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Por Jorge Rodríguez Hernández, Dipl.-Ing. Profesor de la Sección de Ingeniería Mecánica Pontificia Universidad Católica del Perú
CAPÍTULO 3: FATIGA
3.1 Introducción
Hasta ahora se han estudiado tanto el análisis de esfuerzos como el diseño de elementos sometidos a cargas estáticas, es decir, cargas que no varían en el tiempo. Sin embargo, el comportamiento de las piezas cuando están sometidas a cargas variables en el tiempo es completamente diferente y por ello es necesario hacer el estudio de dicho comportamiento de tal manera que los elementos diseñados resistan con seguridad tales cargas.
El estudio de la fatiga es un tópico muy importante dentro de la Ingeniería Mecánica pues muchos de los elementos de máquinas son sometidos durante el trabajo a esfuerzos que varían cíclicamente en función del tiempo. Como ejemplos se pueden mencionar las partes de un mecanismo de biela-manivela de un motor de combustión interna (Fig. 3.1), las cuales se encuentran solicitadas por fuerzas que varían periódicamente. La ley de variación de estas fuerzas se determina a partir del análisis de la variación de presión al interior del cilindro, así como del análisis cinemático del mecanismo. Otro ejemplo es el de los ejes de transmisión de una caja reductora de velocidades (Fig. 3.2), en los cuales los esfuerzos debidos a flexión son cíclicos aún cuando las cargas exteriores son constantes en el tiempo.
Fig. 3.2 Sección de una caja reductora de velocidades.
Fig. 3.1 Sección de un motor de combustión interna.
3.2 Falla por fatiga
Hay casos en que se analizan elementos de máquinas que han fallado bajo la acción de esfuerzos repetidos o variados en el tiempo. Un análisis correspondiente de falla muestra que los esfuerzos máximos reales estaban por debajo del esfuerzo máximo o de rotura del material, o lo que es aún más sorprendente, por debajo del esfuerzo de fluencia. El común denominador de estas fallas es que los esfuerzos fluctuaron en el tiempo. A este tipo de falla se le denomina falla por fatiga.
En un principio se pensó que este tipo de falla estaba relacionado con una variación de la estructura cristalina debido a la acción de cargas variables y por ello recibió el nombre de fatiga. Sin embargo, investigaciones posteriores han determinado que en el progreso de una falla por fatiga no se produce variación de la estructura del metal. A pesar de ello se ha mantenido por tradición el nombre de fatiga para este fenómeno.
La falla por fatiga tiene un inicio de carácter local. Ella comienza con una grieta microscópica que no es posible de percibir a simple vista. Es más, aún utilizando técnicas de inspección como rayos X o ultrasonido es muy difícil localizar dichas microgrietas. Normalmente estas grietas se originan en puntos de discontinuidad del material, tales como un cambio brusco de sección, un canal, un orificio o hasta en alguna irregularidad causada por el maquinado, lo cual produce, como se vio en el anterior capítulo, concentración de esfuerzos. Una grieta puede también originarse al interior del material en una dislocadura intercristalina, por ejemplo, o en una irregularidad causada por el proceso de fabricación. Una vez formada una grieta, el esfuerzo variable la hace crecer y con ello aumenta su efecto concentrador de esfuerzos. Al crecer la grieta disminuye el área que soporta el esfuerzo y ello conlleva al crecimiento del esfuerzo neto. En algún momento el área ha disminuido tanto que ya no es capaz de soportar el esfuerzo y se rompe bruscamente. En la figura 3.3 se muestran tres ejemplos diferentes de sección fracturada por fatiga.
Zona de rotura frágil
Zona de rotura frágil
Zona de rotura por fatiga
(b)
Zona de rotura por fatiga
Zona de r frágil
otura (a)
Líneas de avance de la grieta Líneas de avance de la grieta Zona de rotura por fatiga
Zona de rotura frágil
Líneas de avance de la grieta
(c)
Fig. 3.3 Características de la rotura por fatiga. a) eje trasero de automóvil, b) eje cigüeñal y c) eje de caja reductora de velocidades.
