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Aplicación de los métodos de Gauss y Gauss-Jordan para el cálculo de una producción de postres, teniendo como base a los insumos totales a emplear en su elaboración

INTRODUCCIÓN

En nuestro quehacer cotidiano, podemos percibir que las matemáticas son bastante útiles para determinar magnitudes que son fundamentales para nuestra existencia o para asegurar algunas de nuestras necesidades. Para gestionar eficientemente dinero o materiales, es necesario manejar cálculos sobre los gastos concernientes a alguna actividad. Pero es aquí donde surge un planteamiento, ¿cuál sería la mejor manera de realizar dichas gestiones de gastos? Dentro de un ejemplo común, cuando alguien busca determinar la cantidad adecuada de postres o platos que necesita preparar para no desperdiciar demasiado los insumos a su disposición, lo cual es el caso de muchos negocios o microempresas, ¿cómo se podría distribuir los ingredientes totales teniendo en base lo requerido para preparar una porción mínima? Mi interés parte del control que tiene una familiar mía en su negocio de repostería y para la cual me encantaría encontrar una forma práctica de administrar sus recursos. Parte de la importancia de esta exploración se subyace en dicho interés puesto que, como ha sido mencionado anteriormente, para evitar consumos desmedidos en cualquier proceso económico sería mejor planificar antes persiguiendo el ahorro. Teniendo estas consideraciones, dentro de esta exploración busco poner en práctica el uso de sistemas de ecuaciones lineales para el hallazgo de la cantidad correcta de postres a producir, con diferentes cantidades de tres ingredientes adquiridos y en el ejercicio de dos situaciones imaginarias. Con ayuda de las matrices, parte de mi objetivo es comparar la facilidad y rapidez de los métodos de reducción de Gauss y de Gauss-Jordan en la búsqueda de soluciones. De este modo y mediante el empleo de operaciones algebraicas pertinentes, busco analizar cuan eficaces son ambos métodos para el cálculo adecuado de las cantidades a

caso de una matriz de 2x2, esta es considerada como cuadrada porque tanto el número de filas y columnas son iguales y el cálculo de su determinante es más sencillo. En contraste, el valor de las determinantes de otro tipo de matrices variará y será más largo. Matriz identidad En este tipo de matriz, todos los valores, a excepción de los de la diagonal principal, son iguales a 0. Únicamente los valores de dicha diagonal se igualan a 1. Dependiendo del orden de una matriz suele ser diferente: 1 0 0 1

2x2 3x3 4x 1.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de n ecuaciones lineales con las mismas m incógnitas. Una solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas que hace verdadera cada una de las ecuaciones. Resolver un sistema significa hallar dichas soluciones. Gago (2010) sugiere el siguiente aspecto para los sistemas: S ≡

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Nota: Propiedad del autor 1.3. MÉTODO DE REDUCCIÓN GAUSS El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n número de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso. El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la

matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación. La matriz resultante del procedimiento es triangular, y por ende, se realiza sustitución hacia atrás. Jerónimo, Sabia y Teasuri (2008) adjudican lo siguiente: Utilizamos el método de Gauss para triangular la matriz que está a la izquierda de la línea pero realizando las operaciones en toda la fila, inclusive en los elementos a la derecha de la línea: el método de Gauss se basa en intercambiar y operar con ecuaciones, así que para no cambiar las soluciones debemos trabajar con ambos miembros de las ecuaciones. (p. 21) 1.4. MÉTODO DE REDUCCIÓN GAUSS-JORDAN Es un método algebraico para la resolución de sistemas de ecuaciones en base a algoritmos simples planteados en base a los datos brindados, dichos datos suelen estar agrupados en matrices y se hace empleo de la matriz identidad para dejar las principales variables. A diferencia del método gaussiano, en este método una vez que una incógnita es despejada se suprime de todas las demás ecuaciones. En ese sentido, no es necesaria la sustitución hacia atrás para obtener las soluciones. (Pérez, 2010, párr. 2)

