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Grado de Óptica y Optometría Física
SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 1: MECÁNICA DE SÓLIDOS Y FLUIDOS
- Una gota esférica de mercurio de radio 3,0 mm se divide en dos gotas iguales. Calcula a) el radio de las gotas resultantes y b) el trabajo que hay que realizar contra las fuerzas de tensión superficial para realizar esta operación. La tensión superficial del mercurio es 0, J/m^2.
a) El volumen de la gota inicial de mercurio se divide en dos. Supuestas las gotas esféricas:
3 3 3 3
3 π^ R^ =^3 πr^ →^ r^ =^2 R^ =^2 = mm
b) El trabajo necesario será proporcional a la variación de superficie:
W = σ ∆S = σ ( 2·4π r 2 − 4 π R^2 ) = 4 πσ ( 32 − 1 ) R 2 = 14 μJ
- Se introduce un capilar de vidrio de 1,0 mm de diámetro hasta el fondo de un vaso de agua de 15 cm de profundidad y se sopla hasta formar burbujas de aire. a) Determina el exceso de presión del aire respecto a la presión atmosférica en el interior de las burbujas, suponiendo que éstas tienen el mismo diámetro que el capilar. b) Calcula lo que asciende o desciende el agua por el capilar respecto a la superficie del agua cuando se deja de soplar. Supón que el ángulo de contacto del agua con la superficie de vidrio es aproximadamente 0º. c) Si se sustituye el agua por glicerina, ¿habrá que soplar con mayor o menor fuerza para formar las burbujas? d) ¿es mayor o menor el nivel de la glicerina respecto al agua en el capilar cuando se deja de soplar? Supón que el ángulo de contacto de la glicerina con la superficie de vidrio también es aproximadamente 0º. Datos: σagua=72,8 mN/m, σglicerina=63,1 mN/m, ρglicerina=1,26·10^3 kg/m^3
a) El exceso de presión en el interior de las burbujas será: 3 3
p p atm gh (^) R p patm gh (^) R 0,5·10 Pa
ρ^ σ ρ σ^ −
b) La altura a la que sube el agua por el capilar es: 3 3
2 cos 2·72,8·10 (^) 0, 030 h (^) gR 1000·9,8·0,5·10 m
− = = (^) − =
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c) Si cambiamos por glicerina, el exceso de presión será: 3 3
' ' 2 '^ ' ' 2 '^ 1260·9,8·0,15 2·63,1·10 2100
p p atm gh (^) R p patm gh (^) R 0,5·10 Pa
ρ^ σ ρ σ^ −
luego habrá que soplar con mayor fuerza. d) La altura a la que sube la glicerina es: 3 3 ' 2 'cos^ 2·63,1·10 0, 020 h (^) ' gR 1260·9,8·0,5·10 m
− = = (^) − =
- El venturímetro es un dispositivo empleado para la medida del caudal de líquido que fluye por una tubería y se basa en la medida de la diferencia de alturas ∆h en dos manómetros de tubo abierto, uno en la tubería y otro en un estrechamiento practicado en la tubería. a) Calcula la diferencia entre la presión en la tubería y la presión en el estrechamiento si ∆h = 10 cm y el líquido que circula es agua. b) Sabiendo que el diámetro de la tubería es D 1 = 6,0 cm y el del estrechamiento D 2 =3,0 cm, calcula la velocidad del agua en la tubería. c) Calcula el caudal del agua en la tubería en L/s.
