Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple, Diapositivas de Física

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Movimiento Armónico Simple

Por la segunda ley de Newton, F^ = − kx

A A F x F x a – máxima F- máxima v = 0 a – máxima F- máxima v = 0 a = 0 F = 0 v máxima Posición de equilibrio Amplitud Periodo

k

a x

m

Ecuación del MAS

Por la Segunda Ley de Newton Considerando que la frecuencia angular es

• Reemplazando la expresión de la aceleración, se obtiene
• La solución de la ecuación es: k a x m   = −     2 k ω m = 2 2 2

d x

x

dt

x(t) Acos( t=  + ) k m  = 1 k f 2 m = 

m

T 2

k

Fase y ángulo de fase

A es la amplitud, el argumento de la función coseno, (ωt +δ) se denomina fase y la constante δ es el ángulo de fase.

x(t) Acos( t=  + )

Ejercicios Escriba la ecuación general de una MAS para un bloque de 5 , 00 kg de masa que descansa en una superficie horizontal sin fricción y está conectada a un resorte en equilibrio de k = 120 N/m , a) si la masa recibe inicialmente un empujón rápido que comprime el resorte, b) si se comprime el resorte y luego se suelta. k m Inicio Caso (a) Caso (b) v

v

0

MAS vertical

• Supongamos que colgamos un

resorte con constante de

fuerza k y se suspende de él un

cuerpo de masa m.

• Cuando se desplaza el bloque

hacia abajo, las fuerza es

proporcional al

desplazamiento, por lo que

realizará también un MAS.

k l  = mg

neta neta

F k( l x ) ( mg )

F kx

Energía potencial elástica

• La fuerza de los resortes son

fuerzas conservativas; es

decir, tienen energía potencial.

Su expresión matemática se

deduce de la gráfica Fuerza-

desplazamiento

• La energía potencial elástica

puede ser agregada a los

demás tipos de energía en el

balance de la conservación de

la energía.

• En el caso del oscilador

armónico, el balance

energético tiene lugar entre la

energía cinética y potencial

elástica.

F

x

Fuerza aplicada sobre el móvil por una fuerza externa

F = kx

(^1 2 ) mv kx Const 2 2

• = 2 e 1 U kx 2 =

Oscilaciones amortiguadas

• La fricción es una fuerza disipadora que mengua las oscilaciones. La disminución de la amplitud se denomina amortiguación y el movimiento que realiza se llama oscilación amortiguada.

𝑥

𝑥

Vibración libre viscosa amortiguada

• La fuerza viscosa de amortiguación es proporcional a la velocidad.
• 𝑐- coeficiente de amortiguación viscosa, 𝑁. 𝑠/𝑚 o 𝑙𝑏. 𝑠/𝑓𝑡.
• La ecuación de movimiento es
• Y la solución de la ecuación diferencial homogénea es

𝜆𝑡

• Lo que da como solución
• Sistema sobreamortiguado

−𝜔𝑜𝑡

𝜆 1 , 𝜆 2 ; reales

𝜆 1 𝑡

𝜆 2 𝑡

2

• Sistema subamortiguado
• Las soluciones son imaginarias

2

− 𝑐 2𝑚 𝑡

2 Factor de amortiguación

Ejercicio

• Un bloque de 0 , 800 kg de masa se suspende de un resorte cuya

rigidez es de 120 N/m. Si un amortiguador genera una fuerza de

amortiguación de 2 , 5 N cuando la velocidad del bloque es de

0 , 200 m/s, determine el periodo de vibración libre.

Ejercicio

• Dos amortiguadores idénticos se

disponen paralelos entre sí, como

se muestra. Demuestre que si el

coeficiente de amortiguación 𝑐 <

𝑚𝑘, entonces el bloque de masa

𝑚 vibrará como un sistema

amortiguado.

Oscilaciones forzadas y resonancia

• La frecuencia angular para la que la amplitud es máxima se llama frecuencia de resonancia.

Ejercicios

Una fuerza impulsora senoidal se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza k y una masa m

. Si la constante de amortiguación vale b 1 , la amplitud es A 1 cuando la frecuencia angular impulsora es (k/m) 1 / 2 . En términos de A 1 , ¿cuánto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora Fmáx si la constante de amortiguación es 3 b? Solución.

𝐹max

0 2

0 (^2 )

2

𝐹 max

0 2