la ≡〉 ¬(¬A ∧ ¬B) ≡ A ∧ B ≡ 〈Teorema De Morgan: 14〉 A ∨ B ≡ A ∧ B ≡ 〈Regla de oro: Axioma 6〉 A ≡ B
Teorema 42 (Transitividad). (A → B) ∧ (B → C) → (A → C)
Demostraci´on. Se deja al estudiante.
Cierre A lo largo de esta lectura se han desarrollado los principales teoremas de los operadores de disyunci´on, conjunci´on e implicaci´on. En algunos casos se ha dado un nombre a los teoremas que est´a relacionado con la interpretaci´on del mismo o propiedad que expresa. El estudiante debe mantener presentes los diferentes teoremas (no necesariamente su demostraci´on), dado que ser´a necesario para el desarrollo de los siguientes temas. Se invita a revisar con detalle cada una de las demostraciones presentadas, dado que se aplican los diferentes esquemas de prueba del c´alculo proposicional, objetivo fundamental del m´odulo. En algunas ocasiones se resalt´o en gris la parte donde se aplicaba una propiedad para evitar distracciones.
Referencias
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