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LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.
Función exponencial
La función exponencial es de la forma
x f (x)= a , tal que a > 0 , a ≠ 1
El valor a se llama base de la función exponencial.
Propiedades:
- El dominio es R.
- El recorrido es ] 0 ,+∞]
- La función es continua en R.
- f( 0 )= 1
- Si f (x)= f(y), entonces x = y,
es decir, si
x y a = a , entonces x =y
Si a > 1 la función es creciente Si 0 < a< 1 la función es decreciente
- Las gráficas de las funciones
x f (x)= a ,
x
a
g( x) ⎟ ⎠
= son simétricas respecto del eje de
ordenadas OY
x y = 1 ' 5
x y = (^2) y = 0. 4 x
x y = 2 y = 0. 5 x
Ejercicio 1:
Estudia y representa la función
x f( x)= 4.
Es una función exponencial de base a = 4
El dominio es R
El recorrido es ] 0 ,+∞]
Es una función creciente.
La función es continua en R
Construimos una tabla de valores de la función:
x (^) −2,5 − 2 −1,5 − 1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,
y (^) 0,03125 0,0625 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16 32
Ejercicio 2:
Resuelve la ecuación exponencial: 3 729
x 1
−
Intentaremos que las dos partes de la ecuación sean dos potencias de la misma base:
6 729 = 3
x 1 6 3 = 3
−
Igualando los exponentes:
x − 1 = 6
La solución de la ecuación es x = 7
Nota: para resolver ecuaciones donde no podamos obtener a las dos partes de la igualdad
potencias de la misma base, se aplicarán logaritmos. Por ejemplo 2 3
x
Ejercicio 3:
Resuelve la ecuación exponencial: 3 3 3 45
2 x x 1 x − − =
Para resolver este tipo de ecuaciones utilizaremos incógnitas auxiliares:
Efectuamos el cambio
x y = 3
Entonces: ( )
2 x x^22 3 = 3 =y , 3 3 3 3 y
x 1 x = ⋅ =
La ecuación inicial se transformaría en la siguiente:
y 3 y y 45
2 − − =
Resolvamos la ecuación de segundo grado:
y 4 y 45 0
2 − − = , 2
y
= , y = 9 , y=− 5
Deshacemos el cambio:
y 3 9
x = = , entonces
x 2 3 = 3 , igualando exponentes, x = 2
y 3 5
x = =− , la ecuación 3 5
x = − no tiene solución, la función exponencial siempre es positiva.
- La presión atmosférica varia según la altura con la siguiente fórmula
x P( x)= 0 ' 9 , donde x es la
altura en kilómetros y P(x) la presión atmosférica en atmósferas.
Representa la función.
- Dada la función
x f (x)= 2
Sin utilizar tablas de valores dibuja
las funciones:
g( x) 2 3
x = +
h( x) 2 4
x = −
x 2 m( x) 2
=
x 1 n( x) 2
−
- Dada la función
x
f (x) ⎟ ⎠
Sin utilizar tablas de valores dibuja
las funciones:
g(x)
x
⎟^ +
h(x)
x
⎟^ −
x 2
m(x)
x 1
n(x)
−
- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x 1 3 x 2 7 7
=
b) 5 5
x 3
c) 2 1024
x
d) 2 1
3 x 1
e) 3 81
5 x
f) 9
2 x 1
−
g) 3 3
x
h)
x 1 3 x 2 7 49
− −
i)
2 x x 1 25 125
−
j) 2 2 2 14
x 1 x x 1
− +
k) 7 7 7 2793
x x 1 x 2
l) 3 3 3 5
x 1 x 2 x 3
m) 3 2 5 2 14
x x 2 ⋅ − ⋅ =
−
n) 2 3 4 3 14
x 3 x 4 ⋅ + ⋅ =
o) 3 3 54
2 x x 1 − =
p) 2 2 320
2 x 2 x 3
q) 4 2 3 2 24
x x 1 x − − ⋅ =
r) 9 5 3 7 3 2349
x x 2 x − ⋅ − ⋅ =
La función logarítmica
Sea a > 0 , a ≠ 1
Definimos logaritmo base a de x y lo representamos log (^) a x al valor y log (^) a x= ytal que:
a x
y = , es decir, la operación inversa de la exponencial.
Ejercicio 4:
Calcula log 2 8 , (^) ⎟
⎠
log 3 ,^
3 log 7 49
log 2 8 = y, 2 8
y = ,
y 3 2 = 2 , por tanto, y = 3. Entonces, log 2 8 = 3
y 81
log 3 ⎟= ⎠
y = ,
y 4 3 3
− = , por tanto, y = − 4. Entonces 4 81
log 3 ⎟=− ⎠
log 49 y
3 7 =^ ,^
y 3 7 = 49 ,
y 2 / 3 7 = 7 , por tanto, 3
y =. Entonces 3
log 49
3 7 =
Función logarítmica:
A la función f (x)= logax, tal que a > 0 , a ≠ 1
Se llama función logarítmica
Propiedades del logaritmos y la función logarítmica
- El dominio de la función logarítmica es ] 0 ,+∞]
- El recorrido de la función logarítmica es R.
