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Feynman, capítulo 21: el oscilador armónico
Regina Josseline Hernández Baltazar El capítulo comienza por plantearnos la importancia de estudiar a fondo este fenómeno, explicando que todos los campos de la física tienen analogías entre sí, y el estudio del oscilador armónico en particular nos introduce a una ecuación diferencial que encontraremos después en muchos otros sistemas. El oscilador armónico más simple es una masa fija a un resorte en posición vertical, sobre el que influye la gravedad. Al centrarse en su desplazamiento hacia arriba, se obtiene una fuerza en dirección contraria que es proporcional a la cantidad de estiramiento, es decir, ⃗ F =− kx. Por segunda ley de Newton se obtiene la ecuación diferencial m d d^2 t^ x 2 =− kx (^) que, en una primera aproximación, se resuelve suponiendo k / m = 1 , entonces x ( t )=cos ( t ). Se dice entonces que, si se multiplica esta solución por una constante a , resulta otra solución. Esto físicamente se explica porque, si estiramos al doble el resorte con el peso fijo, también doblaremos la velocidad, aceleración y distancia recorrida en un tiempo dado, pero la distancia a recorrer incrementa igual, por lo que al final el resorte tarda el mismo tiempo en volver al origen. Por lo anterior, para resolver la ecuación se debe alterar la escala de tiempo, lo que se logra agregando la fase de movimiento, entonces x ( t )= acos ω 0 t , donde ω 02 = k / m. Con esta nueva solución se menciona que para alterar el sistema en 2 / π , el tiempo debe cambiar
t 0 = 2 / π √ m / k , entonces se ve que el periodo está determinado por la masa de manera
inversamente proporcional. Posteriormente, el capítulo se centra en las condiciones iniciales de velocidad y desplazamiento que van a determinar la amplitud máxima que alcance el sistema. Ya que esta magnitud no depende hasta ahora de la ecuación de movimiento, se busca generalizar esta última para obtener una solución cuando v 0 y x 0 son diferentes de 0, obteniendo x ( t )= acos ( ω ¿¿ 0 t − Δ )¿ (^) con Δ (^) la fase de oscilación y x ( t )= A cos ω 0 t + Bsen ω 0 t (^). Para darle un valor a las constantes en la última solución, Feynman toma el tiempo 0 y considera las condiciones iniciales v 0 y x 0 , que sustituye en la x^ ( t )^ de las constantes y en su derivada, que corresponde a v 0 , entonces obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas con el que se encuentra A = x 0 y B = v 0 / ω 0. Se nos presenta entonces una de las analogías del oscilador armónico con otros fenómenos, y es que la aceleración de la componente horizontal de una partícula cuya trayectoria describe un círculo es proporcional al desplazamiento horizontal desde su centro. Así, la solución a su movimiento x = R^ cos^ ω 0 t^ muestra que un punto con trayectoria circular tiene el mismo movimiento que el oscilador armónico. Casi al final se hace el análisis de energía que, sin pérdidas por fricción, debería conservarse. Nuevamente se utiliza x ( t ) y v ( t ), ahora para sustituir en las ecuaciones de energía cinética y potencial, entonces U^ =^12 k^ a^2 cos^2 ( ω 0 t −^ Δ )^ y
K = 12 mω 02 a^2 sen^2 ( ω 0 t − Δ ) (^) indicando que la energía depende del cuadrado de la amplitud.