Los métodos de análisis son una combinación de ciencia e ingeniería, pues a menudo aquella no puede proporcionar las respuestas que se necesitan y, sin embargo, deben seguir haciéndose aviones para que vuelen sin peligro, y un automóvil debe fabricarse con una confiabilidad que asegure una vida larga, sin averías y, al mismo tiempo, produzca utilidades a los accionistas de la industria. El caso de la fatiga es similar. La ciencia no ha podido todavía explicar completamente el mecanismo real de la fatiga, pero el ingeniero tiene que seguir creando cosas que no fallen debido a fatiga. En cierto sentido, éste es un ejemplo clásico del verdadero sentido de la ingeniería, en contraste con el de la ciencia. Los ingenieros emplean la ciencia para resolver sus problemas, si es factible utilizarla; pero lo sea o no, debe resolverse el problema y, cualquiera que sea la forma que tome la solución en estas condiciones, es lo que se denomina Ingeniería.
3.3 Nomenclatura
En general un cierto elemento de máquina tendrá una ley de variación de cargas, y por consiguiente de esfuerzos, de acuerdo al funcionamiento de la máquina a la que pertenece, es decir, de acuerdo al movimiento particular que realiza durante la operación de la máquina. Por consiguiente, es de esperar que los esfuerzos sean cíclicos y que dentro de un
ciclo característico se presente un esfuerzo máximo denominado esfuerzo superior ( σs) y
un esfuerzo mínimo denominado esfuerzo inferior ( σi). Según sea la relación entre ellos su
efecto sobre el elemento solicitado será diferente.
Las investigaciones sobre la fatiga muestran que el proceso de formación de una grieta está relacionada con la acumulación de deformaciones plásticas y éstas son consecuencia de los valores de los esfuerzos superior e inferior. Por consiguiente el mecanismo de falla por fatiga es independiente de la forma que tenga la “onda” de esfuerzo y sólo interesan los valores de esfuerzo mencionados.
Por consiguiente se pueden representar los esfuerzos variables, cualquiera sea la forma de variación, como una onda que varía entre un valor máximo y otro mínimo de esfuerzo (ver Fig. 3.4).
Campo pulsatorio (Compresión) Campo alternante
Campo pulsatorio (Tracción)
Fig. 3.4 Tipos de esfuerzo variable.
Para analizar la resistencia a la fatiga de elementos sometidos a esfuerzos variables o fluctuantes se procederá a descomponer el esfuerzo en dos componentes, una correspondiente a un esfuerzo estático (sin variación en el tiempo) y que se denomina componente estática del esfuerzo o esfuerzo medio y otra correspondiente a un esfuerzo alternante que se denomina componente alternante o esfuerzo alternante (ver Figs. 3.5 y 3.6).
σ σ
σ i
σ m σ a
σ a σ s
σ m σ i
σ a
σ a σ s
t t
Fig. 3.5 Esfuerzo variable en el campo pulsatorio.
Fig. 3.6 Esfuerzo variable en el campo alternante.
En el presente capítulo utilizaremos la siguiente nomenclatura 1):
σ s : esfuerzo superior o máximo
σ i : esfuerzo inferior o mínimo
σ m : esfuerzo medio o componente estática del esfuerzo
σ a : esfuerzo alternante o amplitud del esfuerzo
En general se cumplirán las siguientes relaciones:
m = s^ + i 2
(3.1)
a = s^ − i 2
(3.2)
o expresado de otra manera:
- Esfuerzo superior: σ s = σ m + σ a (3.3)
- Esfuerzo alternante: σ s = σ m - σ a (3.4)
Se define el coeficiente de asimetría del ciclo como:
κ
σ σ
= i s
(3.5)
- (^) En este capítulo y en general en todos los que abarca nuestro curso utilizaremos subíndices minúscula
para denotar esfuerzos en el material (también denominados esfuerzos de trabajo), y subíndices mayúscula para los límites de resistencia del material. Así por ejemplo, mientras σ a denota la amplitud del esfuerzo de trabajo (componente alternante), σ A denota el límite de la amplitud para un cierto material y para N ciclos de carga.
