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CINEMÁTICA
La Cinemática es la parte de la Física que se encarga del estudio del movimiento de los cuerpos, sin ocuparse de las causas que lo provocan. Si queremos estudiar el movimiento (cambio de posición) de un cuerpo, el primer paso tiene que ser fijar un sistema de referencia desde el cual medir las distintas magnitudes. Un cuerpo puede estar en reposo o en movimiento dependiendo del sistema de referencia que se halla elegido. Por ejemplo, si estamos dentro de un autobús en movimiento y tenemos nuestra mochila al lado, podemos decir que la mochila no se mueve respecto a nosotros (es decir, como si nosotros fuésemos el origen del sistema de referencia), pero sin embargo sí se mueve respecto de un observador que estuviese parado en la calle viendo pasar el autobús. Por lo tanto es importante definir un sistema de referencia, tanto para estudiar el movimiento, como para saber qué tipo de movimiento está ocurriendo. Definiremos movimiento como el cambio de posición de un cuerpo en el tiempo, respecto de un sistema de referencia que consideraremos fijo. Sistema de Referencia Llamamos Sistema de Referencia a un punto o conjunto de puntos con relación al cual se describe el movimiento de un cuerpo. Un cuerpo se mueve si cambia su posición respecto al sistema de referencia, en caso contrario decimos que está en reposo. Trayectoria Llamamos trayectoria a la línea formada por los sucesivos puntos por los que pasa un móvil durante su movimiento. Dependiendo del tipo de trayectoria el movimiento puede ser rectilíneo, curvilíneo o circular. Es importante darse cuenta que dependiendo del sistema de referencia elegido la trayectoria medida será distinta. Por ejemplo, si vamos en un autobús en movimiento y lanzo una pelota verticalmente hacia arriba, el movimiento de la pelota que yo veo será de subida y bajada vertical, pero un observador parado en la calle que ve pasar el autobús, lo que verá a través del cristal será una trayectoria parabólica. Posición. Desplazamiento. Espacio Recorrido Llamamos posición (S) de un móvil al punto que ocupa éste sobre la trayectoria en un momento dado. Su unidad en el Sistema Internacional de Unidades, es el metro “m” Para determinar la posición de un móvil se fija primero un sistema de referencia y un origen de posiciones. Si el movimiento es en línea recta, para determinar la posición del móvil solo necesitamos un eje de coordenadas, pero si el movimiento es en el plano, necesitamos dos ejes de coordenadas. En ambos casos, para señalizar la posición usaremos el concepto de vector, en concreto vector de posición.
Un vector es un segmento orientado, que se caracteriza por tres elementos:
- Módulo: valor numérico absoluto de su longitud.
- Dirección: Recta que contiene el vector.
- Sentido: Indicado por la flecha. En física una gran cantidad de magnitudes se describen por vectores. Cualquier movimiento implica la variación de la posición de un cuerpo respecto a un Sistema de Referencia que se supone en reposo. El espacio recorrido por el móvil en un determinado intervalo de tiempo se puede determinar directamente sobre la trayectoria. El desplazamiento (ΔS) en un determinado intervalo de tiempo, se calcula restando las posiciones final e inicial del movimiento. ΔS = Sf – S 0 El espacio recorrido se considera siempre positivo, pero el desplazamiento si puede ser negativo. El desplazamiento no siempre coincide numéricamente con el espacio recorrido. Velocidad La velocidad de un móvil representa la rapidez con que cambia su posición sobre la trayectoria. Llamamos velocidad media (Vm) al cociente entre la distancia recorrida por el móvil sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo y el valor de dicho intervalo: Vm = e / t La unidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s), pero con frecuencia se emplea el kilómetro por hora (km/h) Podemos fácilmente cambiar de unidades como en el siguiente ejemplo:
m s
s
m
s
h
Km
m
h
Km
o bien al revés
Km h
h
Km
h
s
m
Km
s
m
Es importante destacar que en Física usaremos el Sistema Internacional (S.I.) también llamado M.K.S. (Metros-Kilogramos-Segundos), con lo cual todas las unidades debemos pasarlas al S.I.