- La función es continua en ] 0 ,+∞]
- Si log^ a x=^ logay, entonces, x^ =y
- log (^) a 1 = 0
- log a p
p a =
- log (^) a (x⋅y)=logax+logay
y =log 2 x
Uso de la calculadora.
La calculadora tiene dos funciones logarítmicas:
log que son los logaritmos decimales o de base 10. Escribiremos log x=log 10 x
ln que son los logaritmos neperianos o de base e. Escribiremos ln x=logex
Calcula: log 25 , ln 3
Con calculadoras antiguas:
Para calcular log 25 25 log 1.
Para calcular ln 3 3 ln 1.
Con calculadoras modernas:
Para calcular log 25 log 25 = 1.
Para calcular ln 3 ln 3 = 1.
Ejercicio 5:
Con la ayuda de la calculadora efectúa las siguientes operaciones:
log 2 3 , log 3 2.
Las calculadoras sólo tienen logaritmos decimales y neperianos. Para poder calcular logaritmos de
otras bases efectuaremos el cambio de base:
log 2
log 3 log 2 3 = = =
ln 3
ln 2 log 3 2 = = =
Ejercicio 6:
Estudia y representa la función y =log 2 x
Es una función logarítmica de base 2.
El dominio de la función logarítmica es ] 0 ,+∞]
El recorrido de la función logarítmica es R.
La función es continua en ] 0 ,+∞]
Es una función creciente.
Con la ayuda de la calculadora construimos una tabla
de valores:
x 0’25 0’5 1 1’5 2 2’5 3 3’5 4 4’
y (^) − 2 − 1 0 0’58 1 1’32 1’58 1’81 2 2’
Ejercicio 7:
Resuelve la ecuación exponencial 2 5
x
5 no se puede poner como potencia de base 2, entonces calcularemos logaritmos decimales en
las dos partes de la igualdad:
log 2 log 5
x
Apliquemos la propiedad del logaritmo de una potencia:
x ⋅log 2 =log 5
Despejamos la incógnita x
log 2
log 5 x = , con ayuda de la calculadora podemos aproximar el resultado: 2 ' 3219 log 2
log 5 x = ≈
Ejercicios propuestos:
- Sin utilizar calculadora efectúa las siguientes operaciones:
a) log 24 =
b) log 9729 =
c) log 1000 =
d) log 31 =
e) log 255 =
f) log 162 =
g) (^) ⎟= ⎠
log (^2)
h) (^) ⎟= ⎠
log (^5)
i) (^) ⎟= ⎠
log (^3)
j) log 0 ' 001 =
k) (^) ⎟= ⎠
log 1 / 3
l) log 3 27 =
m) log 4 2 =
n) =
4 log 5 125
- Con la ayuda de la calculadora efectúa las operaciones del ejercicio anterior:
- Representa las funciones siguientes:
a) f( x)=logx
b) g( x)=lnx
c) h( x)=log 1 ' 5 x
d) m( x)=log 4 x
e) n( x)=log 0 ' 5 x
f) p( x)=log 0 ' 2 x
- Dada la función f (x)=log 2 x
Sin utilizar tablas de valores dibuja las
funciones:
g( x)= 3 +log 2 x
h( x)=− 1 +log 2 x
m( x)=log 2 (x+ 2 )
f( x)=log 2 (x− 4 )
Ejercicios propuestos
- Representa las siguientes funciones.
a)
⎩
2 x six 1
x 2 six 1 f(x)
b)
⎩
2 x 6 six 1
x 3 six 1 g(x)
c)
⎩
3 six 2
x 3 six 2 h(x)
d)
⎩
x six 2
2 x 6 six 2 k(x)
e)
⎩
x 1 six 0
3 2 x six 0 m( x) 2
f)
⎩
x 2 x 1
x 4 x 1 n( x) 2
- Representa las siguientes funciones:
a)
⎪ ⎩
x 1 six 3
x 1 si 2 x 3
2 x 1 six 2
p( x)
2
b)
⎪ ⎩
4 six 2
x 4 si 1 x 2
x 1 six 1
q( x)
2
c)
x 4 si x 1
x 4 si 2 x 1
3 si 4 x 2
x 2 si x 4
r( x) 2
- Estudia gráficamente las siguientes funciones:
Define las funciones siguientes a trozos.
a) a( x)=x
b) b( x)=x+ 2
c) c( x)=x− 3
d) d( x)=− 2 x+ 4
e) e( x) x 9
2 = −
f) f (x) x 4 x
2 = −
