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DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ
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durée: 4 heures
Sujet
Fibre optique......................................................................................................................................... 2
I.Loi de Snell-Descartes pour la réfraction....................................................................................... 2
A.Principe de Fermat.................................................................................................................. 2
B.Approche ondulatoire.............................................................................................................. 2
C.Réflexion totale....................................................................................................................... 3
II.Fibre optique (ou guide) à saut d'indice........................................................................................ 4
A.Ouverture numérique............................................................................................................... 4
B.Modes...................................................................................................................................... 5
III.Analogie avec un guide d'ondes.................................................................................................. 6
Aluminium............................................................................................................................................ 8
I.Étude du diagramme potentiel-pH de l'aluminium........................................................................ 8
II.Cinétique....................................................................................................................................... 9
Fibre optique
Le guidage de la lumière est assuré par des fibres optiques: c’est un guide d'onde pour les
radiations lumineuses. Une fibre optique est constituée d’un cylindre de verre (ou de plastique)
appelé cœur, entouré d’une gaine transparente d’indice de réfraction plus faible. Le diamètre du
cœur est de l'ordre de 50 μm et le diamètre extérieur de la gaine est de l'ordre de 100 μm.
I. Loi de Snell-Descartes pour la réfraction
A. Principe de Fermat
On considère un dioptre plan séparant deux milieux transparents homogènes, d’indices de
réfraction différents n 1
et n 2
Les deux points
A
1 et^
A
2 sont fixés:^
A
1 situé dans le premier milieu d’indice^
n 1 est à la
distance
x 1 du dioptre et^
A
2 dans le second milieu d’indice^
n 2 est à la distance^
x 2 du
dioptre. O^ et H^ désignent les projetés de
A
1 et^
A
2 sur le dioptre. Le point^
I (^) sur le dioptre
(tel que
A
1 ,^
A
2 et^
I (^) appartiennent au même plan) est repéré par OI = z (^). On pourra poser
OH = h (^).
On suppose que le trajet de la lumière pour aller de
A
1 à^
A
2 passe par le point^
I (^). Il est donc
composé du trajet rectiligne
A
1
I
dans le milieu 1 et du trajet rectiligne
I A
2 dans le milieu
- Rappeler l'expression de la vitesse v^ de la lumière dans un milieu d'indice n^ en fonction de
c et n (la célérité de la lumière dans le vide est notée c ).
- Exprimer la durée t z du trajet en fonction de n 1,
n 2,
z , h , x 1,
x 2,
c (^).
- On cherche la position du point I pour lequel cette durée est minimale.
- Déterminer la relation vérifiée par (^) z afin que la durée du trajet soit extrémale.
- Justifier qualitativement que cette durée est un minimum.
- Montrer que le trajet pour cette valeur de z respecte la loi de Snell-Descartes pour la
réfraction.
B. Approche ondulatoire
A
1
A
2
I
O
H
10.Définir l’angle limite
i 1,lim pour le rayon incident tel qu’il n’existe plus de rayon réfracté et
préciser son expression en fonction des indices. Que devient l’énergie lumineuse incidente
lorsque la réfraction n’existe plus?
Soit une onde incidente 1 = 01 exp^ j t − k 1 x^ cos^ i 1 ^ –^ k 1 z^ sin^ i 1 ^ dans le milieu 1 en un
point de coordonnées ^ x^ ,^ y^ ,^ z^ ^. On suppose que l’angle i 1
est supérieur à l’angle limite
précédent.
11.En utilisant 7) et 8) trouver les coordonnées de
k 2
et montrer que
k 2
est complexe. On
obtiendra deux solutions.
On s’intéresse alors à l’onde transmise dans le milieu 2 en un point de coordonnées ^ x^ ,^ y^ ,^ z^ ^.
Cette onde est une onde évanescente qui ne transporte pas d’énergie.
12.Le milieu étant considéré comme infini selon x , montrer que cette onde a pour expression:
2
02
exp− x /exp j t − k 1
z sin i 1
et donner l’expression de en fonction de
0
, n 1,
n 2,
i
13.Quelle est la direction de propagation de l’onde transmise? Déterminer la vitesse de phase de
cette onde. Est-elle supérieure ou inférieure à la vitesse de la lumière dans ce milieu?
14.Représenter 2 en fonction de x^ (à z^ constant) à différents instants. Commenter le
phénomène selon x.
II. Fibre optique (ou guide) à saut d'indice
Soit une fibre optique constituée d’un cœur cylindrique de rayon a et d’indice n 1
, entouré
d’une gaine d’indice n 2
inférieur à n 1
. Les faces d’entrée et de sortie sont perpendiculaires au
cylindre d’axe Oz^ formé par la fibre. L’ensemble, en particulier la face d’entrée, est en contact
avec un milieu d’indice n 0
et pour les applications numériques on supposera que ce milieu est de
l’air pour lequel n 0
A. Ouverture numérique
15.Un rayon lumineux SI^ arrive en un point I^ sur la face d’entrée de la fibre. A quelle(s)
condition(s) d’incidence ce rayon a-t-il, dans la fibre, un trajet plan?
Dans la suite, on étudie, pour simplifier, une géométrie bidimensionnelle: on considère en fait une
couche plane (cœur) d’épaisseur 2a , d’indice n 1
immergée dans une gaine d’indice n 2
et le
trajet étudié est plan. On considère un rayon SI^ incident sur le cœur et contenu dans le plan
Oxz. On appelle i
l’angle d’incidence et i l’angle avec la direction Ox dans le milieu
d’indice n 1
16.Quelle inégalité doit vérifier le sinus de l’angle i pour que le rayon lumineux subisse une
réflexion totale sur l’interface cœur-gaine? La valeur extrémale de i^ est désignée par
i L.