- Siempre que aumenta o disminuye el módulo de la velocidad
- Cuando cambia de dirección el vector velocidad. Si cambia el módulo del vector velocidad podemos determinar el valor de la aceleración dividiendo la variación de la velocidad por el intervalo de tiempo:
t
V
a
Llamamos aceleración (a) a la variación de la velocidad por unidad de tiempo. La unidad de la aceleración en el Sistema Internacional de Unidades es el metro por segundo al cuadrado (m/s^2 ) La aceleración, igual que la velocidad, es una magnitud vectorial y para representarla emplearemos un vector. Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido el móvil aumenta la velocidad y si la aceleración y la velocidad tienen distinto sentido el móvil disminuye la velocidad. Componentes de la aceleración Para que exista aceleración debe existir un cambio de velocidad. Pero la velocidad al ser una magnitud vectorial puede cambiar de dos formas: si cambia su módulo (su valor numérico), en cuyo caso tendríamos una aceleración tangencial que es la que hemos calculado antes, o bien si cambia su dirección, y en ese caso tendríamos una aceleración normal o centrípeta, que modifica la dirección del movimiento. En este segundo caso, la aceleración normal vendría dada por la expresión:
R
v
an
2
donde v es la velocidad, y R el radio del movimiento.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Llamamos Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, (MRUA), al movimiento cuya trayectoria es una línea recta y cuya aceleración es constante. Que la aceleración sea constante significa que la variación de la velocidad es constante. Por ejemplo: Si la aceleración es 2 m/s^2 , cada segundo la velocidad aumenta o disminuye en 2 m/s (aumenta si la velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido y disminuye si tienen sentido contrario). En el MRUA ya no se recorren espacios iguales en tiempos iguales.
- Si la velocidad aumenta, aumenta el espacio recorrido
- Si la velocidad disminuye, disminuye el espacio recorrido. Ecuaciones del MRUA: 2
S S V ( tt ) a tt
V V 0 a( tt 0 )
Siendo “S 0 ” y “V 0 ” la posición y la velocidad en el instante inicial t 0 y “a” la aceleración. En general t 0 = 0 y queda La velocidad inicial y la aceleración pueden ser en el sentido positivo de las posiciones (el signo “+”) o en el sentido negativo de las posiciones (el signo “-“) Cuando tenemos una aceleración negativa (en sentido contrario al movimiento), hablamos de un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado o Decelerado. ¡Recuerda la importancia de elegir un sistema de referencia! En nuestro caso usaremos los ejes cartesianos, donde consideraremos velocidades y aceleraciones positivas aquellas que vayan en el sentido positivo del eje X Si el móvil no cambia de sentido se puede emplear la siguiente ecuación: Siendo “S-S 0 ” el espacio recorrido “e” La ecuación anterior es una combinación de las ecuaciones iniciales y es interesante en aquellos problemas en que no dispongamos del tiempo o no sea necesario calcularlo. GRÁFICAS DEL M.R.U.A. En el M.R.U.A. podemos encontrar gráficas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo. La gráfica aceleración-tiempo es la más sencilla. Si suponemos un móvil desplazándose hacia la derecha (en el sentido positivo del eje X), entonces tendremos una aceleración positiva, y el móvil incrementa su velocidad cada unidad de tiempo en una cantidad igual a la aceleración. Por ejemplo una aceleración de 2 m/s^2 significa que la velocidad del móvil aumenta 2 m/s cada segundo. Un móvil que se desplaza hacia la izquierda (sentido negativo del eje X), tendrá una aceleración negativa, y por tanto implica una disminución de la velocidad. Como la aceleración (tanto positiva como negativa) es constante, la gráfica vendrá expresada por una línea horizontal. 2 0 0
S S V t at
V V 0 a t
V^2 = V 02 + 2.a.(S-S 0 )
Lanzamiento vertical desde una cierta altura h 0 : Un cuerpo se deja caer desde una cierta altura h 0 : Fíjate bien:
- La aceleración será la aceleración de la gravedad (g), cuyo valor será negativo (-9,8) pues siempre irá en sentido contrario a nuestros ejes (positivos hacia arriba y hacia la derecha)
- En el lanzamiento vertical desde el suelo h 0 = 0 m pues estamos al nivel del origen.