[

18 500 ]

Para el segundo caso:

[

11000 ]

2.2. EJECUCIÓN DE LOS MÉTODOS PROPUESTOS:

MÉTODO DE GAUSS:

Primer caso: Para poder convertir los valores a 0, tomamos en referencia operaciones básicas de filas anteriores o posteriores a la que se le aplicarán cambios: En estas ocasiones donde no existe un factor entero para seguir con el procedimiento, es necesario encontrarlo mediante una fracción de los próximos términos a modificar. 130 45

Una vez delimitada la matriz triangular, empezamos la resolución de abajo para arriba, acorde a la cantidad de incógnitas descifradas hasta el momento: 200 x + 70 y + 135 z = 13500 ⋯ ( 1 ) 45 y −

z = 1 750 … … … … … … ( 2 ) − 40 3 z =

(Ecuación 3) − 40 3 z =

z =

z =

(Ecuación 2) 45 y −

2 (^

45 y = 1 7 +

y =

y =

(Ecuación 1) 200 x + 70 y + 135 z = 13500

200 x = 13 500 − 70 (

x =

x =

Segundo caso:

Las soluciones: x =

; y =

; z =

Segundo caso: Las soluciones: x =− 745 ; y = 275 ; z = 1 050

ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES:

Los resultados obtenidos por ambos procedimientos son idénticos en los dos planteamientos, por lo que ambos cumplen en otorgar una respuesta acertada. Que los valores de las incógnitas asignadas hayan resultado fraccionarios no indica, en lo absoluto, que se haya cometido algún error en el procedimiento. Aun así, para que la cantidad de postres a producir en el primer caso sea exacta, el resultado de la división debe aproximarse a la unidad menor. En otras palabras, la producción de kekes tendría que ser 4, la de brownies 39 y por último, la de cupcakes, 50. Eso desencadenaría que lo sobrante, en cuestión de ingredientes, no se incluya en la elaboración de esta fase de postres. A diferencia de haber propuesto una cantidad de producción fija al inicio, estos métodos en base a los sistemas de ecuaciones presentan un mayor grado de eficiencia ya que lo sobrante es mínimo. La eficacia de estos métodos es bastante debatible, puesto que al trabajar con sistemas de ecuaciones, los valores de las incógnitas pueden resultar negativos en ciertos casos; el cual es la realidad de la segunda situación. Como lo que buscábamos obtener era una cantidad positiva, las cantidades de masa de ingredientes adquiridas tuvieron que ser proporcionales al gasto ejercido en cada caso. No obstante, si hubiésemos deseado trabajar con masas totales para todos los insumos, la cantidad a producir hubiese sido negativa. En ese caso, el método no hubiese sido eficaz y se hubiese optado por elegir cantidades al inicio.

Entre el método de Gauss y Gauss-Jordan, considero que la facilidad de ambos es relativa. En el primero, aunque el trabajo con las matrices sea corto, se necesita un poco más de trabajo en despejar las incógnitas. En el segundo, por otro lado, se omite las operaciones de sustitución de incógnitas al revés, pero el proceso para establecer la matriz identidad es más complejo. Ambos métodos son eficaces para el cálculo de una producción de postres, lo que sucede es que uno decide la complejidad a la cual acoplarse. Aun así, ambos métodos presentan limitaciones puesto que al trabajar con sistemas de ecuaciones lineales, los resultados pueden ser negativos o positivos. En ese caso, el planteamiento de problemas para el hallazgo de cantidades es poco factible de usar porque los valores de las incógnitas no deben resultar negativos. Habría que estimar proporcionalmente las variables para establecer resultados favorables. Finalmente, dentro de un contexto cotidiano, resultaría un tanto complejo ponerse a elaborar las operaciones de un modo corrido, pero sería interesante probar hasta qué punto son relevantes para poder encontrar resultados exactos y que la administración de recursos de una empresa o negocio sea la mejor.