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FINAL MATEMATICA BLUMENFARB 2015 EQUIPO MENSAJERO PARA
TEMA 1 GEOMETRIA
- Dar ecuación de una hipérbola con eje de simetría en y; cuál es la relación entre a, b y c; definir como conjunto de puntos y como intersección de superficies, graficar y nombrar un ejemplo aplicado a la arquitectura. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos en donde la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es siempre constante. Si se corta con un plano a una superficie cónica en ángulo paralelo al eje se obtiene una hipérbola. Estructuras de soporte como columnas y torres. Columnas Oscar Niemayer. Catedral de Brasilia.
- Elipse , dar su ecuación que tenga su vértice en el origen de coordenadas y cuando se apoye sobre el eje y (es vertical), nombrar la relación de sus paramitos a, b y c y dar algún ejemplo en diseño. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, los focos, es constante. La elipse se da cuando se intersecta con un plano en ángulo distinta a la generatriz en una superficie cónica de revolución. Entre a, b y c existe la relación pitagórica ya que se puede armar un triángulo rectángulo entre ellas.
El a es el semi eje mayor, b es el semi eje menor y c la distancia entre el centro y el foco. La excentricidad caracteriza la forma del elipse. Cuanto más próximo a cero sea el valor de la excentricidad más redondeada. Se define Teatro Nacional De Beijing y Torre García de Almería.
- Defina parábola como conjunto de puntos y como intersección entre planos. Ecuación cuando no está en el eje de coordenadas. Ej. numérico de éste. Ej. puntual de una obra de arquitectura que use parábolas. Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, la directriz, y de un punto exterior a ella, el
- Superficies cilíndricas. 3 ejemplos distintos, fórmulas y dibujos. Una superficie cilíndrica es generada por una recta que se desplaza paralelamente a si misma apoyada en una curva directriz. Una ecuación que contenga dos variables, si representa una curva en el plano de dichas variables, será la ecuación de una superficie cilíndrica recta cuyas generatrices son paralelas a la variable faltante.
- Indicar qué paraboloides conoce. Trazas. Ejemplo numérico. Ejemplos de diseño. Son superficies regladas? Pueden ser engendradas por revolución? El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada ya que admite dos familias uniparamétricas de rectas. Ópera de Sídney
El hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada en el sentido de que admite dos familias uniparamétricas de rectas.
- Definir superficies regladas , cuáles son y dar dos ejemplos numéricos y graficar. Ej. de arquitectura de ellos. Se llama superficies regladas a las engendradas por rectas, generatrices, paralelas a una dirección dada variable, que se desplazan por una curva llamada directriz. Hay dos tipos de superficies regladas, las cilíndricas y las cónicas. En las superficies cilíndricas las generatrices son paralelas entre sí, y en las cónicas las generatrices se apoyan en la directriz y pasan todas por un punto fijo, el vértice. Si las generatrices son perpendiculares al plano de la directriz, son superficies cilíndricas rectas. Una ecuación que contenga dos variables, si representa a una curva en el plano de dichas variables, esta será la ecuación para una superficie cilíndrica recta cuyas generatrices son paralelas al eje de la variable faltante o ausente. Ej. Cilíndrico elíptico y cilindro hiperbólico. Oceanogràfic de Valencia
TEMA 2 GRAFOS
9 ) Definir mosaico , explicar matemáticamente, realizar un mosaico por adición y sustracción y colorearlo explicando la teoría de coloración de grafos. Mosaico es todo recubrimiento del plano generado mediante polígonos que no permiten agujeros ni solapamientos. Si los polígonos son regulares el mosaico es regular. Para ello se deben usar triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos. El problema de coloración nace cuando se intenta resolver la duda de cuantos colores son requeridos para colorear un mapa sin que haya países aledaños de un mismo color. Se requieren cuatro colores para colorear cualquier mapa poligonal. (si es plano y conexo) Si los vértices son de grado par con dos colores alcanza, si son de grado impar es imprescindible usar al menos tres colores. 10 ) Qué es un grafo regular? Recorrido euleriano, clasificación según sus vértices (explique cuándo es restringido y cuándo no), dar un ejemplo de cada uno. Un grafo es regular cuando posee al menos tres caras y los grados de sus vértices son iguales entre si. Y es completamente regular cuando, además, todas sus caras tienen igual número de aristas que las rodean. El recorrido euleriano se da cuando se puede recorrer un grafo conexo pasando una sola vez por cada arista. Si el ciclo comienza y termina en el mismo vértice es general, si no es restringido.