- En el lanzamiento vertical vemos que V 0 puede ser positiva si lanzamos el cuerpo hacia arriba (en el sentido del eje y) o negativa si lanzamos el cuerpo hacia abajo (en sentido contrario al eje y)
- Cuando dejamos caer un cuerpo desde una altura, no hay velocidad inicial, luego V 0 = 0
- Por último, en problemas de dos móviles, ten en cuenta que cuando se crucen estarán a la misma altura, con lo cual sus posiciones h serán iguales. h = h 0 + V 0 .t + ½ (-9´8) .t^2 V = V 0 + (-9´8).t h = h 0 + ½ (-9´8) .t^2 V = (-9´8).t
Ejercicios Resueltos Tiro Vertical y Caída Libre Es importante en estos ejercicios hacer un dibujo de la situación. Recuerda que siempre pondremos el origen del sistema de referencia en el suelo, y que la gravedad tendrá un valor negativo (-9,8 m/s) pues va en sentido contrario a nuestros ejes. Recuerda que la velocidad cuando sube será positiva (incluso la velocidad inicial cuando lo lanzo hacia arriba), y será negativa cuando el móvil baja (también cuando lo lanzo hacia abajo) Ejercicio 1 Dejamos caer una piedra desde una altura de 10 m. Calcula: a) Tiempo que tarda en llegar al suelo. b) Velocidad con que llega al suelo c) Velocidad que tendrá cuando se encuentre a 3 m del suelo. Primero hacemos un dibujo de la situación Como dejamos caer la piedra, su velocidad inicial será cero. Se trata de un MRUA, y cuando llegue al suelo su altura final será cero, por tanto aplicamos la siguiente expresión: 2
h ho vot gt
Sustituimos los valores conocidos y calcularemos el tiempo de caída
( 9 , 8 )^2
0 10 0 t t Nos queda una ecuación de 2º grado que resolvemos
0 10 4 , 9 t^2
t 1 , 42 s tenemos dos soluciones, pero cogeremos la positiva (no tiene sentido
tiempos negativos), luego t 1 , 42 sserá el tiempo que tarda en llegar la piedra al suelo.
Para el cálculo de la velocidad el llegar al suelo, aplicaremos la expresión de la velocidad:
v vo gt
v m s
v
¡El signo (-) de la velocidad significa que ésta va en sentido contrario a nuestros ejes! Por último para calcular la velocidad a 3 m del suelo, podremos usar la expresión del MRUA que no depende de la variable tiempo
2 2 2 2
v
v
v
v vo gh ho
Tomaremos la solución (-) pues el móvil está bajando v 11. 71 m/s
ho= 10 m
g= - 9,8 m/s
2
En el punto P donde se cruzan, ambos móviles tendrán la misma altura, es decir, la misma posición, por tanto h 1 = h 2 Móvil 1 2 1 2 1 2 1 01 01
h t
h h v t gt h t
Móvil 2 2 2 2 2 2
2 02 02 (^9 ,^8 )^504 ,^9
h h v t gt h t t h t t
Como h 1 = h 2 igualamos las expresiones anteriores
100 4 , 9 t 2 50 t 4 , 9 t^2 100 50 tt 2 sserá el tiempo que tardan en cruzarse.
Para calcular a que altura podemos usar cualquiera de las ecuaciones anteriores para h 1 o h 2
h 1 100 4 , 9 t^2 h 1 100 4 , 9 ( 2 )^2 h 1 9 , 8 m será la altura a la que se cruzan.
Ejercicio 4 Lanzamos un objeto hacia abajo desde una altura de 100 metros, con una velocidad de 10 m/s Calcula: a) Tiempo que tarda en llegar al suelo b) Velocidad al llegar al suelo Ahora el móvil lo lanzamos hacia abajo, en sentido contrario a los ejes de nuestro sistema de referencia. Por tanto su velocidad inicial será negativa. v 0 = - 10 m/s Cuando llega al suelo h = 0m *P (Punto de cruce) V 01 = 0 m/s V 02 = 50 m/s g=-9,8 m/s^2 h 01 =100m h 0 = 100 m v 0 = - 10 m/s g= - 9,8 m/s^2
Aplicamos las ecuaciones del MRUA 2 2 2
0 0 (^9 ,^8 )^0100104 ,^9
h h vt gt t t t t
Nos queda una ecuación de 2º grado, que resolvemos con su fórmula correspondiente
a
b b ac
t
^2 4
obtenemos dos soluciones t 3 , 6 sy t 5 , 6 s
Tomamos la solución positiva (no tiene sentido tiempos negativos) Luego t = 3,6s tarda en llegar al suelo. Para calcular la velocidad al llegar al suelo:
v v 0 gtv 10 9 , 8 ( 3 , 6 )v 45 , 28 m/ s
Vemos que la velocidad es negativa como corresponde a un movimiento que va en contra del sentido de nuestros ejes.
