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VOLUMEN DE UNA BOTELLA DE VINO

Introducción

La aplicación del área de matemáticas se puede dar en cualquier lugar o circunstancia de

nuestra vida. Esta ciencia está dividida por sectores en los cuales una persona se puede

especializar, tales como son, la economía, la ingeniería, la física e inclusive en la química.

Un ejemplo de la aplicación de esta ciencia en nuestra vida cotidiana es la aplicación del

cálculo integral para hallar el volumen de un sólido de revolución.

El principal motivo por el cual estoy realizando la presente investigación, es el hecho de

probar la fiabilidad de los volúmenes predeterminados en las botellas de champagne

mediante el uso del cálculo integral, para ello se dividió esta investigación en dos sectores,

el marco teórico en el cual se explicaran temas básicos relacionados con el cálculo integral,

luego se dará paso al marco aplicativo donde se aplicaran todos los conceptos relacionados

con el cálculo integral, para ello se realizaran serie de procesos matemáticos, para ello se

hará uso del software GeoGebra.

El objetivo de esta investigación es hallar el volumen de una botella de vino para ello se

estableció la siguiente interrogante: “¿En qué medida el cálculo integral es eficaz para hallar

el volumen de un sólido de revolución?” Para poder responder a esta pregunta, se hará uso

del cálculo integral en una botella de champagne real, luego se hará uso de un software que

permitirá la integración por partes, esto para tener un resultado más real o aproximado.

Finalmente se realizará la comparación del volumen obtenido con el especificado en la

botella, con el fin de medir la efectividad del cálculo integral para hallar el volumen de un

sólido de revolución.

La integral definida se denota de la siguiente forma:

Figura 2: Estructura de una integral definida.

Fuente: [Elaboración Propia].

Método de los discos:

El método de los discos es una herramienta que permite hallar el volumen de solidos de

revolución, consiste en la rotación de la función en torno al eje x con el fin de obtener un

sólido de revolución el cual pueda ser fácilmente modelado como una sumatoria de discos.

También se debe tener en consideración que el área transversal de los discos será el área

de un círculo y el ancho será un delta x. (Rustrian M. 2015)

Cuando la función gira en torno al eje x, el volumen del solido de revolución se denota por:

𝑉 = π ∫ (𝑓

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = π ∫ 𝑦

2

𝑏

𝑎

Cálculo del volumen:

Cuando tratamos de calcular el volumen de un sólido, enfrentamos el mismo tipo de

problema que al determinar áreas. Intuitivamente sabemos lo que significa un volumen,

pero es necesario precisar la idea usando el cálculo, a fin de dar una definición exacta de

volumen.

Empezamos con un tipo simple de sólido llamado cilindro (o mejor dicho un cilindro recto).

Como se ilustra en la figura 3a), un cilindro está limitado por una región plana 𝐵

1

, que se

llama base, y una región congruente 𝐵

2

en un plano paralelo. El cilindro consiste en todos

los puntos sobre los segmentos de recta que son perpendiculares a la base y unen a B1 con

2

. Si el área de la base es 𝐴 y la altura del cilindro (la distancia desde 𝐵

1

hasta 𝐵

2

) es ℎ,

entonces el volumen 𝑉 del cilindro se define como:

En particular, si la base es un círculo de radio 𝑟, entonces el cilindro es un cilindro circular

cuyo volumen es 𝑉 = 𝜋𝑟

2

ℎ [véase la figura 2b)], y si la base es un rectángulo de largo 𝑙 y

ancho 𝑤, entonces el cilindro es una caja rectangular (también se le llama paralelepípedo

rectangular) cuyo volumen es 𝑉 = 𝑙𝑤ℎ [véase la figura 2c)].

Figura 3: El volumen en solidos de diferentes bases.

Fuente: [Steward, 2012.]

En el caso de un sólido 𝑆 que no es un cilindro, primero “cortamos” a 𝑆 en piezas y hacemos

que cada pieza se aproxime a un cilindro, para después estimar el volumen de 𝑆 sumando

los volúmenes de los cilindros. El valor del volumen exacto de 𝑆 se obtiene a través un

proceso de límite en el que el número de piezas se hace cada vez más grande. Iniciamos

cortando a 𝑆 con un plano y obteniendo una región plana que se denomina sección

transversal de 𝑆. Sea 𝐴(𝑥) el área de la sección transversal de 𝑆 en un plano 𝑃 𝑥

perpendicular al eje x, y que pasa por el punto 𝑥, donde 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (Véase la figura 3.

Imagine que corta a 𝑆 con un cuchillo a través de 𝑥 y calcule el área de esta rebanada.) El

Entonces se puede decir que:

𝑉 = lim

𝑛→∞

𝑥i ∗

𝑏

𝑎

𝑛

𝑖= 1

Marco Aplicativo:

Recopilación de datos:

Dimensiones de la botella:

Altura: 31. 6 𝑐𝑚.

Radio: 4. 48 𝑐𝑚.

Volumen indicado: 700 𝑐𝑚

3

Figura 6: Dimensiones de una botella de vino de tipo Limari.

Fuente: [http://www.blueskysa.com.ar/html/04-burdeos/035.html ]

Modelación en GeoGebra:

Se inserto la imagen de la botella en el programa GeoGebra, a escala real, luego se

procedió a colocar puntos alrededor del borde de la silueta del embace tal como se logra

apreciar en la siguiente imagen.