- Cuáles son los polígonos que permiten el recubrimiento total del plano? Cómo se verifica esto? Podría recubrirse el plano con los siguientes polígonos regulares: Triángulo equilátero , cuadrados , y hexágonos.
13 ) Definir grafo plano , Cuándo es regular y cuándo completamente regular? Recorrido euleriano, formula de Euler, y grafo dual. Un grafo es grafo plano si, y sólo si es isomorfo a un grafo que puede dibujarse en el plano de forma tal que las aristas sólo se toquen en los vértices. Un grafo es regular cuando posee al menos tres caras y los grados de sus vértices son iguales entre si. Y es completamente regular cuando, además, todas sus caras tienen igual número de aristas que las rodean. El recorrido euleriano se da cuando se puede recorrer un grafo conexo pasando una sola vez por cada arista. Si el ciclo comienza y termina en el mismo vértice es general, si no es restringido. C+V=A+2 (contando cara del infinito). Se denomina grafo dual , cuando a un grafo plano se le asigna a cada cara (incluyendo la del infinito) un vértice y se los une pasando una arista del grafo dual por cada una del grafo asociado.
- Número de oro , definición. Cómo se procede para dividir un segmento en media y extrema razón? Mostrarlo gráficamente. Cómo se construye un rectángulo áureo a partir de un cuadrado de 5 cm de lado? Asignar un valor arbitrario al lado del mismo y calcular su área. Mencionar alguna aplicación arquitectónica de dicho número. El numero de oro y la proporción aurea surge de la sucesión de Fibonacci, la división entre dos términos consecutivos, el mayor sobre el menor, obtiene un número que mientras más grandes sean los términos más se acerca a φ, (1,6803). El alzado del Partenón griego de Atenas, la pirámide de Keops (el consciente entre la altura de uno de los triángulos que forma la pirámide y el lado es dos φ).
- Se traza el punto medio m del segmento AB, y por el punto B se traza una perpendicular logrando el punto D, de forma tal que BD sea igual a AB/2.
- Se traza el segmento AD.
- Se transporta sobre AD el segmento BD obteniendo el punto E tal que BD sea igual a DE.
- Abatiendo el punto E sobre el segmento AB se obtiene el punto C.
- Definir grafo poligonal. Cuándo es regular? Cuándo es completamente regular? Mencionar todos los grafos poligonales y dibujar dos. Todos los grafos cumplen con la ley de Euler o hay excepciones? Para definir grafo poligonal, primero definamos grafo plano. Un grafo plano es plano si, y sólo si, es isomorfo a un grafo que puede dibujarse en el plano de forma tal que las aristas sólo se toquen en los vértices. Los grafos no planos son dos: el K3,3 y el K5. Cualquier grafo isomorfo de estos, o que tenga un subgrafo que sea alguno de estos dos no es plano. Entonces, un grafo poligonal es un grafo plano conexo el cual es una reunión de ciclos tal que existe un ciclo mínimo y uno máximo. Un grafo poligonal divide el plano en zonas poligonales. El interior de cada ciclo se conoce como cara. Puede comprobarse que el número de caras más el número de vértices es igual al numero de aristas más dos. Esto se conoce también como la ley de Euler. C + V = A + 2. Todos los poliedros regulares pueden expresarse como grafos poligonales. Estos son: El tetraedro, el cubo (hectaedro), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Un grafo poligonal es regular cuando el grado de cada vértice es igual. Un grafo poligonal es completamente regular si cada cara limita con la misma cantidad de aristas.