N=10 6 logN
log ?A
log ?Alt ?m^ = 0
O
log 0,9 ?B
N=10^3
Fig. 3.10 Diagrama de Wöhler.
N
σA
σAlt^ σm^ = 0
x
x
x x x (^) x x (^) x (^) x (^) x x (^) x x
Vida finita Vida infinita
Se suele representar los mencionados resultados en escala semilogarítmica o logarítmica, de tal manera que la curva se convierte en dos tramos rectos: uno inclinado y otro horizontal (ver figura 3.11).
Fig. 3.11 Diagrama de Wöhler en escala logarítmica.
La resistencia a la fatiga se define como el valor máximo del esfuerzo alternante que resistirá sin fallar un material para un número dado de ciclos de carga. Por consiguiente, la resistencia a la fatiga está siempre ligada a una cierta vida del elemento expresada en número de ciclos de carga.
Las curvas de Wöhler están determinadas usualmente en un intervalo de aproximadamente 105 ... 10^8 ciclos. Sólo para algunas aplicaciones especiales se utiliza la resistencia a la fatiga para ensayos de menos de 10^4 ciclos. Hay algunos materiales para los que la falla ocurre muy rara vez después de ensayos de más de un millón de ciclos, incluso si los ensayos se prolongan a 10^8 o más ciclos.
El diagrama de Wöhler presenta una línea inclinada, en la cual las probetas se rompen, y otra horizontal por debajo de la cual las probetas no se rompen. La solicitación a la cual la curva es horizontal se conoce como límite de fatiga. La fig. 3.12 muestra la curva de Wöhler para un acero suave laminado en frio, para el cual el límite de fatiga es de aproximadamente 19,5 ton/pulg^2 (302 N/mm^2 ). Ello implica, como ya se dijo, que una probeta de ese material sometida a un esfuerzo por debajo de ese valor, podría girar indefinidamente sin fallar por fatiga, o lo que es lo mismo, tendría vida infinita.
Fig. 3.12 Diagrama de Wöhler para acero suave laminado en frio.
Los metales para los cuales existe un límite de fatiga son, entre otros, los aceros de baja y mediana resistencia, los aceros inoxidables, el hierro forjado y la fundición, las aleaciones de aluminio-magnesio y algunas aleaciones de titanio.
Como se podrá comprobar en el siguiente curso de Laboratorio de Resistencia de Materiales 2A, un rasgo característico del comportamiento a la fatiga es la dispersión en los resultados de los ensayos. Esta dispersión se puede atribuir a errores experimentales, como una defectuosa alineación de la probeta o una determinación inexacta del valor del esfuerzo, sin embargo, parece ser cierto que la dispersión de resultados es una característica inherente al comportamiento a la fatiga. Las figura 3.13 a 3.16 muestran curvas de Wöhler para diferentes materiales metálicos
Fig. 3.13 Curva de Wöhler para aleación de aluminio 26-S tratada térmicamente.
Fig. 3.16 Diagrama de Wöhler para diversas aleaciones de aluminio.
Existe una gran cantidad de datos publicados acerca de resultados obtenidos mediante pruebas con la máquina de flexión rotatoria y ensayos de tracción simple. Al graficarlos (Fig. 3.17) se observa que existe una cierta correlación entre ambos conjuntos de
resultados. La gráfica indica que el límite de resistencia a la fatiga ( σ Alt ) varía para los
aceros, desde aproximadamente 40 a 60% de la resistencia máxima a la tracción ( σ B ) hasta
un valor cercano para σ B de aproximadamente 200 kpsi (1400 N/mm^2 ).