a) La diferencia de presión se obtiene a partir de la diferencia de alturas que alcanza el líquido en los dos manómetros de tubo abierto:
∆p = p 1 − p 2 = ρg ∆h = 1000·9,8·0,1 = 980 Pa
b) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre la tubería y el estrechamiento, tomando en dichos puntos el origen de alturas:
1 1 12 2 1 22 1 12 1 22
p + 2 ρv = p + 2 ρv → ∆p + 2 ρ v = 2 ρv
Además, se cumple la ecuación de continuidad:
12 22 12 1 1 2 2 1 2 2 22 1 1 1
S v S v D^ v D^ v v D v v v
= → π = π → = D = =
Por lo tanto, ∆ p + 12 ρv 1 2 = 12 ρ 16 v 12 → ∆p = 15 12 ρv 1 2 → v 1 = 152 ∆ ρ^ p^ = (^) 15·10002·980 =0,36ms
c) El caudal en la tubería es: 12 3 3 v 4 1 1, 0·10^ 1, 0 I D^ v m^ L π (^) s s = = − =
D 1 D 2
∆h
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a) Inicialmente había en la piscina un volumen de agua es: VI = 10 × 5 × 1,9 = 95 m^3. En una
hora, el volumen de agua en la piscina es: VF = 10 × 5 × 2 = 100 m^3. Por lo tanto han caído 5000
L de agua sobre una superficie de 50 m^2. Conclusión la cantidad de lluvia caída en una hora es de 100 L/m^2. b) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la parte alta de la piscina y el desagüe, se tiene:
( )
( )
2
5 5
patm gh p v v^ p^ atm^ gh^ p
m s
ρ ρ^ ρ
+ = + → = +^ − =
= +^ − =
c) A partir de la definición de caudal se tiene:
2
Iv S v V t V^ F^ VI s
t πR v π
d) Si se desea que t’ = 3600 s, entonces:
'· ' · 0, 0097· ' · ' ' S v V^ S V^ F^ VI S t S t v t t
Hay que reducir la sección en un 99 %.
- Un tubo de Pitot es un dispositivo usado para medir la velocidad de gases en tuberías. Consideraremos el gas de densidad constante ρ = 1 83, kg / m^3 y que el líquido del tubo manométrico tiene una densidad ρ (^) L = 1000 kg / m^3. Teniendo en cuenta que la conducción del gas es de izquierda a derecha y que la velocidad de éste en el punto 2 es nula, a) determina la velocidad del gas en el punto 1 sabiendo que h = 1 5, cm. b) Conociendo que la tubería tiene un diámetro de 1 cm, determina el caudal en L/s. c) Si cada metro cúbico de gas cuesta 0,5 € ¿cuánto cuesta mantener dicho caudal durante una hora?
a) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2:
2 1 12 1 2 1 1 12
p = 2 ρv + p → p − p = 2 ρv
Aplicamos la ecuación fundamental de la hidrostática en el tubo manométrico:
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p 2 = p 1 + ρliquido gh → p 2 − p 1 =ρliquidogh
Igualando las dos expresiones anteriores y despejando se tiene: 2 ´ 1 2 liquido^2 1000 9 81 510 1 83 12 7 v gh^ · , · , ·^ , m , s
ρ ρ
− = = =
b) El caudal viene dado por el producto de la sección y la velocidad del fluido: 2 3 3
Q = S·v 1 = π D 4 ·v 1 = 10 − m s^ =1 00, Ls
c) El coste económico vendrá dado por el producto entre el caudal, el tiempo y el coste de cada metro cúbico:
Coste = Q·t·c = 10 −^3 ·3600 0 5 · , = 1 8, ∈
- Por un tubo horizontal con un diámetro interior de 2,6 mm y una longitud de 30 cm circula aceite con una velocidad de 9,0 cm/s. Calcula a) el flujo de volumen y b) la diferencia de presiones que se necesita para impulsar el aceite. c) Calcula el porcentaje en que varía el flujo de volumen cuando el diámetro se reduce un 5%. Viscosidad del aceite = 0,391 Pa·s.
a) El flujo de volumen viene dado por:
( ) 2 2 3
I v= S v · = π · R · v = π· 0,13 ·9 =0, 48^ cms
b) Según la ley de Poiseuille:
( )
2 4 4 2 3 2
p I^ v^ l^ R^ v^ l^ v^ l kPa R R R
c) El nuevo caudal será:
' '^4 (^ 0,95 )^4 ( 0,95) 4 0, v 8 8 v v I p^ R^ p^ R I I l l
π^ π η η
Por lo tanto, el caudal se reduce un 19%.
