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FADE ejercicios diagonalizacion, Ejercicios de Fundamentos del Negocio

Universidad Complutense de Madrid (UCM)Fundamentos del Negocio

fade ejercicios diafonalizcfjeprierofjiml

Tipo: Ejercicios

2022/2023

Subido el 04/11/2024

ines-kxu
ines-kxu 🇪🇸

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MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II
Aplicaciones de la diagonalizacion: Sistemas de ecuaciones diferenciales
1) Calcular la solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales siguientes
a) x0= 2x+y
y0=x+ 2y;con las condiciones iniciales x(0) = 1,y(0) = 5.
b) x0= 2x+y
y0=x+ 2y;con las condiciones iniciales x(0) = 3,y(0) = 2.
c) 8
<
:
x0=x+z
y0=y
z0=x+ 4yz
;con las condiciones iniciales x(0) = 0,y(0) = 3,z(0) = 0.
d) 8
<
:
x0= 5x3z
y0=3x+ 2y+ 3z
z0= 6x4z
;con las condiciones iniciales x(0) = 1,y(0) = 0,z(0) = 3.
e) 8
<
:
x0=x+y+z
y0=2y+ 2z
z0=4y+ 2z
;con las condiciones iniciales x(0) = 1,y(0) = 0,z(0) = 2.
Solución:
a) x(t) = 2et+ 3e3t,y(t) = 2et+ 3e3t.
b) x(t) = 2e2tsen t+ 3e2tcos t,y(t) = 2e2tcos t3e2tsen t.
c) x(t) = 4et6+2e2t,y(t) = 3et; z(t) = 8et62e2t.
d) x(t) = 2ete2t; y(t) = 2et+ 2e2t; z(t) = 4ete2t.
e) x(t) = 3et2 cos(2t); y(t) = 2 sen(2t); z(t) = 2 cos(2t) + 2 sen(2t):
Aplicaciones de la diagonalizacion: Procesos secuenciales lineales
1) Una empresa de transportes tiene su ‡ota de camiones repartida entre dos ciudades Ay
B. De los camiones que hay en Aal principio de cada mes 2=3vuelven a Aal …nal del mismo
mes y el resto a B. De los que hay en B,3=4partes vuelven a By el resto a A.
Si inicialmente hay el mismo número de camiones en Ay en B, determinese el porcentaje
de camiones que hay en Aal cabo de in…nitos meses.
Solución: 3=7de los camiones estarán en A y 4=7en B.
2) Se introduce a un ratón en el laberinto siguiente
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MATEM¡TICAS EMPRESARIALES II

Aplicaciones de la diagonalizacion: Sistemas de ecuaciones diferenciales

  1. Calcular la soluciÛn de los sistemas de ecuaciones diferenciales siguientes

a)

x^0 = 2 x + y y^0 = x + 2y ; con las condiciones iniciales x(0) = 1, y(0) = 5.

b)

x^0 = 2 x + y y^0 = x + 2y ; con las condiciones iniciales x(0) = 3, y(0) = 2.

c)

x^0 = x + z y^0 = y z^0 = x + 4y z

; con las condiciones iniciales x(0) = 0, y(0) = 3, z(0) = 0.

d)

x^0 = 5 x 3 z y^0 = 3 x + 2y + 3z z^0 = 6 x 4 z

; con las condiciones iniciales x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 3.

e)

x^0 = x + y + z y^0 = 2 y + 2z z^0 = 4 y + 2z

; con las condiciones iniciales x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 2.

SoluciÛn: a) x(t) = 2 et^ + 3e^3 t, y(t) = 2et^ + 3e^3 t. b) x(t) = 2e^2 t^ sen t + 3e^2 t^ cos t, y(t) = 2e^2 t^ cos t 3 e^2 t^ sen t. c) x(t) = 4et^ 6 + 2e^2 t, y(t) = 3et; z(t) = 8et^ 6 2 e^2 t. d) x(t) = 2et^ e^2 t; y(t) = 2 et^ + 2e^2 t; z(t) = 4et^ e^2 t. e) x(t) = 3et^ 2 cos(2t); y(t) = 2 sen(2t); z(t) = 2 cos(2t) + 2 sen(2t):

Aplicaciones de la diagonalizacion: Procesos secuenciales lineales

  1. Una empresa de transportes tiene su áota de camiones repartida entre dos ciudades A y B. De los camiones que hay en A al principio de cada mes 2 = 3 vuelven a A al Önal del mismo mes y el resto a B. De los que hay en B, 3 = 4 partes vuelven a B y el resto a A. Si inicialmente hay el mismo n˙mero de camiones en A y en B, determinese el porcentaje de camiones que hay en A al cabo de inÖnitos meses. SoluciÛn: 3 = 7 de los camiones estar·n en A y 4 = 7 en B.