TEMA 3 DERIVADAS E INTEGRALES
17 ) Aplicaciones geométricas de las integrales ; dar un ejemplo numérico y graficar. Las aplicaciones geométricas de una integral definida son área, volumen y longitud de una curva. Para calcular el área entre una curva y el eje x se utiliza un integral definido. Se utiliza también para medir longitud de una curva con la siguiente formula: Finalmente para el volumen también se puede utilizar integrales. Sobre todo para cuerpos engendrados por la revolución de una curva. Dada la formula f(x) para calcular el volumen de revolución a través del eje x se utiliza: Ej. de área entre la curva y los ejes coordenados.
18 ) Derivada aplicación geométrica. Máximos y mínimos , explicar el criterio para que sea suficiente, ejemplo numérico sencillo. Los máximos y mínimos son puntos críticos (el punto de la curva en el cual la pendiente de la recta tangente es igual a 0). La condición necesaria para que exista un máximo , si existe f ´ (x) y f ´´ (x), es que f ´ (x) = 0 y f ´´ (x) < 0. La condición necesaria para que exista un mínimo , si existe f ´ (x) y f ´´ (x), es que f ´ (x) = 0 y f ´´ (x) > 0. Ej.: f(x) = x3 - 3x2 + 1 = 0 La derivada es f ´ (x) = 3x2 - 6x = 0 (La primera condición ya está para ambos) Resolviendo la derivada nos da x = 2, x = 0 La segunda derivada es f ´´ (x) = 6x - 6 Para 0 ---- > 6(0) - 6 = - 6
- 6 < 0 ---- > se trata de un máximo... en el punto de la curva donde x = 0 hay un punto máximo. Para 2 ---- > 6(2) - 6 = 6 6 > 0 ---- > se trata de un mínimo.... en el punto de la curva donde x = 2 hay un punto mínimo
- Mencione momento de 1º orden , de 2º orden y baricentro de: un sistema de puntos sobre una recta, en el plano, placas planas y superficies de revolución; Trabajo; Obtener la ecuación horaria y la de la velocidad de un objeto en movimiento a partir de la ecuación de la aceleración. Llamamos momento 1º orden o momento estático a la suma de productos de cada uno de los valores de masa y sus respectivos valores de abscisas. De la misma manera podemos definir el momento de 2º orden o momento de inercia: será la suma de los productos entre cada uno de los valores de masa y sus respectivos valores de abscisas elevados al cuadrado.
21 ) Ejemplo de aplicación en la física (fuerza en un resorte).
- Qué aplicaciones físicas de la integral conoce? Mencionar dos y dar sus formulas de cálculos. Dar ejemplos numéricos para los dos y resolver. *Aplicación 1: calculo de momento de 1º y 2º orden y baricentro. Llamamos momento 1º orden o momento estático a la suma de productos de cada uno de los valores de masa y sus respectivos valores de abscisas. De la misma manera podemos definir el momento de 2º orden o momento de inercia: será la suma de los productos entre cada uno de los valores de masa y sus respectivos valores de abscisas elevados al cuadrado. El centro de gravedad o baricentro es el punto donde al calcular el momento estático respecto de él el resultado será 0. En un conjunto de masas alineadas donde el momento estático es no nulo.
- Tenemos tres masas puntuales M1=5gr M2=3gr y M3=2gr Se encuentran ubicadas respectivamente en los puntos cuyas abscisas son x1=4cm, X2=- 2cm y X3=-3cm. Ahora hallaremos el baricentro del sistema. *Aplicación 2: Calculo del trabajo de resorte y ley de Hooke.