La ecuación del MCU se deduce de la definición de velocidad angular:
t t t t
t
0 ( 0 ) 0 Relación entre la velocidad angular (ω) y la velocidad lineal (v) Como
R
S
y también 0 t si empezamos el movimiento en el origen 0 0 podremos igualar las expresiones anteriores, y nos quedará:
R
t
S
t
R
S
Como sabemos que v
t
S
(velocidad lineal), llegamos a la siguiente relación:
que relaciona la velocidad lineal con la velocidad angular. Magnitudes Periódicas Dado que la posición en un MCU se repite periódicamente, es posible estudiar dicho movimiento en función de magnitudes periódicas. Periodo (T) Es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. Se mide en segundos en el S.I. Frecuencia (f)
Es el número de vueltas por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es s ^1 y se denomina
hertzio (Hz) El periodo y la frecuencia están relacionados. El periodo es la inversa de la frecuencia
f
T
o bien
T
f
La relación de estas dos magnitudes con la velocidad angular se puede determinar teniendo en cuenta que si el móvil da una vuelta completa habrá girado 2 radianes y el tiempo que tardó en dar esa vuelta completa será el periodo T, luego
T
o bien 2 f v R
Por último, recuerda que cuando la velocidad cambia en el valor de su dirección, es debido a la aceleración normal o centrípeta, cuyo valor se puede calcular con la expresión: siendo v el módulo de la velocidad (su valor) y R el radio del movimiento circular. El vector aceleración normal, es perpendicular al vector velocidad en cada punto y apunta al centro de la trayectoria circular.
R
v
an
2
- Un motorista va a 72 Km/h y apretando el acelerador consigue al cabo de 1/3 de minuto, la velocidad de 90 Km/h. Calcular a) su aceleración media. b) Espacio recorrido en ese tiempo. (Sol.: 0,25 m/s^2 ; 450 m)
- En ocho segundos, un automóvil que marcha con movimiento acelerado ha conseguido una velocidad de 72 km/h. ¿Qué espacio deberá recorrer para alcanzar una velocidad de 90 km/h? (Sol.: 125 m)
- Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 18 m. de longitud. La aceleración del móvil es de 4 m/s^2 ; calcular a) Tiempo que tarda el móvil en recorrer la rampa. b) velocidad que lleva al finalizar el recorrido inclinado. (Sol.: 3 s ; 12 m/s)
- Un avión despega de la pista de un aeropuerto, después de recorrer 1000 m de la misma, con una velocidad de 120 Km/h. Calcular a) la aceleración durante ese trayecto. b) El tiempo que ha tardado en despegar si partió del reposo c) La distancia recorrida en tierra en el último segundo. (Sol.: 5/9 m/s^2 ; 60s; 42,725 m)
- Dos cuerpos A y B situados a 2 Km de distancia salen simultáneamente uno en persecución del otro con movimiento acelerado ambos, siendo la aceleración del más lento, el B, de 32 cm/s^2. Deben encontrarse a 3,025 Km. de distancia del punto de partida del B. Calcular a) tiempo que tardan en encontrarse, b) aceleración de A. c) Sus velocidades en el momento del encuentro. (Sol.: 137,5 s ; 72,875 m/s; 0,53 m/s^2 ; 44 m/s)
- Un tren que va a 50 Km/h debe reducir su velocidad a 25 Km/h. al pasar por un puente. Si realiza la operación en 4 segundos, ¿Qué camino ha recorrido en ese tiempo? (Sol.: 41, m)
- ¿Qué velocidad llevaba un coche en el momento de frenar si ha circulado 12 m. hasta pararse (a = 30 cm/s^2 ). ¿Cuánto tiempo ha necesitado para parar? (Sol.: 2,68 m/s ; 8,93 s)
- La velocidad de un vehículo es de 108 Km/h y en 5 segundos reduce la velocidad a 72 Km/h. Calcular el tiempo que tardó en pararse. (Sol.: 15 s)
- Un avión recorre 1.200 m. a lo largo de la pista antes de detenerse cuando aterriza. Suponiendo que su deceleración es constante y que en el momento de tocar tierra su velocidad era de 100 Km/h. Calcular a) tiempo que tardó en pararse. b) Distancia que recorrió en los diez primeros segundos. (Sol.: 86,39 s ; 261,8 m) CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL
- Se suelta un cuerpo sin velocidad inicial. ¿Al cabo de cuánto tiempo su velocidad será de 45 Km/h?
