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Correction TD - O
Exercices à maîtriser
Ex. n° 1 • Cascade inférieure du Yellowstone ⋆⋆⋆ 1935
- On note AB la cascade, située à une distance OA de l’appareil photo. On note A′B′ l’image de AB sur le capteur CCD. Le paramètre recherché est la hauteur AB. Pour le trouver, on utilise la formule du grandissement :
γ =
A′B′
AB
OA′
OA
⇒ AB = A′B′^ ×
OA
OA′
Pour trouver AB, il faut donc déterminer les trois paramètres A′B′, OA et OA′.
La distance OA se déduit de la carte accompagnée de sa légende. On trouve par simple
lecture, OA = −1400 m
La distance OA′^ peut se déterminer soit en supposant que la cascade est à l‘infini, dans
ce cas l’image se forme dans le plan focale image de la lentille : OA′^ = f ′^ = 135 mm
Finalement, la distance A′B′^ correspond à la taille de l’image de la cascade sur le capteur. Or, on sait que le capteur mesure 14 ,9 mm de hauteur.
On en déduit donc : A′B′^ ≃ −10 mm Ainsi :
AB = A′B′^ ×
OA
OA′^
≃ 104 m
Ce résultat est parfaitement cohérent : il s’agit de la hauteur typique d’une grande cascade. Remarque : la véritable hauteur est 106 m. On est donc très proche!
- Il faut diminuer le temps d’exposition. Pour ne pas toucher à la luminosité, il fut alors ouvrir le diaphragme.
Ex. n° 2 • Pouvoir séparateur de l’œil ⋆⋆⋆ 5629
- L’œil a un pouvoir séparateur de l’ordre de : αmin ≃ 1 ′^ ≃ 3 × 10 −^4 rad
- On cherche la distance d telle que les deux traits soient vus sous l’angle αmin.
Ainsi, puisque αmin ≪ 1 rad, on a :
d =
2 , 0 × 10 −^3
tan(αmin)
2 , 0 × 10 −^3
αmin
= 7 m
- Soit un objet AB situé à une distance OA de l’œil. À la limite de la résolution de l’œil, l’objet est vu sous un angle αmin.
Cette limite de résolution correspond au cas où l’image est de l’ordre de la taille d’un récepteur (appelée drécep = A′B′). En effet, dans le cas d’un objet plus petit la lumière incidente n’active qu’un seul récepteur et on ne distingue pas les points A et B. Ainsi :
αmin ≃ tan(αmin) =
A′B′
OA′^
⇒ drécep = OA′^ × αmin ≃ 5 , 5 μm
Pour aller plus loin
Ex. n° 3 • Correction des défauts de l’œil ⋆⋆⋆ 6801
- Relation de conjugaison :
1 OA′^
OA
= V avec : OA′^ = ℓ 0 = 15,0 mm
Au PR : OA = −dPR = −∞ ⇒ VPR = 66, 7 δ
Au PP : OA = −dPP = −25 cm ⇒ VPR = 70, 7 δ
On a immédiatement : ∆V = VPP − VPR = 4, 0 δ
Lorsqu’il est au repos (PR), la relation de conjugaison donne :
OA′^
OA
= VPR avec :
OA′^ = ℓm = 15,2 mm OA = −dPR,m
On en déduit :
dPR,m =
VPR −
ℓm
= 1,14 m
L’œil myope ne voit pas de loin. Lorsqu’il est accommode au maximum (PP), la relation de conjugaison donne :
OA′^
OA
= VPP avec :
OA′^ = ℓm = 15,2 mm OA = −dPP,m
On en déduit :
dPP,m =
VPP −
ℓm
= 20 cm
- On note Vm la vergence de la lentille de contact à utiliser pour corriger cet œil myope. La lentille de contact et le cristallin étant accolés, on peut utiliser la relation de l’énoncé. On souhaite trouver Vm pour que le PR soit de nouveau à l’infini. La relation de conju- gaison donne :
OA′^
OA
= VPR + Vm avec :
OA′^ = ℓm = 15,2 mm OA = −dPR = −∞
On en déduit : Vm =
ℓm
− VPR = − 0 , 88 δ
La lentille correctrice est divergente.
Finalement, on obtient une image réelle (car le sens de parcours de la lumière a été
inversée), positionnée en OA′^ = − 2 f ′^ et de grandissement γ = γ 1 × γ 2 × γ 3 = − 2.
- En reprenant les équations de la question précédente mais en injectant OA = −f ′,
on obtient : OA 1 = ∞, OA 2 = ∞ et enfin OA′^ = −f ′^.
Autre démonstration :
A = F L −−→ A 1 (∞) M −−−→ A 2 (∞) L −−→ A′^ = F′
Attention, dans la dernière étape, le point F′^ est le point obtenu après inversion de F et F′^ (nouveau F′, ancien F). On a donc A = A′.
- C’est l’auto-collimation.
