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Flexión pura y simple
FLEXION PURA: una barra está sometida a esfuerzos de flexión pura cuando en cualquier sección transversal de la misma no actúan fuerzas cortantes, es decir, actúan solamente momentos flectores.
Los tramos A-B de las vigas indicadas están sujetas a Flexión Pura
Tensión normal: σ = Mz y Iz^ ;^ σmax^ =^
Mz. ymax (c 1 o c 2 ) Iz^ ;^ 𝜎1(^ )^ =^
𝑀𝑧. 𝑐 1 𝐼𝑧^ ;^ 𝜎2(+)^ =^
𝑀𝑧. 𝑐 2 𝐼𝑧
P P P P A B A B a a a a
Mz Mz y 1 max () c 1 L z L N N c 2 2
C G
Flexión simple
Tensión cortante en la flexión
Flujo de cortadura
𝑀𝑒𝑠𝑡. 𝑄 𝐼𝑧
y P P
x
z e e
max Q : fuerza cortante en la sección b : ancho de la sección en el punto de estudio max Iz: momento de inercia
Mest: momento estático del área sombreada b τ = Mb. Iest^. Qz
y
z CG
y
z
4- Para la viga de sección T mostrada en la figura se conoce que el esfuerzo de tracción en la parte inferior del patín (sección c- c) es de 10 M Pa. Determinar: a) La fuerza total de tracción que sufre el patín b) La fuerza total de compresión que sufre la sección c) El momento total de compresión con respecto a la línea neutra
En primer lugar debemos determinar la posición de la línea neutra y el momento de inercia respecto a la LN. Partimos la sección como el grafico 2, por ser simétrica con relación al eje y, el centro de gravedad está sobre éste eje. Aplicamos la relación de Steiner tomando como eje el borde superior del perfil (sección a-a)
Sección Ai yi Ai yi Ii Ai yi y 2 I 4000 20 8 x 10^4 16/3 x 10^5 64 x 10^5 II 4000 100 40 x 10^4 400/3 x 10^5 64 x 10^5
8000 48 x 10^4 416/3 x 10^5 128 x 10^5
y = Ai yi Ai^ =^
48 x 10^4 8 x 10^3 = 60 mm
I = Ii + Ai yi y 2 = 26, 67 x 10^6 mm^4
Para determinar las máximas tensiones, de la proporcionalidad de triángulos en la Fig. 3:
σcc 20 =^
σaa 60 ;^ σaa^ = 30 M Pa^
σcc 20 =^
σbb 140 ;^ σaa^ = 70 M Pa
a) La fuerza total de tracción que sufre el patín está dada por el área transversal del patín multiplicada por la tensión media de sus fibras
σM = 1 2 σaa^ +^ σcc^ = 20 M Pa^ ;^ Area =^ 0,12^ 0,04^ = 4,8. 10
(^3) m 2
Tpatín = (20 x 10^6 )(4,8 x 10^3 ) = 96 k N
b) La fuerza total de compresión que sufre la sección está dada por el área transversal de la sección comprimida (toda la sección que se encuentra debajo de la LN), multiplicada por la tensión media de sus fibras
σM = 1 2 0 +^ σbb^ = 35 M Pa^ ;^ Area =^ 0,02^ 0,14^ = 2,8. 10
(^3) m 2
Tcomprimida = (35 x 10^6 )(2,8 x 10^3 ) = 98 k N
c) El momento total de compresión con respecto a la línea neutra: 𝑀𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟 = 𝑇𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚. 2 3 𝑦𝑏𝑏^ = 98.^
2 3 .0,14^ = 9,15 k N.m
a 120 mm a 40 mm c c 160 mm 20 mm Fig. 1
a 120 mm a y 40 mm c c L N 160 mm
50 20 50 Fig. 2 a a 30 M Pa 10 M Pa c c L N 140 mm (+) 70 M Pa b b Fig. 3
(I) (I)
60 mm
5- Unos libros se encuentran sobre un estante de tablón como indica la figura. a) ¿qué altura “h” mínima debe tener el tablón? b) ¿cuál será la distancia óptima de los extremos en voladizos, manteniendo la simetría, que haga minimizar el espesor ”h” del estante? Datos: L = 100 cm a = 15 cm b = 20 cm qlibros = 0,6 kg/cm adm = 4 N/mm^2 = 40,82 kg/cm^2 E = 10000 N/mm^2 = 102041 kg/cm^2 I = b h^3 12
Como la estructura es simétrica:
RA = RB
Fy = 0 ; RA = RB = q L 2
En el voladizo CA
V 1 = q a ; RA = V 1 + V 2
q L 2 = q a + V^2 ;^ 𝑉^2 =^ 𝑞^
𝐿
2 ^ 𝑎
MA =
q a^2 2 = 67,5 kg. cm
Men E = L 2 ^ a^
2
. q. 1 2 ^
q a^2 2 =^
q L^2 8 ^
2 q L a 4 +^
q a^2 2 ^
q a^2 2 =^
q L^2 8 ^
q L a 2 = 300 kg. cm
a) Dimensionamos en base al momento máximo M = 300 kg.cm
σadm ≥ σ ; 40,82 ≥
Mmax .h 2 I ;^ 40,82^ ≥^
- h 2 20 h^3 12
h^2 ≥
300 .12 .9,8 .0,1^2
- 4 = 2,205^ ;^ h^ ≥^1 ,48^ cm
b) Para determinar la distancia “a” óptima podemos escribir la igualdad: 𝑀𝐴 = 𝑀
q a^2 2 =^
q L^2 8 ^
q L a 2 ; a^2 + L a L^2 4 = 0
a = L 2 ±^
2 L^2 4 ;^ a^ = 0,207^ L^ ;^ a =^ ^ 1,207 L^ (se rechaza)
qlibros
C A E B D
a RA RB a
L V 2
DFC (+) (+) () () V 1 MA = q a
2 2 MA () ()
(+)
M = q a L 2
7- En la sección n-n de la viga de la figura la tensión normal en el punto A es A = 150 kg/cm^2. Calcular el valor de “t” y la distribución de las tensiones cortantes en una sección cualquiera de la viga. “t” es una carga uniformemente distribuida, que actúa tangencialmente sobre las superficies de las caras superior e inferior de la viga, proveniente de una fricción.