0,
0,
σAlt/σB = 0,
σ Alt [kpsi]
σ B [kpsi]
Fig. 3.17 Gráfica de límites de fatiga en función de resistencias a la tracción para aceros al carbono, aceros forjados y hierros fundidos. [Ref. Fatigue Design Handbook, SAE]
Debe quedarnos muy en claro, entonces, que esta diseminación de los valores de los límites de la resistencia a la fatiga deberá ser tenida en cuenta al momento que se elijan factores de seguridad. En la tabla 3.1 se puede ver que la resistencia a la fatiga depende además de la microestructura de los materiales. Se puede decir que en general las
microestructuras más dúctiles tienen las relaciones más altas de σ Alt / σ B. La martensita es
muy quebradiza y muy susceptible al agrietamiento inducido por fatiga; así que el valor de
σ Alt / σ B es bajo.
Tabla 3.1 Relación σ Alt / σ B para diversas microestructuras de acero.
Ferrita Perlita Martensita intervalo promedio intervalo promedi intervalo promedio Acero al carbono 0,57 - 0,63 0,60 0,38 - 0,41 0,40 --- 0, Acero aleado --- --- --- --- 0,23 - 0,47 0,
En las tablas anexas A y B se muestran valores de esfuerzo alternante σ Alt para cargas de
tracción-compresión ( σ Alt ), de flexión ( σ f Alt ) y de torsión ( τ t Alt ). En dichas tablas se
presentan también valores de lo que se denomina esfuerzo pulsante ( σ Pul ), el cual resulta
ser un valor característico (ver Figura 3.22) interesante en el cálculo por fatiga y que será utilizado en diversos temas como por ejemplo en el cálculo por fatiga de uniones soldadas en el siguiente curso de Elementos de Máquinas 1.
Si no se dispone de valores más exactos para materiales que no están contenidos en las mencionada tablas, se pueden recomendar, como aproximación, los valores mostrados en la Tabla 3.2 para el cálculo por fatiga.
Tabla 3.2 Valores aproximados de esfuerzo alternante para aceros, hierros y aceros fundidos.
Material σ Alt
Aceros σAlt = 0,5 σB si σB ≤ 1400 N/mm^2 σAlt = 700 N/mm^2 si σB > 1400 N/mm^2
hierros y aceros fundidos σAlt = 0,45 σB si σB ≤ 600 N/mm^2 σAlt = 275 N/mm^2 si σB > 600 N/mm^2
En realidad no existe una relación matemática general válida entre los valores de
resistencia a la fatiga y los valores de esfuerzo máximo a la tracción ( σB), esfuerzo de
fluencia ( σF) y esfuerzo convencional ( σ0,2) obtenidos a través de ensayos de tracción, sin
embargo, según sea el material se pueden establecer ciertas relaciones referenciales aproximativas, como lo muestra la tabla 3.3.
En dicha tabla se pueden observar algunas relaciones interesantes entre los límites de resistencia a la fatiga para diversos tipos de carga y los límites obtenidos de ensayos de tracción para varios materiales de común uso en ingeniería mecánica.
Tabla 3.3 (Continuación ...)
Valores de Resistencia σ t,c Alt σ f Alt τ t Alt E G σ B σ B, σ 0,2 σ cB σ fB
Aleaciones de Cu
G-CuSn12 260 140 - - 50 60 35 90 000 33 000
G-CuZn33Pb 180 70 - - 30 40 25 90 000 33 000
G-CuAl 10Ni 600 270 - - 110 140 85 120 000 45 000
CuZn39Pb3F44 430 250 - - 80 100 60 95 000 35 000
Aleaciones de Al
Al Mg3F25 250 180 - - 80 100 60
AlMgSi1F31 310 260 - - 100 125 80
AlCuMgPbF37 370 250 - - 120 150 90
AlZn4.5Mg1F35 350 290 - - 110 140 85 70 000 27 000
G-AlSi6Cu4 160 100 - - 45 55 35
G-AlSi12 160 70 - - 50 60 40
G-AlSi10Mgwa 220 180 - - 80 100 60
Aleaciones fundidas de Mg G-MgAl8Zn1 160 90 - - 65 80 50 43 000 16 000
G-MgAl9Zn1ho 240 110 - - 70 90 55
Aleaciones de Ti TiAl6V4F89 890 820 - - - - - 116 000 43 000
Aceros sinterizados^ σ 0, Sint-C10 (6,6 g/cm^3 ) 230 160 85 100 000
Sint-D10 (6,9 g/cm^3 ) 300 210 120 130 000
Sint-E10 (7,3 g/cm^3 ) 400 290 175 160 000
Sint-F30 (bonificado) 950 800 320 200 000
Termoplásticos
PVC duro 50 - - 95 10 15 - 2 300 900
POM 70 - - 100 20 30 - 2 800 1 000
PA6.6 65 - - 50 30 30 - 2 000 750
Duroplásticos 3)
PF Typ 31 25 - 200 70 10 15 - 7 000 2500
Hgw 2082.5 60 - 150 115 18 25 -
Fuente : Roloff & Matek, Maschinenelemente, Vieweg Verlag, Braunschweig 1996
3) (^) Estos valores son válidos para 20°C. Ellos disminuyen fuertemente para temperaturas crecientes.