- Desde la azotea de un rascacielos de 120 m de altura se lanza una piedra con velocidad de 5 m/s, hacia abajo. Calcular: a) Tiempo que tarda en llegar al suelo, b) velocidad con que choca contra el suelo.
- Si queremos que un cuerpo suba 50 m verticalmente. ¿Con qué velocidad se deberá lanzar? ¿Cuánto tiempo tardará en caer de nuevo a tierra?
- Se dispara verticalmente un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 10 s. Hallar la velocidad con que se disparó y la altura alcanzada.
- Lanzamos verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 900 Km/h. Calcular a) Tiempo que tarda en alcanzar 1 km de altura. b) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima MCU
- Calcular la velocidad angular del planeta Tierra en su rotación. (Sol.: 7,26·10-5^ rad/s)
- Una masa de 4 g. se mueve siguiendo una circunferencia de 60 cm de radio. Si gira a 3.000 rpm, calcular su velocidad angular en rad/s, y su velocidad lineal. (Sol.: 314 rad/s ; 188,5 m/s)
- Un punto material describe una trayectoria circular de un metro de radio 30 veces por minuto. Calcular su velocidad lineal. (Sol.: 3,14 m/s)
- Un punto recorre un círculo de 10 m de diámetro a razón de 450 vueltas cada ¼ de hora. Calcular: a) la velocidad angular en rpm; b) su velocidad lineal. (Sol.: 3,14 rad/s; 15, m/s)
- Una pelota de dos metros de diámetro gira con una velocidad de 9,425 m/s. ¿Cuántas vueltas da por minuto? (Sol.: 90 rpm)
- Una rueda de 10 cm de radio gira a razón de 100 rpm. Calcular la velocidad lineal de un punto de su periferia. (Sol.: 1,05 m/s) PROBLEMAS DE CINEMÁTICA 4º E.S.O. (MRU, MRUA)
- Un avión llega a la pista de aterrizaje, de 1250 m, con una velocidad de 100 m/s, ¿qué aceleración deberá tener para no salirse de la pista? (-4 m/s^2 , 25 s).
- Un automóvil A que está parado arranca con una aceleración de 1,5 m/s^2. En ese instante es alcanzado por un automóvil B que circula a velocidad constante de 54 Km/h. a) ¿A qué distancia del punto de partida alcanzará el móvil A al móvil B?; b) ¿Qué velocidad lleva el móvil en ese instante? (300m 30 m/s).
- El conductor de un automóvil que se desplaza a 72 km /h pisa el freno, con lo cual su rapidez se reduce a 5 m/s después de recorrer 100m. a)¿Cuál es la aceleración del automóvil?, b)¿Qué tiempo tardará en pararse por completo desde que empezó a frenar? ¿Qué distancia total recorrió? (a) 1,87 m/s^2 , b) 10,7 s 106,6 m).
- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 72 km/h. Calcula: a) la máxima altura que alcanza, b) el tiempo, contado desde el lanzamiento, que tarda en volver al punto de partida, c) a qué altura la velocidad se ha reducido a la mitad. (20m, 4 s, 15 m).
- Un objeto se lanza hacia abajo con una rapidez de 5 m/s desde una altura de 100m. ¿Con qué rapidez llegará al suelo? (- 45 m/s)
