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FORMULARIO DE ÁLGEBRA
Propiedades de los números reales
Propiedades Suma Multiplicación
- Cerradura Sean , entonces Sean , entonces
- Conmutativa Sean , entonces Sean , entonces
- Asociativa Sean , entonces ( ) ( )
Sean , entonces ( ) ( )
- Elementos neutros Existe un elemento de , denotado por , tal que para todo
(El cero es el elemento neutro respecto a la suma).
Existe un elemento de , denotado por , tal que para todo
(El uno es el elemento neutro respecto a la multiplicación).
- Elementos inversos Para todo existe un elemento denotado por – tal que ( ) ( ) (Nota: se conoce como inverso aditivo de o simétrico de ).
Para todo , existe un elemento denotado por tal que
(Nota: se conoce como inverso multiplicativo de o recíproco de. El elemento también se denota por ).
- Distributiva Sean , entonces ( )
Propiedad. Para todo.
Propiedad. Si y , entonces o.
Definiciones.-
Leyes de los exponentes
2. (^ )
Definición.- Si es un número real y es un entero positivo, entonces se define (^) √ , suponiendo que (^) √ existe.
Definición.- Sea un número racional, donde es positivo y los enteros y no tienen factores primos en común. Si es un número real tal que (^) √ existe, entonces definimos √.
Productos notables y factorización
1. (^ )(^ )^ (^ )
2. (^ )
3. (^ )
6. (^ )( )
Para , si es impar:
10. (^ )( )
11. para completar un trinomio cuadrado prefecto del tipo
Logaritmos
Definición.- Sean y números reales positivos, con ; el logaritmo de relativo a la base es el exponente al que debe elevarse para obtener. Empleando símbolos:
Propiedades de un sistema de logaritmos
1. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo. Esto es consecuencia de la definición del
concepto de logaritmo.
2. ( )^ , para cualquier base.
3. ( )^ , para cualquier base.
4. (^ )^ (^ )^ ( ) , con.
5. ( ) (^ )^ ( ) , con.
7. (^ )^.
FORMULARIO DE TRIGONOMETRÍA
Definición.- Considere el siguiente triangulo rectángulo
Si consideramos el ángulo en el tenemos que: es el cateto adyacente, es el cateto opuesto y es la hipotenusa. Definimos:
se llama seno del ángulo y se escribe como.
se llama coseno del ángulo y se escribe como.
se llama tangente del ángulo y se escribe como.
se llama cotangente del ángulo y se escribe como.
se llama secante del ángulo y se escribe como.
se llama cosecante del ángulo y se escribe como.
Identidades trigonométricas fundamentales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ley de senos
En un triángulo cualquiera los lados son proporcionales al seno de los ángulos opuestos. En símbolos
Ley de cosenos
En un triángulo cualquiera el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos por el coseno del ángulo que forman. En símbolos
FORMULARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Distancia entre dos puntos:
División de un segmento dada una razón:
Ángulo de inclinación y pendiente de una recta:
Ángulo formado entre dos rectas:
Ecuaciones de la recta:
a) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
b) Ecuación de la recta en su forma simétrica (intersección con los ejes de coordenadas)
c) Ecuación de la recta en su forma punto – pendiente
d) Ecuación de la recta en su forma pendiente – ordenada al origen
e) Ecuación de la recta en su forma general
Distancia de un punto a una recta
Elipse
Eje focal paralelo al eje Eje focal paralelo al eje
( ) Centro ( ) ( ) ( ) (^) Ecuación en su forma usual ( ) ( )
( ) Vértices del eje mayor ( ) ( ) Focos ( ) ( ) Vértices del eje menor ( ) Longitud del lado recto
Excentricidad Longitud del eje mayor Longitud del eje menor Distancia entre focos Relación
Ecuación general de segundo grado en dos variables
La gráfica de la ecuación
Cuando y no son ambos cero, es una cónica o una cónica degenerada. Si es una cónica entonces la gráfica es:
I) Si , entonces es una circunferencia. II) Si , tenemos los siguientes casos: i) Una parábola si o , esto es. ii) Una elipse si y tienen el mismo signo, esto es,. iii) Una hipérbola si y tienen signos opuestos, esto es,.
FORMULARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Propiedades de límites
Supongamos que ( ) y ( ) existen, es un número real y además y son números enteros positivos entonces:
- (^ )^ , donde es cualquier constante.
- ( ).
- (^ ( ))^ ( ).
- [ ( ) ( )] ( ) ( ).
- [ ( )^ ( )]^ ( ) ( ).
- [ ( ) ( )]^ ( ) ( )
- (( )^ )+ ( (^ )) , si ( ).
- [ ( )]^ [^ ( )]
- [ √ ( )] √ ( ).
Derivada por definición
Derivadas algebraicas
Considere a y a como funciones que dependen de la variable , es decir, ( ) y ( ); y sean y constantes.
Derivadas trigonométricas inversas
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Regla de la cadena:
Si la función es diferenciable en y la función es diferenciable en ( ), entonces la función compuesta es diferenciable en , y
Si se utiliza la notación de Leibniz para la derivada, la regla de la cadena puede enunciarse como sigue:
Si es una función de , definida por ( ) y existe, y si es una función de definida por
( ) y existe, entonces es una función de y existe la cual está dada por
FORMULARIO DE CÁLCULO INTEGRAL
Considere a y a como funciones que dependen de la variable , es decir, ( ) y ( ); y sean y constantes.
7. ∫ , donde ,
( )(^ )^ ( )
ii) Factor
( )(^ )^ ( )
( )(^ )^ ( )
II. ∫ , donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar. En la solución de este caso se utiliza un método semejante al empleado en el caso I.
i) Si es impar, entonces
( )(^ )^ ( )
( )(^ )^ ( )
ii) Si es impar, entonces
( )(^ )^ ( )
( )(^ )^ ( )
III. ∫ , ∫ o ∫ , donde y son números enteros positivos pares.
i) Factor
ii) Factor
iii) Factor
IV. (^) ∫ o (^) ∫ , donde es un número entero positivo y tal que.
i) Factor
ii) Factor
V. ∫ o ∫ , donde es un número entero positivo par.
i) Factor
( )(^ )^ ( )
( )(^ )^ ( )
ii) Factor
( )(^ )^ ( )
( )(^ )^ ( )
VI. (^) ∫ o (^) ∫ , donde es un número entero positivo par.
VIII. (^) ∫ o (^) ∫ , donde es un número entero positivo impar.
Aplique integración por partes.
i) Considere y.
ii) Considere y.
IX. (^) ∫ o (^) ∫ , donde es un número entero positivo par y es un número entero positivo impar. Exprese el integrando en términos de potencias impares de la secante o cosecante y después siga las sugerencias del caso VIII.
i) Factor
ii) Factor