3.5 Construcción aproximada del diagrama de Wöhler
Para efectos del diseño por resistencia, si no se dispone de datos exactos para el material con que se trabaja, se puede construir un diagrama de Wöhler aproximado. Este diagrama se muestra en la figura 3.17.
log 10^3 log 10^6 log^ N
log σA
log σAlt
log 0,9σB
σm = 0
Fig. 3.17 Diagrama aproximado de Wöhler para σm = 0.
Recordar que el valor que corresponde a la amplitud límite para obtener vida ilimitada se
denomina en este caso límite de fatiga o esfuerzo límite alternante ( σAlt). Se debe notar,
además, que el diagrama mostrado corresponde a esfuerzos alternantes puros, es decir a
una componente estática nula ( σm = 0). Si se requiere el diagrama para un esfuerzo con una
determinada componente estática no nula ( σm ≠ 0), entonces se deberá proceder como lo
indica la figura 3.18.
log 10^3 log 10^6 log N
log σA
log σA( )
log (0,9σB - σm)
σm = 0
Fig. 3.18 Diagrama aproximado de Wöhler para σm ≠ 0.
El valor que corresponde a la amplitud límite para obtener vida ilimitada se denomina, en
este caso, amplitud límite para un valor específico de σm y se denota por σA(∞).
Hasta aquí debe resultar claro, entonces, que si disponemos de curvas de Wöhler para un
cierto material y para diferentes valores de σm, entonces contamos con cierta información
que nos permitirá limitar la amplitud de los esfuerzos de trabajo de un cierto elemento, que es ciertamente lo que estamos buscando. Sin embargo, se pueden presentar los resultados de los diagramas de Wöhler de una mejor manera, en el sentido de hacerlos más fáciles de utilizar. Ello se logra a través del denominado diagrama de Smith.
Ejemplo 3.2 En una máquina de flexión rotatoria se ensaya una probeta de fatiga de diámetro φ10 mm en su parte media. El momento flector en la zona central de la probeta es Mf = 30 000 N-m (constante) y además actúa una fuerza axial de tracción Ft = 4000 N (constante). Sabiendo que el material es acero
St 52 ( σ B = 520 N/mm^2 ) y conociendo además el diagrama de Wöhler
mostrado, se pide: σ A [ N/mm 2 ]
Ν
σ m= 50,93 N/mm 2 σ A (∞)= 190
a) Decir si la probeta fallará o no por fatiga. b) En caso de falla, estimar el número de revoluciones de la probeta al momento de la rotura por fatiga.
Solución:
a) Cualquier punto de la periferia de la sección central de la probeta está sometida a un esfuerzo variable que es resultado de la superposición de un esfuerzo alternante (flexión rotatoria) más un esfuerzo constante (tracción) esquematizado según:
σ m = t 2 t
d
4 F
A
F
= = 50,93 N/mm^2
σ a = 305 , 58
π d^3 = π^3 =
M (^) f N/mm^2
Como σ a = 305 , 58 N/mm^2 > σ A (∞) = 190 N/mm^2 ⇒ falla por fatiga
b) En la siguiente figura se muestra la forma que tendría el diagrama aproximado de
Wöhler para el caso de σ m = 50,93 N/mm^2. Aquí se ha considerado σ B = 520 N/mm^2.