Aislamos una revanada cualquiera con secciones separadas a una distancia dx
M = 0
M + dM M 25 2 t 25 dx = 0
𝑑𝑀 𝑑𝑥 =^
252 2 𝑡
𝑀+𝑑𝑀
𝐼 𝑦^ 𝑑𝐴^ ^
𝑀 𝐼 𝑦^ 𝑑𝐴^ = 0
𝑑𝑀 𝑑𝑥
𝑦 𝑑𝐴 𝑏 𝐼
252 2 𝑡^
𝑀𝑒𝑠𝑡 𝑏.𝐼
1,10 m n t [kg/cm^2 ] I = b. h
3 12 25 cm 6 cm 𝜎𝑛𝐴^ = 𝑀𝑓 𝐼 𝑦^ = 150 n 2,80 m 12,5 cm 25
(^2) 𝑡. 170
- 12,5. 25 12 3
.6 = 150
n 25
2 2 t x^ Sección n-n DMF t = 7,66 kg/cm^2 n 1,70 m
A
12,5 t dx
V + dV M M + dM
V 12,5 t dx dx
Al no considerarse el peso propio, las fuerzas verticales son nulas
t b dx
t b dx
t
t/ t/
t
8- La viga cuya sección T se indica en la figura, tiene las siguientes tensiones admisibles: 𝝈𝒕𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐^ ;^ 𝝈𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏^ =^ 𝟏𝟓𝟎^
𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐^ ;^ 𝝉^ =^ 𝟐𝟎^
𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐 a) De qué forma y donde fallará la viga al aumentar el valor de “q” b) Para el valor de q = 3 kg/cm, ¿entre qué valores puede variar la carga adicional “P” aplicada en C para que la viga no falle?
Si falla en D (debido a la tracción de 10204,49 q): σt = 100 ≥ MfI^ .y ; 100 ≥ 10204 ,49q 11354 ,17^ ^ 16,25 ; q 1 ≤ 6,85 (^) cmkg
Si falla en B (debido a la compresión de 11250 q): σc = 150 ≥ MfI^ .y ; 150 ≥ 11250 q 11354 ,17^ 8,75 ; q 2 ≤ 17,30 (^) cmkg
Si falla en B (debido al corte en el centro de gravedad para Q = 207,14 q):
τ = 20 ≥ Mestb. I^. Q ; 20 ≥ 5 .16,
(^2) .207,14 q 2 5. 11354 ,17 ;^ q^3 ≤^ 8,^
kg cm
Por lo tanto, fallará a la tracción en el punto D, cuando q = 6,85 kg/cm
Para el ítem b) hacemos los diagramas separados y aplicamos el principio de superposición:
Como se puede apreciar de los diagramas, la sección que recibe mayores solicitaciones es B:
Si falla por compresión: σc = 150 ≥ 33750 +150P. 16, 11354 ,17 ;^ P^1 ≤^ 473,72 kg
Si falla al corte (a la derecha de B): τ = 20 ≥ 450+P .5. 16,25^2
- 11354 ,17. 2 ;^ P^2 ≤^1270
kg cm
Si falla al corte (a la izquierda de B): τ = 20 ≥ 621,42+0,4286 P .5. 16,25^2
- 11354 ,17. 2 ;^ P^3 ≤^2563
kg cm
Luego, falla a la compresión en la parte inferior de B. 0 ≤ P ≤ 473,72 kg
20 DFC 150 q q a P 5 5 142,86 q CG 8, A D B C A a B C 207,14 q 20 16,25 142,86 DMF 11250 q 350 150
5 10204,49 q A = 200 cm^2 ; ICG = 11354,17 cm^4
q = 3 kg/cm P
33750 428,58 450 (+) A B C A B C () 621,42 30613,47 150P DFC (+) DMF () P 0,4286 P