Tomando en cuenta dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que ocurra A es la misma tanto si ha ocurrido previamente B como si no ha ocurrido. Ej. 1: Si A es sacar una carta mayor a 7, y B es sacar cualquier As, estos son dos sucesos incompatibles. Es imposible sacar una carta que sea un As y mayor a siete a la vez. Ej. 2: Si el suceso A es sacar un As de un mazo de cartas y el suceso B es tirar una moneda y sacar caras la probabilidad de que A suceda es la misma habiendo o no ocurrido B. Por ende serían sucesos independientes. 25 ) Definición de variable aleatoria (discreta y continua), ejemplo y sacar esperanza matemática. Si se tiene una variable real cuyo dominio es un espacio muestral de E y a cada uno de cuyos valores (o intervalo de valores) se le asigna una probabilidad entonces es una variable aleatoria. El numero de veces que la variable toma un determinado valor es estimado. En los experimentos en los cuales la variable aleatoria se cuenta , es DISCRETA. (el conjunto de valores posibles es finito). En los experimentos en los cuales la variable aleatoria se mide , es CONTINUA. (el conjunto de valores posibles es infinito). Ej. El tiempo de espera para ser atendido en la cola de un banco es una variable aleatoria. El número de páginas de un libro es una variable aleatoria discreta. El tiempo de vida útil de un bombilla de luz es una variable aleatoria continua. Ej. Se tiene una bolsa de bolillas con igual cantidad de bolillas de cada color. Solo hay rojo y amarillo. E sería el espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en sacar 3 bolillas de la bolsa, y X sería la función de E al cual cada elemento se le asigna la cantidad de bolillas rojas sacadas. X es una variable aleatoria que toma los valores: x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 Quedaría: f(0) = P (x=0) = 1/ f(1) = P (x=1) = 3/ f(2) = P (x=2) = 3/ f(3) = P (x=3) = 1/
- Qué es una probabilidad condicional? Cuándo son sucesos independientes? Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un suceso A, sabiendo que previamente ocurrió un suceso B. Son sucesos independientes cuando la probabilidad de que ocurra A es la misma habiendo ocurrido o no B.
Ej. (condicionales). En un bolillero hay tres blancas y dos negras, si se extraen dos de ellas al azar, sin reposición. Qué probabilidad hay de que ambas sean negras? Ej. (independientes). Arrojamos un dado normal al aire, cada vez que lo hacemos el resultado no depende lo ocurrido la o las veces anteriores, con lo cual la probabilidad sigue siendo la misma.
- Cuándo un suceso es compatible? Qué es dependiente? Se tiene una bolsa con 2 dados blancos y con 1 negro. Un suceso compatible es un suceso que puede pasar simultáneamente con otro. A U B. Un suceso dependiente es un suceso cuya probabilidad cambia habiendo ocurrido el suceso con el cual depende. Ej. Cuál es la probabilidad de sacar un dado blanco habiendo ya sacado un dado blanco? Estos son sucesos dependientes ya que la probabilidad de que salga un dado blanco habiendo ya sacado un de ellos previamente disminuye la posibilidad.
- Cuándo la probabilidad es excluyente y no excluyente? Definir probabilidad independiente, dar ejemplos de cada uno con 2 bolas de color negro y 3 rojas. La probabilidad es excluyente o incompatible cuando dos sucesos no puede suceder a la vez. La probabilidad es no excluyente cuando dos sucesos pueden ocurrir a la vez. Sucesos independientes son cuando la probabilidad de que ocurra un suceso determinado, por ejemplo A, sea la misma habiendo ocurrido o no el suceso B. Ej. Si A es sacar una bola negra y B sacar una roja, si se saca una bola de la bolsa no puede ser roja y negra a la vez. Son sucesos excluyentes. Si C es sacar una bola cualquiera A intersección C y B intersección C existen por ende son NO excluyentes o compatibles. Ahora si saco una bola y la vuelvo a meter en la bolsa la probabilidad de sacar una roja o una negra es siempre la misma por ende son sucesos i
