Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Tercer Parcial de Matemáticas IV, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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Cuarto

MATEMÁTICAS

Funciones exponenciales y logarítmicas

Hay dos clases de funciones matemáticas que tienen aplicaciones importantes en los negocios, la economía y las ciencias: las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas.

Recordatorio de álgebra

Repetimos aquí algunas propiedades importantes de los exponentes y radicales para revisarlos. Suponga que a y b son números positivos y m y n tienen valores reales. Características de las funciones exponenciales Definición: Función exponencial Una función con la forma: f(x) = bx^ donde b > 0, b ≠ 1 y x es cualquier número real, recibe el nombre de función exponencial de base b. Como ejemplos de funciones exponenciales podemos incluir: f ( x ) =10 x g ( x ) = (0.5) x

Aplicaciones de las funciones exponenciales ACTIVIDAD 2: 1.- Valor de recuperación Se ha encontrado que el valor de reventa V de un equipo industrial se comporta de acuerdo con la función V = 250 000 e 0.06 t donde t = años desde la compra original. a ) ¿Cuál era el valor original del equipo? b ) ¿Cuál es el valor de reventa después de 5 años? c) ¿cuánto tiempo pasa para que el valor de reventa del activo llegue a 25 por ciento de su valor original? 2.- Recaudación de fondos Una organización de caridad nacional planea una campaña para reunir fondos. La experiencia pasada indica que el total de contribuciones recaudadas son una función del tiempo que dura una campaña. En una ciudad se ha determinado una función de respuesta que indica el porcentaje de la población R que hará un donativo como una función del número de días t de la campaña. La función es R = 0.5(1 e 0.05 t ) a ) ¿Qué porcentaje de la población hará un donativo después de 10 días? ¿Luego de 20 días? b ) ¿Cuál es el límite superior del valor de R? 3.- Función de la demanda La función de la demanda para una mercancía particular es q = f ( p ) = 10 000 e 0.1 p a ) ¿Cuál se espera que sea la demanda con un precio de $5? b ) ¿Cuál se espera que sea la demanda con un precio de $20? Logaritmos y funciones logarítmicas Un logaritmo es la potencia a la que se debe elevar una base para dar como resultado un número determinado (es decir, un logaritmo es un exponente). Considere la ecuación: 23 = 8 Se puede considerar el exponente 3 como el logaritmo, para la base 2, del número 8. Esto es, 3 es la potencia a la que se tiene que elevar 2 para dar como resultado el número 8. Podemos expresar esta propiedad de los logaritmos como: 3 = log 2 8 En general, Nos interesaremos en situaciones en que la base b está limitada a valores positivos diferentes de 1.

EJEMPLO: Los siguientes son enunciados de pares equivalentes de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Las dos bases que se emplean con mayor frecuencia para los logaritmos son la base 10 y la base e. Es probable que la mayoría de nosotros haya experimentado con logaritmos de base 10 o logaritmos comunes. Los logaritmos que usan e = 2.718... como la base reciben el nombre de logaritmos naturales. Los logaritmos de esta forma surgen del uso de funciones exponenciales que utilizan e como la base. Los logaritmos comunes se expresan como: x = log 10 y Sin embargo, ya que la mayor parte de los cálculos logarítmicos (distintos de la base e ) implican la base 10, una manera muy común de expresar tales logaritmos es: x = log y donde la base, aunque no se indica, es implícitamente 10. Los logaritmos de base e o naturales se pueden expresar como: x = log e y pero por lo general se expresan por medio de: x = ln y Un logaritmo que tiene una base b diferente de 10 o e se expresaría como: x = log b y

ACTIVIDAD 3:

1.- Para cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales, formule la ecuación logarítmica equivalente. 2.- Para cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas, formule la ecuación exponencial equivalente.