Exposición de electrodinámica, Diapositivas de Electrodinámica

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Fuerzas magnéticas

sobre circuitos

Laura Daniela Fernández Madrigal

Electrodinámica

Fuerzas magnéticas sobre circuitos Figura 1. Relaciones entre los circuitos utilizados para enunciar la ley de Ampere. Dos circuitos que conducen corrientes ejercerán, fuerzas el uno sobre el otro. Estas fuerzas se pueden calcular a través de la Ley de Ampere. Sin embargo, para estudiar las fuerzas magnéticas es conveniente expresar las fuerzas en función de los cambios de energía. Para expresar esta cuestión de manera simple, se consideraran únicamente dos circuitos, ya que será suficiente para ilustrar las características generales necesarias. Debemos considerar 𝑭𝐶´→𝐶 + 𝑭𝐶,𝑚 = 0 Recordemos que esto significa que C puede estar en equilibrio, pero se requiere de 𝑭𝐶,𝑚 (fuerza mecánica adicional). Aunque en este caso 𝑭𝑚 sobre C debe estar balanceada por otra fuerza igual y opuesta 𝑭𝑚𝑒𝑐.

Fuerza magnética sobre circuitos: condiciones de desplazamiento Si se observa que el cambio total de energía es la suma del cambio de la energía magnética, 𝑑𝑈𝑚 , y el de las baterías 𝑑𝑈𝐵 ⇒ 𝑑𝑈𝑡 = 𝑑𝑈𝑚 + 𝑑𝑈𝐵

1. Corrientes constantes. Podemos usar 𝑈 𝑚

1 2 σ 𝑗

𝑗

𝑗 para expresar 𝐼 e 𝐼 ′ como 𝑈 𝑚

1 2

′ Φ ′ , si estos son constantes, se tiene que 𝑑𝑈 𝑚

1 2

′ 𝑑Φ ′

. Si consideramos que cualquier trabajo realizado por la batería representa una disminución de energía, se obtiene 𝑑𝑈 𝐵

𝑒𝑥𝑡

′ 𝑑Φ ′ = −2𝑑𝑈 𝑚 Que es del signo contrario a la de los circuitos y con el doble de magnitud.

Fuerza magnética sobre circuitos: condiciones de desplazamiento Si sustituimos en 𝑑𝑈𝑡 = 𝑑𝑈𝑚 + 𝑑𝑈𝐵 se obtiene que 𝑑𝑈𝑡 = −𝑑𝑈𝑚. Así es como podemos escribir 𝑭 𝑚

𝑡

𝑚 𝐼 Para corrientes constantes. Las corrientes de mantienen constantes mientras se calculan las derivadas. El estado de equilibrio para el caso de corrientes constantes 𝐹𝑚 = 0 corresponderá a un valor máximo de la energía magnética. Podemos considerar 𝑈𝑚 = 1 2

2

• 𝑀𝐼𝐼 ′

1 2

2 .siendo M la inductancia mutua. Considerando 𝐿𝑗𝑗 = 𝐿𝑗 = 𝐿 = 𝜇 0 4𝜋

𝑑𝒔𝑗∙𝑑𝒔𝑗 ′ 𝑹𝑗𝑗 , esto nos muestra que la forma de los circuitos no cambia, de modo que las autoinductancias permanecen constantes. Por lo tanto M, es la única cantidad afectada por el desplazamiento ⟹ 𝑭 𝑚

Fuerza magnética sobre circuitos: condiciones de desplazamiento Sustituyendo valores en 𝑈𝑚 = 1 2 𝐼Φ + 𝐼 ′ Φ ′ , según 𝑈𝑚 = 1 2 σ 𝑗 𝐼𝑗Φ𝑗^. Nos queda 𝑈𝑚 = 1 𝐿𝐿 ′ − 𝑀 2 1 2 𝐿 ′ Φ 2 − 𝑀ΦΦ ′

1 2 𝐿Φ ′ Si derivamos esta expresión recordando que todo, excepto M es constante 𝜕𝑈𝑚 𝜕𝑥 Φ = 1 /(𝐿𝐿 ′ − 𝑀 2 ) 2 𝑀𝐿 ′ Φ 2 − 𝐿𝐿 ′

• 𝑀 2 ΦΦ ′
• 𝑀𝐿Φ ′ 𝜕𝑴 𝜕𝑥 = −𝑰𝑰 ′ 𝜕𝑴 𝜕𝑥 Por lo tanto, la componente x es 𝐹𝑚𝑥 = − 𝜕𝑈𝑚 𝜕𝑥 Φ = 𝑰𝑰′ 𝜕𝑴 𝜕𝑥

ejemplo Ley de Ampere. 𝑭𝑚 = 𝑰𝑰′∇𝑴 esta ecuación debe expresar lo mismo que la ley de Ampere. Si sustituimos 𝑀𝑘𝑗 = 𝜇 0 4𝜋 ׯ ׯ 𝑑𝒔𝑘∙𝑑𝒔𝑗 𝑅𝑘𝑗 en la ec. Mencionada, se obtiene 𝑭𝑚 = 𝜇 0 𝑰𝑰′ 4𝜋 ∇ ර ර 𝑑𝒔 ∙ 𝑑𝒔 ′ 𝑅 La única variable a considerar es R. Por ello, podemos utilizar ∇ × 𝐴 = ෝ𝒙 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝑧

• 𝒚ෝ 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑥
• 𝒛ො 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑦 Y así obtener 𝐹𝑚 = 𝜇 0 𝑰𝑰′ 4𝜋 ∇ ර ර 𝑑𝒔 ∙ 𝑑𝒔 ′ ∇ 1 𝑅 = 𝜇 0 𝑰𝑰′ 4𝜋 ර ර 𝑑𝒔 ∙ 𝑑𝒔 ′ (^) ෡ 𝑹 𝑅^2 Que es una equivalencia de la ley de Ampere para el calculo de la fuerza total sobre C.

ejemplo

Usando 𝑭𝑚𝑥 = 𝑰𝑰′

𝜕𝑴 𝜕𝑥

. Se encuentra que la fuerza es, tomando en cuenta 𝐵𝑖 = 𝜇 0 𝑲 = 𝜇 0 𝑛𝑰

𝑚𝑥

0

′

′

′

0

Expresa la fuerza en función de las inducciones producidas por cada solenoide. Hay que considerar que I e I’ circulan en su

respectivo solenoide en el mismo sentido, el flujo será positivo, por lo que M igual lo será. El solenoide interior será atraído

por el exterior.