17.En déduire en fonction de n 0
, n 1
et n 2
la condition que doit satisfaire sin i
pour que
le rayon réfracté ait une propagation guidée en subissant des réflexions totales à chaque fois qu’il
rencontre le dioptre cœur-gaine.
18.La valeur extrémale de i est alors désignée par m (angle d’acceptance de la fibre).On
appelle ouverture numérique ( O.N.^ ) du guide la quantité O.N. = n 0 .sin^ m ^.
- Exprimer O.N. en fonction de n 1
et n 2
et m
(en degrés) puis O.N. pour une fibre d’indices n 1
= 1,456 (silice)
et
n 2 = 1,410 (silicone).
- Quelle serait la valeur de ces grandeurs pour un guide d’onde à base d’arséniure de gallium
pour lequel n 1
= 3,9 et n 2
= 3,0? Commentaires.
i
B. Modes
La condition obtenue précédemment (cf: m ) est non suffisante pour rendre compte en détail de
la propagation dans la fibre. En réalité, en un point quelconque dans le cœur de la fibre, l’intensité
lumineuse résulte de la superposition des ondes qui se sont réfléchies en des points
I
0 ,^
I
I
2 …etc. On ne tient pas compte de l'éventuel déphasage introduit par la réflexion sur l'interface
coeur/gaine.
- H et H ’ appartiennent au plan perpendiculaire au rayon I^ 0
I
1
(voir figure).
A quelle condition sur la différence de phases = H ’
H
les ondes en H et en H ’
sont-elles en concordance de phase?
20.Calculer la distance parcourue par le rayon entre H et H ’. (Pour faire ce calcul, il est plus
I
0
I
2
I
1
i
H
H’
et
k 2
de norme k^ 0
0
sont dans le plan ^ u x
, u z
(^) et sont symétriques par rapport au plan
u y
, u z
. On note i^ l'angle de
k 1
avec
u x. Les champs électriques de ces ondes s'écrivent
au point O :
E
1
= E
10
exp j t u y
( E
10
est réel) et
E
2
= E
20
exp j t u y
( E
20
non
connu est a priori complexe pour traduire un déphasage)
27.Justifier qualitativement le fait que l’onde qui se propage dans la fibre est la composition de 2
ondes symétriques par rapport à un plan ^ u ^ y
, u z
28.Donner les composantes de
k 1
et
k 2
en fonction de
k 0 et^
i (^).
29.Exprimer les champs électriques des deux ondes à un instant t^ et en un point M^ ^ x^ ,^ y^ ,^ z^
quelconque.
30.Écrire les conditions aux limites.
31.Montrer que pour un guide et une onde où a^ et 0 sont fixés, il existe un nombre fini
d’angles convenables, (un nombre fini de modes de propagation). On fera intervenir un entier
m (^). Expliquer pourquoi la valeur m = (^0) correspondant à i =/ (^2) ne convient pas ici.
32.Exprimer le nombre N de modes.
33.Trouver une condition pour que ce guide soit monomode et donner dans ce cas l'expression du
champ
E et du champ
B en fonction des données a^ ,^ 0
,c ... (^).
34.Exprimer pour le guide monomode
- la fréquence de coupure
- la valeur moyenne dans le temps du vecteur de Poynting
- la puissance (moyenne dans le temps) du guide supposé de section carrée
Aluminium
I. Étude du diagramme potentiel-pH de l'aluminium
On s’intéresse dans ce diagramme aux espèces Al s , Al
3
aq , Al^ OH^ 3
s (^) et
Al OH 4
−
aq . Le diagramme pour une concentration globale en espèces dissoutes égale à
c = 10
− 6
mol.L
− 1
a l’allure suivante (voir figure) avec
E
1
=−1,79 V
pH 1
pH 2
- Donner les degrés d'oxydation de l'aluminium dans les espèces étudiées.
- Identifier les différents domaines du diagramme. Pour chaque domaine, préciser s'il s’agit de
domaine d’existence ou de prédominance?
- Soit une solution acide ( pH^ =^1 ) d'ions Al
3
à la concentration c = 10
− 6
mol.L
− 1
. On
augmente progressivement le pH de cette solution par addition d'une solution concentrée de
soude (on néglige la dilution).
- Pour quel intervalle de pH le précipité est-il présent?
- Montrer que l’espèce Al^ OH^ 3
s (^) est amphotère. Écrire les deux équations-bilans
correspondantes de Al^ OH^ 3
s (^). La réaction en milieu acide sera équilibrée avec des
H
3
O
et la réaction en milieu basique sera équilibrée avec des HO
−
.
- Calculer le potentiel normal E ° Al
3
aq / Al s . Écrire la demi-réaction correspondante.
- Calculer le produit de solubilité
pK S de^ l’hydroxyde^
Al OH 3
s
. Écrire la réaction
correspondante.
- Calculer la constante de formation globale β 4 du complexe tétrahydroaluminate(III)
Al OH 4
−
aq .Écrire la réaction utilisée.
E(V)
pH
pH 1
pH 2
E
1
14.A l'aide d'une régression linéaire, déterminer k avec trois chiffres significatifs.
15.Retrouver l'expression du temps de demi réaction et donner sa valeur numérique.
16.L'expérience est répétée avec [ Al aq ] 0
=0,11 mol.L
− 1
. On trouve (^) k = 10
− 3
(en utilisant les
unités précédentes). Conclure quant à la validité de l'hypothèse.
On donne
RT
F
ln 10 =0,06 V à 298K
produit ionique de l ' eau : Ke = 10
− 14