Si σ a = 305,58 N/mm^2 → N ≅ 13 653 ciclos de carga
log σ A
log Ν
log (0,9 σ (^) Β− σ m ) = 2,
log 10 3 log 10 6 log N
log σ a=2,
σ m= 50,93 N/mm 2
log σ a = -0,11 log N + 2,
log σ A ( ∞)= 2 , 28
t
σ s^ σ a σ a σ i
σ
σ m
3.6 El diagrama de Smith
Antes de hablar del diagrama de Smith debemos modificar un poco la información de los diagramas de Wöhler. Para ello construimos, en una misma figura, los denominados
diagramas log ( σA + σm) vs. log N , los cuales son simplemente los diagramas de Wöhler a
los que se le han modificado las ordenadas. Ver figura 3.19.
10 6 N
σS=σm+σA
σm = 0
σm
σm
σm
σ Alt
Fig. 3.19 Gráficos log ( σA + σm) vs. log N para diferentes valores de σm.
El siguiente paso será la construcción misma del diagrama de Smith para una cierta vida finita N para la que se requiere el diagrama. Los pasos están ilustrados en la figura 3.20. Se traza una línea vertical determinada por el valor de N. La intersección de esta línea vertical
nos proporciona valores σS = σA + σm, los cuales son llevados a una nueva gráfica (ver a la
derecha) en la que se originan puntos ( σS = σA + σm , σm). La curva así originada muestra
el límite superior del esfuerzo y también la amplitud máxima σA que debería tener el
esfuerzo para que, dado un σm, se cuente con una vida de servicio N del elemento que se
está diseñando.
10 6 N
σS=σm +σA
σm = 0
σS σS σS σSo
σm
σm
σm
N^ σm1^ σm2^ σm
σS =σm+σA
σm
σB
σB
σ Alt
45°
Fig. 3.20 Construcción del diagrama de Smith a partir de los diagramas σS vs. N para una cierta vida finita N.
Normalmente los autores presentan también la curva que representa el límite inferior del
esfuerzo ( σI), por lo que los diagramas de Smith tienen la apariencia que se muestra en la
figura 3.23. La punta del diagrama de falla por fatiga (linea de trazos) es modificada por los tramos rectos determinados por el valor del esfuerzo de fluencia, debido a que, como sabemos del cálculo para carga estática, el esfuerzo no debe sobrepasar al valor del
esfuerzo de fluencia σF (o σ0,2 según sea el caso).
σm
σB
σB
σS=σm+σA
σAlt
− σAlt
σF σPul
45°
Fig. 3.23 Diagrama de Smith típico.
Los diferentes investigadores y autores de libros sobre fatiga proponen diversas maneras de simplificar el diagrama de Smith. Por ejemplo, una muy usual consiste en unir con una linea recta los puntos de la curva correspondientes a los resultados de ensayos alternante puro y pulsante puro respectivamente (puntos (1) y (2) ) en la figura 3.24. Se prolonga esta recta hasta intersectar a la recta horizontal que representa a la fluencia del material en el punto (3). Se completa la línea superior de falla con la recta horizontal hasta el punto (4).
σm
σB
σB
σS=σm+σA
σAlt
σF σPul
45°
(1)
(2)
(3) (^) (4)
2
(^0) σPul
Fig. 3.24 Diagrama de Smith simplificado.
En las figuras 3.25 a 3.28 se muestran diagramas de Smith para diferentes materiales. Ellos han sido tomados del libro Maschinenelemente de Roloff & Matek, Vieweg Verlag Berlin,
- Auflage, 1994.
b) Resistencia a la fatiga para flexión.
a) Resistencia a la fatiga para tracción-compresión.
c) Resistencia a la fatiga para torsión.
σf Pul
σf Alt
τt Alt
τt Alt
σ F = 365
σ f F
σf Alt
σt,c Alt
σt,c Alt
Fig. 3.25 Diagramas de Smith para aceros de construcción según DIN EN 10025 (DIN 17 100).