  2. Se introduce a un ratÛn en el laberinto siguiente

Cada minuto se abren las puertas y el ratÛn puede pasar por cada una de las puertas de la habitaciÛn en la que se encuentra con igual probabilidad. a) Determinar la probabilidad de encontrar al ratÛn en cada habitaciÛn pasado mucho tiempo. b) Podemos apostar dÛnde est· el ratÛn, de forma que si apostamos a que est· en una habitaciÛn y acertamos recibimos 5 euros si es la habitaciÛn A, 3 euros si es la habitaciÛn B, y 4 euros si es la habitaciÛn C. Pasado mucho tiempo, øa quÈ habitaciÛn es m·s rentable apostar? SoluciÛn: a) Estar· en A con probabilidad 1 = 4 , en B con probabilidad 3 = 8 y en C con probabilidad 3 = 8. b) Es m·s rentable la habitaciÛn C.

  1. En una poblaciÛn se clasiÖcan los dÌas en funciÛn de su climatologÌa en tres categorÌas: Soleado, nublado y lluvioso. Bas·ndonos en datos histÛricos concluimos que: Si un dÌa es soleado, la probabilidad de que el siguiente sea soleado es 1/2 y la de que sea nublado es 1/2. Si un dÌa es nublado, el siguiente puede ser soleado con probabilidad 1/2, lluvioso con probabilidad 1/4 y nublado con probabilidad 1/4. Si un dÌa es lluvioso, el siguiente puede ser lluvioso o nublado con probabilidad 1/2 cada uno. A tiempos largos, øcu·l ser· el porcentaje de dÌas soleados, nublados y lluviosos?

SoluciÛn: (2= 5 ; 2 = 5 ; 1 =5)

  1. Consideremos el tablero de la Ögura

*& 3 1 2

Un Öcha parte de la casilla n˙mero 1. En cada turno la Öcha avanza una, dos o tres casillas con igual probabilidad. Si la Öcha cae en la casilla marcada con  pasa directamente a la casilla n˙mero 2. a) Calcular la probabilidad de que una Öcha se encuentre en cada una de las casillas 1,2 y 3 pasado mucho tiempo. b) Podemos situar un hotel en cada casilla de forma que si la Öcha cae en esa casilla tiene que pagar el precio del hotel. øQuÈ es m·s rentable, un hotel en la casilla 1 con un precio de 100 euros o uno en la casilla 2 con un precio de 60 euros? SoluciÛn: a) Estar· en la casilla 1 con probabilidad 1/4, en 2 con probablidad 1/2 y en 3 con probabilidad 1/4. b) Es m·s rentable el hotel en la casilla 2.

  1. Una empresa de transportes dispone de una áota de 300 camiones para realizar envios. Los envios pueden ser de dos tipos:
  • de corto recorrido. El camiÛn lleva el envio a su destino y est· disponible para hacer otro envÌo al dia siguiente.
  • de largo recorrido. El camiÛn necesita un dÌa para llegar al destino y otro para volver, asÌ que est· disponible para hacer otro envÌo dos dÌas m·s tarde.
  1. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Si una matriz de Markov 2  2 cumple tr A = 3= 2 , øes A diagonalizable? øEs convergente el proceso Yn+1 = AYn? b) Si una matriz cumple det A = 5, øes A una matriz de Markov? c) Si una matriz A 3  3 cumple tr A = 2 y jAj < 0 , øes A una matriz de Markov? d) Si A es una matriz de Markov 3  3 y tr A = 3= 2 , det A = 0, øEs diagonalizable A? øExiste lim n! An? e) De una matriz 3  3 sabemos que A es matriz de Markov, A no es diagonalizable (en sentido complejo) y tr A = 0. Calcular el determinante de A. f) Si de una matriz A sabemos que pA() = ^3 + 3^2 2 , f 1 ) øes diagonalizable A? f 2 )øEs A matriz de Markov? f 3 ) Si A es la matriz asociada a una forma cuadr·tica Q , determinar el signo de Q. f 4 ) Si B = eA^2 , øexiste lim n! Bn?.