Figura 7: Modelación de una botella de vino en GeoGebra.

Fuente: [Elaboración Propia en el programa GeoGebra]

Figura 8: Tramos de la silueta de la botella de vino.

Fuente: [Elaboración Propia]

Después se procedió a aplicar la formula del volumen de solido de revolución, a cada una

de las funciones, a continuación, se muestra el procedimiento que se siguió con las

funciones correspondientes a los tramos IV, V, VII.

Tramo IV:

𝑉 = π ∫ (𝑓

2

𝑏

𝑎

𝑉 = π ∫ (− 0. 0514 𝑥

3

2

2

9. 11

10. 97

3

Tramo V:

𝑉 = π ∫ (𝑓(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝑉 = π ∫ (− 0. 1278 𝑥

2

2

10. 61

11. 11

3

Tramo VII:

𝑉 = π ∫ (𝑓(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝑉 = π ∫ ( 1. 0077 𝑥

3

2

2

30. 63

31. 94

3

Por último, ordenamos todas las funciones y sus volúmenes respectivos en la siguiente

tabla.

Función Limites Formula Volumen

−𝟎. 𝟎𝟏𝒙 + 𝟎. 𝟖 < 0 ; 1. 45 >

π ∫ (− 0. 01 𝑥

1. 45

0

• 1. 8

)

2

𝑑𝑥

2. 862 𝑢

3

−𝟎. 𝟖𝟔𝒙 + 𝟐. 𝟎𝟑 < 1. 45 ; 1. 58 >

π ∫

( − 0. 86 𝑥

1. 58

2. 45

• 2. 03 )

2

𝑑𝑥

1. 179 𝑢

3

𝟎. 𝟎𝟑𝒙 + 𝟎. 𝟔𝟒 < 1. 58 ; 6. 97 >

π ∫

(

1. 03 𝑥

2. 97

3. 58

• 1. 64 )

2

𝑑𝑥

10. 030 𝑢

3

−𝟎. 𝟎𝟓𝟏𝟒𝒙

𝟑

• 𝟏. 𝟐𝟕𝟒𝟗𝒙

𝟐

− 𝟗. 𝟗𝟓𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟓. 𝟔𝟒𝟔

< 6. 97 ; 9. 11 >

π ∫ (− 0. 0514 𝑥

3

9. 11

10. 97

• 1. 2749 𝑥

2

− 9. 9513 𝑥

• 25. 646 )

2

𝑑𝑥

13. 001 𝑢

3

−𝟎. 𝟏𝟐𝟕𝟖𝒙

𝟐

• 𝟐. 𝟔𝟔𝟖𝟗𝒙 − 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟑

< 9. 11 ; 10. 61 >

π ∫ (− 0. 1278 𝑥

2

10. 61

11. 11

• 2. 6689 𝑥

− 11. 773

)

2

𝑑𝑥

3

< 10. 61 ; 30. 63 >

π ∫ (− 0. 01 𝑥

30. 63

31. 61

2

𝑑𝑥

699. 235 𝑢

3

𝟏. 𝟎𝟎𝟕𝟕𝒙

𝟑

− 𝟗𝟎. 𝟐𝟔𝟒𝒙

𝟐

• 𝟐𝟔𝟗𝟓. 𝟔𝒙 − 𝟐𝟔𝟖𝟑𝟕

< 28. 94 ; 30. 63 >

π ∫

(

1. 0077 𝑥

3

30. 63

31. 94

− 90. 264 𝑥

2

• 2695. 6 𝑥

− 26837

)

2

𝑑𝑥

8. 053 𝑢

3

Tabla 1: Integración de las funciones del eje x.

Fuente: [Elaboración Propia]

Finalmente realizaremos la suma de los volúmenes formados por los tramos del 𝐼 al 𝑉𝐼 a la

suma de estos volúmenes se le resta el volumen del tramo 𝑉𝐼𝐼. Entonces:

Reflexión:

Durante el proceso de creación de este trabajo de investigación logre entender la eficacia

de las matemáticas para poder resolver nuestras dudas en cualquier aspecto, ya que lograr

hallar el volumen de una botella era algo que veía como un reto, pero luego de investigar

más acerca del tema logre comprender que existe diversos métodos que ayudan a resolver

esta inquietud, por lo que me permitió aplicar y ampliar mis conocimientos en matemática

en temas como el algebra, ecuaciones, integrales, también me permitió desarrollar

habilidades tecnológicas al usar el programa GeoGebra el cual forma parte fundamental de

mi investigación, ya que me permite crear gráficas y funciones que se adaptan a la silueta

de la botella en investigación.

Referencias bibliográficas:

Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascedentes tempranas Versión español.

México: Cengage Learning Editores.

Infantes, J. (s.f.). calameo. VOLUMENES: MÉTODO DEL DISCO Y DEL ANILLO. Recuperado de:

https://es.calameo.com/read/003893056639bd34901c

Ortiz, J. (2004). Proyecto Matex_Integral Definida. Obtenido de:

https://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_2/areasC2.pdf

BlueSky S.A. (s. f.) Burdeos Limari. Recuperado de: http://www.blueskysa.com.ar/html/04-

burdeos/035.html