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NM1: FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las multiplicaciones :
- 2x(x 2 - 3x + 2) = 2x 3 - 6x 2 + 4x
- (x + 7)(x + 5) = x
2
entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a
factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que
puedas sobre lo que vamos a trabajar.
Existen varios casos de factorización :
1. FACTOR COMUN MONOMIO:
Factor común monomio : es el factor que está presente en cada término del polinomio :
Ejemplo N 1: ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6 ·2x + 6 · 3y - 6 · 4z = 6 (2x + 3y - 4z )
Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a
2
- 15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a
2
- 15ab - 10 ac = 5a ·a - 5a ·3b - 5a · 2c = 5a (a - 3b - 2c )
Ejemplo N 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x 2 y - 30xy 2
El factor común es “ 6xy “ porque 6x 2 y - 30xy 2
- 12x 2 y 2 = 6xy(x - 5y + 2xy )
Realiza tú los siguientes ejercicios :
EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :
- 6x - 12 = 2. 4x - 8y =
- 24a - 12ab = 4. 10x - 15x
2
- 14m
2 n + 7mn = 6. 4m
2 -20 am =
- 8a
3
2 = 8. ax + bx + cx =
- b
4 -b
3 = 10. 4a
3 bx - 4bx =
- 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =
- 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x
4
3
2
- 10x
2 y - 15xy
2
2 n + 24m
3 n
2
4 n
3
- 2x
2
3
4 = 18. 10p
2 q
3
3 q
2
4 q
3
5 q
4
- m
3 n
2 p
4
4 n
3 p
5
6 n
4 p
4
2 n
4 p
3
20.^2 2 9
8 4
3 x y xy
21.^23 3 4 ^25 ^42
16
1 8
1 4
1 2
1 ab ab ab ab
- a^2 b ab a^2 b^3 a^3 b 25
16 15
8 5
12 35
4
2. FACTOR COMUN POLINOMIO:
Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :
EJEMPLO N 1.
Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es (a + b ) = x (a + b ) + y ( a + b ) =
= ( a + b ) ( x + y )
EJEMPLO N 2.
Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
= 2a (m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )
EJERCICIOS
- a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
- x
2 ( p + q ) + y
2 ( p + q ) = 26. ( a
2
2
- ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
- (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
- (a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO
Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO N1.
Factoriza ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “ p ” de los dos primeros términos y “ q ” de los dos últimos
p (a + b ) + q ( a + b )
Se saca factor común polinomio
( a + b ) ( p + q )
EJERCICIOS :
- a
2
- ab + ax + bx = 34. ab + 3a + 2b + 6 =
- ab - 2a - 5b + 10 = 36. 2ab + 2a - b - 1 =
- am - bm + an - bn = 38. 3x
3
2
- 3x
2
- 3bx + xy - by = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 =
- 3a - b
2
2 x - 6ax = 42. a
3
2
- ac - a - bc + b + c
2
- 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c
2
- ax - ay - bx + by - cx + cy =
- 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
- 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
- x xz xy yz 5 x 7 z 3
143 3
10 4
21 4
(^15 )
- am am bm bn 5
16
5
4
3
8
3
2
- FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c
El trinomio de la forma x
2
- bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el
siguiente proceso :
EJEMPLO N 1. Descomponer **x 2
1 Hallar dos factores que den el primer término x · x
2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
1 · 5 ó -1 ·-
pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + 5 )
EJEMPLO Nº 2:
Factorizar x
**2
2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x
2 : x · x
2º Hallar los divisores de 12y
2 , éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y ó 4y · -3y ó -4y · 3y ó 12y · -y ó -12y · y
pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y y -2y, es decir
x
**2
2 = ( x + 6y )( x - 2y )
EJERCICIOS :
con el signo del segundo término -5 · -
luego la factorización de 9x
2
- 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )
2
EJERCICIOS :
- b 2
- 12b + 36 = 96. 25x 2 + 70xy + 49y 2 =
- m 2
- 2m + 1 = 98. x 2 + 10x + 25 =
- 16m 2
- 40mn + 25n 2 = 100. 49x 2 - 14x + 1 =
- 36x 2
- 84xy + 49y 2 = 102. 4a 2 + 4a + 1 =
- 1 + 6ª + 9a 2 = 104. 25m 2 - 70 mn + 49n 2 =
- 25a 2 c 2 + 20acd + 4d 2 = 106. 289a 2 + 68abc + 4b 2 c 2 =
- 16x 6 y 8 - 8 x 3 y 4 z 7 + z 14 =
EJERCICIOS DIVERSOS:
- 2ab + 4a 2 b - 6ab 2 = 109. 2xy 2 - 5xy + 10x 2 y - 5x 2 y 2 =
- b 2
- 3b - 28 = 111. a 2 + 6a + 8 =
- 5a + 25ab = 113. bx - ab + x 2
- 6x 2
- 4ax - 9bx + 6ab = 115. ax + ay + x + y =
- 8x 2
- 128 = 117. 4 - 12y + 9y 2 =
- x 4
- y 2 = 119. x 2 + 2x + 1 - y 2 =
- (a + b ) 2
- ( c + d) 2 = 121. a 2 + 12ab + 36b 2 =
- 36m 2
- 12mn + n 2 = 123. x 16 - y 16 =
FACTORIZACIÓN PARA LOS FUTUROS MATEMÁTICOS.
1. DIFERENCIA DE CUBOS : a 3 - b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )
Ejemplo : 8 – x 3 = (2 – x)(4 + 2x + x 2 )
2. SUMA DE CUBOS: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 )
Ejemplo : 27a
3
2
- 64 – x
3 = 126. 8a
3 b
3
- 27m
3
6 = 128. x
6
6
x = 130. 64
x =