Ex. n° 5 • Estimation de la largeur d’un pont ⋆⋆⋆ 4725
On utilise les notations ci-dessous.
Avec un schéma traditionnel d’optique, la situation devient :
On cherche la distance A 1 A 2. On note O le centre de la lentille de l’appareil photo. On a : A 1 A 2 = OA 1 − OA 2. Il faut donc déterminer les distances OA 1 et OA 2. On utilise les formules de grandissement (k = 1 ou 2 ).
γ = A′ kB′ k AkBk
OA′ k OAk
⇒ OAk = OA′ k AkBk A′ kB′ k
La hauteur du pont est connue : AkBk = h = 4,3 m Le pont est supposé à l’infini (c’est-à-dire que OA 1 ≫ f ′). L’image se trouve donc dans le plan focal image de la lentille :
OA′ k ≃ f ′^ = 35 mm
Enfin, on sait que le capteur fait 24 mm × 36 mm, ce qui permet, à l’aide d’un produit en croix ( 8 ,7 cm ↔ 24 mm), de déterminer A′ kB′ k. On trouve (en négatif car les images sont inversées) :
A′ 1 B′ 1 = − 2 , 1 ×
= − 5 ,8 mm et A′ 2 B′ 2 = − 1 , 1 ×
= − 3 ,0 mm
On en déduit :
A 1 A 2 = OA 1 − OA 2 = f ′h
A′ 1 B′ 1
A′ 2 B′ 2
≃ 24 m
Pour s’entraîner au DS
Ex. n° 6 • Microscope optique ⋆⋆⋆ 1206
- On a :
∆ = F′ 1 F 2 = F′ 1 O 1 + O 1 O 2 + O 2 F 2 = −f 1 ′ + ∆ − f 2 ′ = 100 mm
- On note :
A L 1 −−−→ A 1 = F 2 L 2 −−−→ A′
On utilise donc la relation de conjugaison de Descartes, avec d = −O 1 A :
1 O 1 A 1
O 1 A
f 1 ′
f 1 ′ + ∆
d
f 1 ′
On en déduit :
d =
f 1 ′
f 1 ′ + ∆
f 1 ′ (f 1 ′ + ∆) ∆
= 5,25 mm
- Formule de grandissement de Descartes :
γ 1 =
O 1 A 1
O 1 A
f 1 ′ + ∆ d
f 1 ′
L’image est donc renversée (γ 1 < 0 ).
L’objet intermédiaire étant dans le plan focal objet de l’oculaire, l’image finale sera à l’infini, permettant ainsi une observation sans accommodation.
Cela correspond au PP de l’œil emmétrope, c’est-à-dire la distance de mise au point de l’œil lorsqu’il accommode au maximum.
On a : tan(α′) = α′^ =
A′B′
f 2 ′
et tan(α) = α =
AB
D
On en déduit :
G =
α′ α
A′B′
f 2 ′
×
AB
D
|γ 1 | D f 2 ′
∆D
f 1 ′f 2 ′
Ex. n° 7 • Photographie d’un papillon ⋆⋆⋆ 7674
- On a OA = −dp et on cherche OA′^ = D. La relation de conjugaison de Descartes donne : 1 D
−dp
f ′^
⇒ D =
f ′^
dp
= 20 cm
Le grandissement vaut :
γ =
OA′
OA
D
dp
L’image est de même taille et renversée. On a donc : h′ p = 4,0 cm
Avec cet objectif, on réalise la suite de conjugaison suivante : A L 1 −−−→ A 1 L 2 −−−→ A′^ = P. Utilisons la relation de conjugaison de Descartes avec la lentille L 1 avec O 1 A = −dp.
- Transformation (avec C le centre du cercle oculaire) : Oob Loc −−−→ C.
Relation de conjugaison :
1 OocC
OocOob
f (^) oc′
⇒ OocC =
f (^) ob′ + f (^) oc′
f (^) oc′
Après simplification :
OocC =
f (^) oc′ (f (^) ob′ + f (^) oc′) f (^) ob′
Grandissement :
γ =
D 0 ′
D 0
OocC OocOob
⇒ D′ 0 = D 0 ×
f (^) oc′ f (^) ob′
- Il faut placer l’œil sur le cercle oculaire, car c’est là que l’on collecte le plus de lumière.
Le diaphragme d’ouverture joue sur la luminosité de l’image (comme l’iris pour un œil).
- Bilan :
Lune Vénus Mars Distance (m) 3 , 82 × 108 8 , 12 × 1010 7 , 85 × 1010 Diamètre (m) 3 , 52 × 106 1 , 21 × 107 6 , 79 × 106
αœil =
Diam. Dist. (rad) 9 , 2 × 10 −^3 1 , 5 × 10 −^4 8 , 6 × 10 −^5
αœil > 1 ′^? Oui Non Non αlunette = G × αœil (rad) 3 , 7 × 10 −^2 6 , 0 × 10 −^4 3 , 5 × 10 −^4 αlunette > 1 ′^? Oui Oui Oui
